Тема. Представлення моделей систем регулювання в пакеті Matlab

ЗМІСТ

Вступ.................................................................................................................... 4

Перелік лабораторних робіт.............................................................................. 5

Лабораторна робота № 1 Представлення моделей систем регулювання в пакеті Matlab.................................................................................................................. 5

Лабораторна робота № 2 Аналітичне моделювання систем автоматичного керування методом варіації постійних............................................................. 16

Лабораторна робота № 3 Синтез систем автоматичного керування одновимірного об'єкта за заданим розташуванням коренів..................................................... 28

Лабораторна робота № 4 Синтез систем автоматичного керування багатовимірним об'єктом за заданим розташуванням коренів.................................................. 38

Лабораторна робота № 5Дослідження асимптотичного ідентифікатора 46

Лабораторна робота № 6 Визначення структурних схем дискретних систем за структурними схемами аналогового еквівалента............................................ 57

Список літератури............................................................................................. 63

 

ВСТУП

У дослідженнях зі створення складних систем керування та обробки інформації на сьогодні знаходять широке застосування нові ідеї та сучасні методи аналізу й синтезу систем.

Основні методи аналізу та синтезу систем автоматичного керування можуть бути розбиті на три основні групи. До першої групи належать операторні методи, що використовують перетворення Лапласа або
z-перетворення, на основі яких синтез систем здійснюється відомим способом проб і помилок. До другої групи належать методи, у яких для оцінювання якості системи використовується інтегральна квадратична або середньоквадратична помилка. Ці дві групи методів лежать в основі класичної теорії регулювання.

Поява швидкодіючих цифрових обчислювальних машин викликала революцію в методах аналізу та синтезу систем керування. З’ясувалась неприйнятність старих методів та самого підходу до синтезу систем і був даний поштовх до розробки нових методів. Оптимальна побудова нових систем потребує проведення трудомістких обчислень, котрі можуть бути виконані за алгоритмом на цифровій обчислювальній машині. Класичні методи не враховували можливостей обчислювальної техніки, а проектування систем з великою кількістю входів та обмежень на їх основі було ускладненим.

Таким чином, було розроблено третю групу методів. Ця група методів використовує простір станів, і розрахунок системи зводиться до знаходження екстремуму функціонала. Цей підхід може розглядатися як узагальнення методів другої групи, але набагато досконаліший.

Науковий і технічний проґрес в останньому десятилітті виявив низку нових завдань і тим самим стимулював інтерес до нових методів аналізу і синтезу систем, до нових ідей, відмінних від класичних.

ПЕРЕЛІК ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

Лабораторна робота № 1

Тема. Представлення моделей систем регулювання в пакеті Matlab

Мета: вивчити можливості Matlab зі створення і перетворення моделей лінійних систем; набути практичних навичок зі створення і перетворення моделей лінійних систем; визначення реакції типових ланок на гармонійні дії.

Порядок виконання роботи

1. Командою tf створити математичні моделі типових ланок:

аперіодичної, коливальної, інтегруючої, диференціюючої та пропорційної. Параметри типових ланок задаються самостійно.

2. Використовуючи команди з'єднання ланок, створити структури, що утворюють:

- послідовне з'єднання двох, трьох ланок;

- паралельне з'єднання двох, трьох ланок;

- горизонтальну конкатенацію двох, трьох ланок;

- вертикальну конкатенацію двох, трьох ланок;

- з'єднання зі зворотним зв'язком: у прямому колі розміщено дві ланки, а в зворотному зв'язку одна; у прямому колі розміщено три ланки, а в зворотному зв'язку – дві ланки.

3. Використовуючи команду zpk перетворити передавальні функції, утворені з'єднанням ланок, отримані на попередньому кроці, які були представлені формою tf, у форму zpk.

4. Використовуючи команду ss, перейти від вигляду tf до вигляду ss.

5. Використовуючи команду ss, перейти від вигляду zpk до вигляду ss.

6. Використовуючи структуру, представлену в табл. 1.1, визначити передавальну функцію замкнутої системи. Параметри ланок задати самостійно.

