Целевые функции и ограничения при решении задачи оптимальной загрузки оборудования и оптимальных объемов перевозок.

В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. Примером критерия в теории статистических решений является среднеквадратический критерий точности аппроксимации. Цель – найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума.

Минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений на управляемые переменные.

Под минимизацией (максимизацией) функции n переменных f(x)=f(x1,...,xn) на заданном множестве U n- мерного векторного пространства En понимается определение хотя бы одной из точек минимума (максимума) этой функции на множестве U, а также, если это необходимо, и минимального (максимального) на U значения f(x).

При записи математических задач оптимизации в общем виде обычно используется следующая символика:

f(x) -> min (max),

x принадлежит U,

где f(x) - целевая функция, а U - допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые переменные.

 

Пример. Найти наименьшее значение функции

на отрезке .

Запишем ограничения иначе:

Это математическая модель в виде задачи математического программирования.

 

16. Простой и сложный процент банка, их отличие между собой.

Процентом называют доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами. Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по определенной процентной ставке с определенной периодичностью, например, ежегодно.

простой процент начисляется исходя из ставки процента и исходной суммы вне зависимости от накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором.

если с величины а нарастает р % за год (или за какой-либо другой промежуток времени), то через t лет она превратится в: x = a(1 + p•t/100)

Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы, накопленной на счете к началу очередного периода с учетом накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически начисляется и выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая сумму займа.

x = a(1 + p/100)^t

17. Операции компаудинга и дисконтирования, их назначение.

КОМПАУНДИНГ (англ. compounding) -- рост вложенной в банк суммы, достигаемый посредством реинвестирования процентов, которые не изымаются, а добавляются к первоначальным вложениям.

Будущая стоимость капитала определяется по формуле:

K_t=K(1+n)^t

где

К_t - стоимость капитала к концу t-го периода времени с момента первоначального вклада капитала, руб.

К - сумма первоначального вклада капитала, т.е. его текущая стоимость в момент вложения капитала, руб.;

n - коэффициент дисконтирования (норма доходности или процентная ставка), доли единицы;

t - фактор времени (число лет или количество оборотов капитала).

ДИСКОНТИРОВАНИЕ - определение стоимости на некоторый (текущий) момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Дисконтирование капитала осуществляется по формуле:

K=K_t/(1+n), где К - текущая стоимость капитала, т.е. с позиции исходного периода, когда делается первоначальный вклад, руб.

http://ecol.edu.ru/files/e_books/Fin_men/tema_3_3.htm

 

18. Определение доходности и текущей стоимости ценных бумаг с помощью операции дисконтирования.

Дисконтирование капитала осуществляется по формуле:

K=K_t/(1+n)

где

К - текущая стоимость капитала, т.е. с позиции исходного периода, когда делается первоначальный вклад, руб.

Дисконтирование капитала означает приведение величин вложения капитала разных лет к величинам, сопоставимым по времени. Например, стоимость капитала 3-го года к стоимости капитала 2-го года и к стоимости капитала 1-го.

Дисконтирование можно осуществлять и с помощью коэффициента приведения, или дисконтирующего множителя:

a=1/(1+n)

где

а - дисконтирующий множитель.

Дисконтирующий множитель позволяет определить современную стоимость (финансовый эквивалент) будущей денежной суммы, т.е. уменьшить её на доход, нарастающий за определённый срок по правилу сложных процентов. На практике обычно используются таблицы с заранее исчисленными значениями.

Дисконтирование дохода представляет собой приведение дохода к моменту вложения капитала.

D=K_t-K=(1+n)^t-K

где D - дополнительный доход, руб.

19. Ограничения и целевая функция модели Марковица при формировании оптимального портфеля ценных бумаг.

Модель Марковица основана на следующих принципах. Пусть инвестор имеет сегодня (в момент времени t=0) ликвидные средства. Его плановый период составляет T. Начальное имущество расходуется полностью, а именно, на ценные бумаги (акции) типа J, цена покупки которых (z_j0) определена. Но возвратные потоки (дивиденды плюс будущая динамика курса) нельзя надежно спрогнозировать [6]. Известно лишь распределение вероятностей (в нашем случае они равновероятны). Мы ищем оптимальный портфель акций для инвестора, не расположенного к риску, который принимает свои решения на основе математического ожидания (m) и дисперсии (d2), т.е ориентируется на принцип m-d2.

Модель Марковица имеет следующие основные допущения:

— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

— в качестве риска ценной бумаги принимается среднее квадратическое отклонение доходности;

— принимается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, в полной мере отражают будущие значения доходности;

— степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции.

По модели Марковица доходность портфеля ценных бумаг — это средневзвешенная доходность бумаг, его составляющих, и она определяется формулой: