Факторы, учитываемые в модели потребителя.

12. Назначение использования прямого преобразования Лапласа.

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция комплексной переменной s = σ + i ω^[1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.^[2]
• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
• Решение нестационарных задач математической физики.

Назначение моделей Уилсона и Баумоля.

Математические модели управления запасами (УЗ) позволяют найти оптимальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара, а также убытки от его дефицита. Модель Уилсона является простейшей моделью УЗ и описывает ситуацию закупки продукции у внешнего поставщика, которая характеризуется следующими допущениями:

• интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной;
• заказ доставляется со склада, на котором хранится ранее произведенный товар;
• время поставки заказа является известной и постоянной величиной;
• каждый заказ поставляется в виде одной партии;
• затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа;
• затраты на хранение запаса пропорциональны его размеру;
• отсутствие запаса (дефицит) является недопустимым.

Входные параметры модели Уилсона
1) u– интенсивность (скорость) потребления запаса, [ед. тов. / ед. t];
2) s – затраты на хранение запаса, [руб./ед.тов.* ед. t];
3) K – затраты на осуществление заказа, включающие оформление и доставку заказа, [руб.];
4) t_д – время доставки заказа, [ед.t].

Выходные параметры модели Уилсона
1) Q – размер заказа, [ед. тов.];
2) L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];
3) t– период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками, [ед.t];
4) h₀ – точка заказа, т.е. размер запаса на складе, при котором надо подавать заказ на доставку очередной партии, [ед. тов.].
Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рис. 11.1. Максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа Q.

Формулы модели Уилсона

(11.1)

где Q_w – оптимальный размер заказа в модели Уилсона;

 

 

График затрат на УЗ в модели Уилсона представлен на рис. 11.2

 

Рис. 11.2. График затрат на УЗ в модели Уилсона

Модель Баумоля

Уильям Баумоль (Baumol W.J.) первым предложил и опубликовал 1952 году в своей монографии «The Transaction Demand for Cash: An Inventory Theoretic Approach» гипотезу о том, что остаток денежных средств на счете во многом сходен с остатком товарно-материальных запасов, поэтому модель оптимальной партии заказа (EOQ) может быть использована и для определения целевого остатка денежных средств

Предполагается, что предприятие начинает работать, имея максимальный и целесообразный для нее уровень денежных средств, и затем постепенно расходует их в течение некоторого периода времени. Все поступающие средства от реализации товаров и услуг предприятие вкладывает в краткосрочные ценные бумаги. Как только запас денежных средств истощается, то есть становится равным нулю или достигает некоторого заданного уровня безопасности, предприятие продает часть ценных бумаг и тем самым пополняет запас денежных средств до первоначальной величины. Таким образом, динамика остатка средств на расчетном счете представляет собой «пилообразный» график (Рисунок 4).

Сумма пополнения (Q) вычисляется по формуле:

, (8)

где V – прогнозируемая потребность в денежных средствах в периоде (год, квартал, месяц);

с – расходы по конвертации денежных средств в ценные бумаги;

r – приемлемый и возможный для предприятия процентный доход по краткосрочным финансовым вложениям, например, в государственные ценные бумаги.

Таким образом, средний запас денежных средств составляет Q/2, а общее количество сделок по конвертации ценных бумаг в денежные средства (k) равно:

K = V: Q (9).

 

Общие расходы (ОР) по реализации такой политики управления денежными средствами составят:

(10).

Первое слагаемое в этой формуле представляет собой прямые расходы, второе – упущенная выгода от хранения средств на расчетном счете вместо того, чтобы инвестировать их в ценные бумаги.

У. Баумоль заметил, что остаток денежных средств на счете во многом сходен с остатком товарно-материальных запасов, поэтому для его оптимизации может быть использована модель оптимальной партии заказа. Модель предполагает, что: 1) потребность предприятия в денежных средствах находится на постоянном уровне; 2) денежные поступления также прогнозируются на некотором постоянном уровне; 3) сальдо поступления и оттока денежных средств находится на постоянном уровне.
Оптимальный размер средств на счете определяется с использованием иных переменных: С — сумма денежных средств, которая может быть получена от продажи ликвидных ценных бумаг или в результате займа; С/2 — средний остаток средств на счете; С* — оптимальная сумма денежных средств, которая может быть получена от продажи ликвидных ценных бумаг или в результате займа; С*/2 — оптимальный средний остаток средств на счете; F — трансакционные издержки по купле-продаже ценных бумаг или обслуживанию полученной ссуды на одну операцию; Т — общая сумма дополнительных денежных средств, необходимых для поддержания текущих операций в течение года; а — относительная величина альтернативных издержек — неполученного дохода, принимается в размере ставки дохода по ликвидным ценным бумагам или процента от предоставления имеющихся средств в кредит.