7. Використовуючи команду frd, визначити реакцію аперіодичної та інтегруючої ланки.

8. Використовуючи команду frd, визначити реакцію аперіодичної та коливальної ланки (тестові сигнали задати самостійно з розрахунку, що за виміряними вихідними сигналами можна побудувати АФХ досліджуваних ланок.

 

Зміст звіту

1. Характеристики команд, використовуваних при представленні моделей у пакеті CST.

2. Характеристика команд, використовуваних при створенні складних структурних схем.

3. Структурні схеми досліджуваних систем і їх передавальні функції.

4. Реакція аперіодичної, коливальної, інтегруючої та диференціюючої ланок, визначена командою frd (тестові сигнали вибираються самостійно).

5. АФХ аперіодичної та коливальної ланок.

Контрольні питання

1. Які початкові дані потрібні для формування моделі у вигляді tf?

2. Які початкові дані потрібні для формування моделі у вигляді zpk?

3. Які початкові дані потрібні для формування моделі у вигляді ss?

4. Як сформувати вихідні сигнали моделі, заданої у вигляді frd?

5. Як записати модель у вигляді ss, якщо початкові дані задані у вигляді tf?

6. Як записати модель у вигляді ss, якщо початкові дані задані у вигляді zpk.

7. Якою командою визначається послідовне з'єднання ланок?

8. Якою командою визначається паралельне з'єднання ланок?

9. Якою командою визначається з'єднання ланок, що утворюють горизонтальну (вертикальну) конкатенацію?

10. Як визначити передавальну функцію замкнутої системи (зворотний зв'язок від’ємний, зворотний зв'язок додатний)?

 

Таблиця 1.1 – Варіанти завдань

№ пор.	Структурна схема

Таблиця 1.2 – Передавальні функції елементів системи

№ пор.
				-
					-
				-	-
					-

Література: [2, с. 325–341; 3, с. 17–41; 4, с. 15–108; 11, с. 26–42, с. 83–99, с. 234–272; 12, с. 50–96].

Лабораторна робота № 2

Тема. Аналітичне моделювання систем автоматичного керування методом варіації постійних

Мета: визначення диференціальних рівнянь систем автоматичного керування за заданими структурними схемами; визначення за диференціальними рівняннями систем автоматичного керування матриць коефіцієнтів, керування, виходу і обходу системи; аналітичне обчислення фундаментальної матриці; реалізація математичної моделі систем автоматичного керування на ЕОМ методом варіації постійних з використанням стандартної програми MatLab.

Порядок виконання роботи

Лабораторна робота виконується на персональній ЕОМ з використанням стандартної програми MatLab. Порядок виконання роботи наступний:

1. Для методу прямого програмування визначити матрицю коефіцієнтів , матрицю керування , матрицю виходу , матрицю обходу системи і добуток одиничної матриці на оператор диференціювання .

2. Для отриманих матриць скласти структурну схему.

3. Знайти різницю .

4. Визначити фундаментальну матрицю для частотної області .

5. Знайти добутки матриць і .

6. Виконати пункти 2, 3, 4 за допомогою програми MatLab.

7. Застосувавши до фундаментальної матриці оборотне перетворення Лапласа, визначити перехідну характеристику .

8. Задавшись тривалістю перехідного процесу, побудувати графік реакції системи на одиничну ступеневу дію і зробити висновки.

9. Порівняти перехідні процеси, отримані аналітичним і експериментальним шляхом (моделювання в пакеті Simulink) і зробити висновки.

10. Повторити п.1 – 6 для методу паралельного програмування.

11. Повторити п.1 – 6 для методу послідовного програмування.

Зміст звіту

1. Структурні схеми досліджуваної системи для методу прямого програмування, методу паралельного програмування і методу послідовного програмування.

2. Диференціальні рівняння і рівняння виходу системи для методу прямого програмування, методу паралельного програмування і методу послідовного програмування.

3. Матриці коефіцієнтів , матриці керування , матриці виходу і матриці обходу системи для методів прямого, послідовного і паралельного програмування.

