Определение статизма системы.

Для оценки качества системы в статике применяют относительную статическую ошибку – статизм, которую определяют как отношение абсолютной статической ошибки к заданному значению регулируемой величины.

;

 

Для работоспособной системы статизм не должен превышать (2 ¸ 5%). Данная система в статике неработоспособна, т. к. статизм равен 61%.

 

 

Исследование замкнутой системы на устойчивость с применением критериев Гурвица, Михайлова и Найквиста.

 

1.

2.

Алгебраический критерий Гурвица.

Алгебраический критерий устойчивости позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Система автоматического регулирования будет устойчива, если все коэффициенты её характеристического уравнения имеют одинаковые знаки, а главный диагональный определитель системы (определитель Гурвица) и его диагональные миноры будут положительными.

 

Передаточная функция замкнутой системы:

 

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Коэффициенты характеристического уравнения:

; ; ; ;

Главный диагональный определитель системы (определитель Гурвица):

 

выполняется первое условие (все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки).

выполняется второе условие (диагональный определитель, составленный из коэффициентов характеристического уравнения и его диагональные миноры положительны).

Замкнутая система устойчива по Гурвицу, так как выполняются необходимые и достаточные условия устойчивости.

Найдём значение границы устойчивости:

 

 

1.

2.

2.1.

Частотный критерий Михайлова.

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. САР устойчива, если при изменении частоты от 0 до ∞ годограф вектора ее характеристического уравнения (годограф Михайлова) проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не пропуская ни одного.

Передаточная функция замкнутой системы:

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Коэффициенты характеристического уравнения:

; ; ;

Заменив в характеристическом уравнении оператор р на оператор jω, получим вектор Н_зам(jω).

Найдем частоту при которой годограф Михайлова пересечет мнимую полуось.

Найдем частоту при которой годограф Михайлова пересечет действительную полуось.

 

Таблица для построения годографа Михайлова.

w	0,00	0,30	w^’= 0,68	1,00	w^’’= 2.14	3,00	¥
Re	1,65	1,34	0,000	-1,83	-14,29	-29,67	-∞
Im	0,000	1,17	2,43	3,11	0,000	-11,55	-∞

Годограф Михайлова проходит через три квадранта, не пропуская ни одного, следовательно, система устойчива по Михайлову.

Ширина годографа Михайлова:

Re(0) – Re(w^**)= 14,290 – (-1,650) = 15,94

 

1.

2.

2.1.

2.2.

Частотный критерий Найквиста.

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутых САР по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой САР. Замкнутая САР устойчива, если:

· устойчива разомкнутая САР и её АФЧХ не охватывает точку с координатами (-1, j0);

· не устойчива разомкнутая САР и её АФЧХ охватывает точку с координатами (-1, j0).

Передаточная функция разомкнутой системы:

Амплитудо-фазо-частотная характеристика системы:

;

 

 

 

Найдем частоту w^* при которой годограф Найквиста пересечет мнимую полуось.

 

Таблица для построения годографа Найквиста.

w	0,00	0,05	0,14	0,2	0,28	0,33	w^’ = 0,37	0,42	0,5	0,5	0,6	0,7		∞
Re	0,446	0,453	0,5	0,57	0,74	0,76		-0,8	-0,62	-0,62	-0,28	-0,18	-0,07
Im		-0,03	-0,09	-0,17	-0,45	-0,97	-1,52	-0,86	-0,18	-0,18	-0,01	0,01	0,02

 

Замкнутая система устойчива (по Найквисту), т. к. устойчивая разомкнутая САР и её АФЧХ не охватывает точку с координатами (-1, j0).

 

Годограф Найквиста полученный на компьютере

 

1.

2.

2.1.

2.2.

1.

2.

2.1.

2.2.

Определение запаса устойчивости замкнутой системы по модулю и фазе.

Запас устойчивости по модулю определяется отрезком отрицательной действительной полуоси от точки до точки пересечения АФЧХ оси абсцисс.

В данном случае годограф Найквиста пересекает отрицательную действительную полуось:

Запас устойчивости по фазе определяется углом между отрицательной действительной полуосью и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения окружности единичного радиуса с АФЧХ разомкнутой системы

В данном случае годограф Найквиста пересекается с единичной окружностью, и следовательно:

 

1.

2.

2.1.

2.2.

2.3.