4. Експериментальні дані при дослідженні різних структур і висновки.

Таблиця 2.1 – Варіанти завдань

№ пор.	Передавальна функція досліджуваної системи

Контрольні питання

1. Обґрунтуйте методику визначення диференціальних рівнянь системи методом прямого програмування.

2. Обґрунтуйте методику визначення диференціальних рівнянь системи методом паралельного програмування.

3. Обґрунтуйте методику визначення диференціальних рівнянь системи методом послідовного програмування.

4. Дайте порівняльну характеристику фундаментальної матриці, отриманої за методом паралельного програмування і методу прямого програмування.

5. Дайте порівняльну характеристику фундаментальної матриці, отриманої за методом паралельного програмування і методом послідовного програмування.

6. Визначте матрицю коефіцієнтів при прямому програмуванні.

7. Визначте матрицю коефіцієнтів при паралельному програмуванні.

8. Визначте матрицю коефіцієнтів при послідовному програмуванні.

9. Визначте вихідний сигнал системи як лінійну комбінацію фазових координат при прямому програмуванні.

10. Визначте вихідний сигнал системи як лінійну комбінацію фазових координат при паралельному програмуванні.

11. Визначте вихідний сигнал системи як лінійну комбінацію фазових координат при послідовному програмуванні.

12. Дайте порівняльну характеристику аналітичних моделей для трьох методів программування.

13. Визначте в пакеті MatLab обернену матрицю в частотній області.

14. Визначте в пакеті MatLab обернену матрицю в часовій області.

Література: [1, с. 26 – 47; 7, с. 73 – 90].

Лабораторна робота № 3

Приклад

Визначимо коефіцієнти зворотного зв'язку для системи регулювання, передавальна функція якої задана рівнянням

.

Використовуючи передавальну функцію визначаємо матрицю коефіцієнтів, відповідній системі, що розташовується.

.

Бажана матриця коефіцієнтів визначається заданим розташуванням коренів характеристичного рівняння замкнутої системи ; ;

.

Підставляючи значення матриць і до (6), отримуємо

(3.13)

З матричного рівняння (13) отримаємо нижче наведені співвідношення

розв’язок яких дозволяє отримати значення зворотних зв'язків ^.

Розв’язати попередній приклад, використовуючи поняття передавальної функції.

Порядок виконання роботи

1. Зі стандартних блоків складаємо структурну схему початкової системи згідно з pис. 1 (дані початкової схеми наведені в таблиці 1).

2. Визначаємо реакцію початкової системи на ступеневу дію. Зробити висновки.

3. Зі стандартних блоків складаємо структурну схему скоректованої системи pис. 2 (значення коефіцієнтів зворотних зв'язків визначаються шляхом розрахунку).

4. Визначаємо реакцію скоректованої системи на ступеневу дію і робимо висновки.

5. Зменшуємо у два рази значення коренів характеристичного рівняння замкнутої системи, визначаємо значення коефіцієнтів зворотних зв'язків для нових умов.

6. Визначаємо реакцію нового варіанта скоректованої системи і робимо висновки.

 

Зміст звіту

1. Розрахунок коефіцієнтів зворотних зв'язків для двох значень коренів скоректованої системи. Причому коефіцієнти зворотних зв'язків визначаються трьома шляхами:

– через матричне співвідношення;

– через характеристичне рівняння замкнутої системи;

– через завдання коренів у пакеті MatLab.

2. Структурна схема досліджуваної системи.

3. Аналіз результатів експерименту.

Контрольні питання

1. Як записати матрицю керування за відомою передавальною функцією замкнутої системи?

2. Як за коренями характеристичного рівняння замкнутої системи отримати передавальну функцію?

3. Як за коренями характеристичного рівняння замкнутої системи отримати матрицю коефіцієнтів?

4. Дайте методику визначення коефіцієнтів зворотних зв'язків, використовуючи матричний запис рівнянь?

5. Який вигляд має матриця керування якщо корені характеристичного рівняння замкнутої системи задано у вигляді бінома Ньютона.

6. Який вигляд має матриця керування якщо корені характеристичного рівняння замкнутої системи задані у формі Баттеpвоpта.

7. Визначте характеристичне рівняння замкнутої системи, використовуючи поняття матричної функції.

8. Опишіть методику визначення коефіцієнтів зворотного зв'язку, використовуючи матричні передавальні функції.

9. Які функції використовуються в MatLab для визначення коефіцієнтів зворотних зв'язків одновимірних і багатовимірних систем.

10. Напишіть програму для визначення коефіцієнтів зворотних зв'язків для заданого розташування полюсів замкнутої системи.

 

Рисунок 3.1 – Структурна схема вихідної системи

 

Рисунок 3.2 – Структурна схема скоректованої системи

 

 

Рисунок 3.3 – Структурна схема замкнутої системи

 

Таблиця 3.1 – Варіанти завдань

№ пор.	Передавальна функція початкової системи	Корені характеристичного рівняння скоректованої системи
		;
		;
		;
		;
		;

Література: [2, с. 236 – 240, с. 363 – 366].

 

Лабораторна робота № 4

Порядок виконання роботи

1. За заданим матричним рівнянням початкової системи (таблиця 4.1), заданого відносного глибиного зворотних зв'язків і коренями характеристичного рівняння бажаної системи визначити параметри багатовимірного регулятора.

2. З урахуванням розрахованих параметрів багатовимірного регулятора скласти структурну схему.

3. За заданим матричному рівнянням початкової системи (таблиця 4.1) і коренями характеристичного рівняння бажаної системи визначити в пакеті Control System Toolbox параметри багатовимірного регулятора.

4. З урахуванням розрахованих параметрів багатовимірного регулятора, визначеного в пакеті Control System Toolbox, скласти структурну схему.

Зміст звіту

1. Розрахунок параметрів багатовимірного регулятора.

2. Структурна схема об'єкта з багатовимірним регулятором.

3. Лістинг програма за визначенням параметрів регулятора в пакеті Control System Toolbox.

4. Аналіз результатів моделювання і висновки.

Контрольні питання

1. Що таке багатовимірний об'єкт керування?

2. Методика визначення параметрів багатовимірного регулятора.

3. Які об'єкти називаються багатовимірними, наведіть їх приклади?

4. Як через матриці системи визначити характеристичне рівняння замкнутої системи?

5. Які обмеження накладені на матрицю ?

6. З яких міркувань визначається характеристичне рівняння замкнутої системи?

7. Чи зміняться перехідні характеристики системи, якщо замінити відносну глибину зворотних зв'язків?

8. Напишіть фрагмент програми в пакеті Control System Toolbox за визначенням багатовимірного регулятора.

9. Які початкові дані потрібні для виконання команди place.

10. У чому відмінність методик, за якими визначено параметри багатовимірного регулятора, зображені на рис. 4.3 і 4.4.

Таблиця 4.1 – Варіанти завдань

№ пор	Початкові дані нескоректованої Системи	Корені характеристичного рівняння скоректованої системи	Відносна глибина зворотного зв'язку
		;
		;
		;
		;
		;

Література: [2, с. 240 – 244; 6, с. 21 – 32].

 

Лабораторна робота № 5

Приклад.

Визначити параметри ідентифікатора системи, заданої рівнянням

. (5.14)

Перейдемо до матричної форми запису рівняння (5.14)

. (5.15)

Матриці , і задано у вигляді ККУ. Перехід до вигляду ІКУ полягає в наступному: матриця транспонується, а матриця отримується шляхом транспонування матриці , а матриця отримується шляхом транспонування матриці .

. (5.16)

де , , – матриці системи, представлені у вигляді ІКУ.

Припустимо, що задані корені ; а, отже, заданий і характеристичний багаточлен , що визначає динаміку спостерігача.

Використовуючи вираз (5), отримаємо співвідношення для визначення складових матриці . Причому ще раз підкреслимо, що всі матриці в рівнянні (5.5) повинні бути задані в одному базисі, наприклад ІКУ. Для цього слід скористатися співвідношенням (16), а від характеристичного багаточлена перейти до його матричного уявлення

,

(5.17)

Розв’язуючи матричне рівняння, отримуємо матрицю-стовпець у форматі ІКУ

. (5.18)

Визначити матрицю можна в пакеті MatLab, використовуючи формулу Аккермана (Програма 1)

 

A=[0,1;0,0];B=[0;1];C=[1,0];D=0;

PN=[-3,-1];

B=C'; A=A';

KNT=acker(A,B,PN)

G=KNT'

При цьому отримаємо матрицю-стовпець у форматі ККУ

. (5.19)

Матриця переходу від одного (старого) базису до нового базису визначається виразом

. (5.20)

 

 

Підставляючи початкові дані до (20), отримуємо

. (5.21)

Таким чином, рівняння ідентифікатора можна побудувати у двох базисах. Використовуючи вираз (3), підставимо початкові дані до форми ІКУ і отримаємо

. (5.22)

У формі ККУ отримаємо нову систему рівнянь

. (5.23)

За рівняннями (5.22) і (5.23) у пакеті Simulink представлено структурні схеми ідентифікаторів.

Оскільки структурна схема, зображена на рис. 5.3, а, складено відповідно до виразу (5.22), то базиси системи та ідентифікатора різні та координата ідентифікатора відповідає координаті системи , а координата ідентифікатора відповідає координаті системи .

Структурна схема рис. 5.3. відповідає виразу (5.23), моделі системи і ідентифікатора побудовані в одному базисі. Тому відповідні координати системи та ідентифікатора збігаються, тобто ^.

Визначити складові матриці можна і через характеристичні рівняння. У цьому випадку початкові дані рівняння (5.5) можуть бути записані в будь-якому базисі, і, незалежно від прийнятого базису, отримуємо одне і те ж характеристичне рівняння.

 

 

Визначимо характеристичне рівняння ідентифікатора, записавши матриці у формі ККУ.

Рисунок 5.3 – Структурна схема ідентифікаторів:

а) – об'єкт заданий у формі ККУ, а ідентифікатор у формі ІКУ;

б) – об'єкт та ідентифікатор задані у формі ККУ

Прирівнюючи члени при однакових ступенях , отриманого характеристичного рівняння і рівняння, що визначає динаміку ідентифікатора

,

 

маємо

; . (5.24)

Розв’язуємо ту ж задачу, записавши матриці у вигляді ІКУ

; . (5.25)

Складання виразів (5.24) і (5.25) показує, що метод визначення складових матриць через характеристичні рівняння, вимагає додаткової інформації, яка використовуватиметься при складанні рівняння, що визначає динаміку ідентифікатора.

Дійсно, якщо не враховувати базиси, у яких представлені матриці , і , то не зрозуміло як розпорядиться компонентами матриці у рівнянні. Тому доцільно визначати параметри ідентифікатора з використанням виразу (5.17) або за допомогою формули Аккермана. У цьому випадку в процесі розв’язку контролюються вживання базисів, що зменшує ймовірність появи помилки.

Порядок виконання роботи

1. За заданою передавальною функцією об'єкта регулювання (таблиця 5.1) визначити матриці , і у вигляді ККУ і ІКУ.

2. За першим варіантом бажаного характеристичного рівняння або за заданими коренями цього рівняння визначити параметри матриці .

3. Скласти перший варіант структурної схеми об'єкта та ідентифікатора, за допомогою якого можна відновити координати об'єкта.

4. За другим варіантом бажаного характеристичного рівняння або за заданими коренями цього рівняння визначити параметри матриці .

5. Скласти другий варіант структурної схеми об'єкта та ідентифікатора, за допомогою якого можна відновити координати об'єкта.

 

Таблиця 5.1 – Початкові дані для виконання лабораторної роботи

№ пор	Передавальні функції об'єктів регулювання	Бажане розташування коренів (варіант 1)	Бажане розташування коренів(варіант 2)	Відновлена координата об'єкта
		;	;
		;
		;
		;	;

Зміст звіту

1. Визначення матриць , , об'єкта регулювання у двох формах: керованою канонічною та ідентифікаційною канонічною.

2. Розрахунок матриць ідентифікатора (два варіанти).

3. Структурні схеми об'єкта з ідентифікатором (два варіанти).

4. Аналіз впливу параметрів ідентифікатора на точність визначення відновленої координати об'єкта.

Контрольні питання

1. Що таке асимптотичний ідентифікатор?

2. Поясніть поняття спостерігач станів.

3. Визначення матриці спостерігача за допомогою формули Аккермана

4. Як за допомогою передавальної функції системи записати матрицю коефіцієнтів у керованому канонічному уявленні (ККУ).

5. Розширений вектор стану.

6. Як від матриць , , системи, записаних у формі ККУ, перейти до форми запису в ІКУ.

7. З яких міркувань вибирається бажана матриця коефіцієнтів ідентифікатора.

8. Представте структурну схему ідентифікатора.

9. Запишіть рівняння ідентифікатора.

10. Назвіть параметри ідентифікатора.

11. Запишіть рівняння для помилки і вкажіть умови, при яких помилка прямує до нуля.

12. Призначення ідентифікатора та області його застосування.

13. Матриця ідентифікатора (два варіанти матриць )

14.Метод визначення складових матриць через характеристичні рівняння

Література: [2, с. 308 – 309, с. 373 – 380; 4, с. 166 – 174; 5, с.226 – 234, с.252 – 254; 6, с. 83 – 115; 8, с. 96 – 176; 9, с. 8 – 54; 10, с. 66 – 107].

 

Лабораторна робота № 6

Порядок виконання роботи

1. За заданою передавальною функцією (табл. 6.1) визначити деталізовану структурну схему.

2. Використовуючи три методи чисельної інтеграції визначити три структурні схеми дискретних систем.

3. У пакеті MatLab методом моделювання перевірити збіг перехідних процесів за всіма координатами і правильність виконання розрахунків.

Таблиця 6.1 – Початкові дані для виконання лабораторної роботи

№ пор.	Безперервна передавальна функція		№ пор.	Безперервна передавальна функція
		0.1			0.1
		0.1			0.1
		0.5			0.1
		0.2			0.2
		0.1			0.1

Зміст звіту

1. Структурна схема безперервної системи, визначена методом послідовного програмування.

2. Деталізована структурна схема безперервної системи.

3. Структурні схеми дискретних систем, визначені з деталізованої структурної схеми безперервної системи шляхом заміни оператора безперервної інтеграції оператором чисельної інтеграції.

Контрольні питання

1. Укажіть способи побудов схем моделювання дискретних систем.

2. Поясніть, як здійснити перехід від структурної схеми безперервної системи до структурної схеми дискретної системи.

3. Обґрунтуйте методику визначення структурних схем безперервних систем методом послідовного програмування.

4. Як за структурними схемами безперервних систем визначити матриці коефіцієнтів, керування і виходу системи.

5. Як за структурними схемами дискретних систем визначити матриці коефіцієнтів, керування і виходу системи.

6. Які методи чисельної інтеграції використовуються при виконанні лабораторної роботи.

7. Які положення використовуються в методах чисельної інтеграції.

8. Що таке деталізована структурна схема?

9. Що таке аналоговий еквівалент?

Література: [1, с. 358 – 392; 4, с. 128 – 145; 7, с. 96 – 101; 9, с. 180 – 186].

 

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Д. Сю Современная теория автоматического управления и ее применение / Д. Сю, А. Мейер. – М.: Машиностроение, 1972. – 594 с.

2. Чаки Ф. Современная теория управления / Ф. Чаки. – М.: Мир, 1975. – 420 с.

3. Эйкхофф П. Основы идентификация систем управления / П. Эйкхофф. – М.: Мир, 1974. – 680 с.

4. Андриевский Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. СПб.: Наука, 2000. – 475 с.