Определение параметров функционирования производственных систем

4.2 Определение параметров функционирования одноканальных разомкнутых производственных систем с простейшими потоками

Система массового обслуживания (СМО) – это совокупность взаимосвязанных элементов системы: требований поступающих на обслуживание (изделия, нуждающиеся в изготовлении, оборудование, нуждающееся в обслуживании и так далее); каналов обслуживания (оборудование, ремонтные бригады и так далее), а также характера связей между ними.

Известно: интенсивность поступления изделий на изготовление λ=8 изделий в час; интенсивность изготовления одного изделия на заданном виде оборудования µ=16 изделий в час

Определяем:

1. Коэффициент использования – ψ

Ψ= λ/ µ = 8/16 = 0,5

2. Вероятность простоя оборудования –

λ/ µ = 1-0,5 = 0,5

Таким образом, фактическая производительность данного оборудования будет на 53,4% ниже возможной;

3.Вероятность наличия n изделий - ;

0,25

0,125

0,0625

0,03125

0,015625

7,8*

4.Среднее число изделий, находящихся в системе -

5.Среднeе число изделий, находящихся в очереди -

 

6.Среднее время ожидания требования в системе -

Определение параметров функционирования многоканальных разомкнутых производственных систем с простейшими потоками

Выявление основных особенностей взаимосвязей и количественных закономерностей.

Задача: пусть система имеет два канала обслуживания N=2,

Интервал времени между поступлениями двух смежных требований составляет 8 минут, среднее время обслуживания требования составляет 2 минуты.

Коэффициент загрузки Ψ= λ/ µ = 2/8 = 0.25

Вероятность отсутствия требований в системе:

Вероятность наличия одного требования в системе

Вероятность наличия двух требований в системе

Вероятность наличия трех требований в системе

Вероятность наличия четырех требований в системе

Вероятность наличия пяти требований в системе

Вероятность наличия шести требований в системе

Определение параметров функционирования многоканальных разомкнутых производственных систем с равномерными потоками

Постановка задачи. Определить параметры функционирования производственной многоканальной разомкнутой системы с равномерными потоками изготовления (ремонта,...) изделий ("Детали - рабочие", "Изделия - контролеры",...). Известно среднее время поступления деталей на изготовление (ремонта,...) равное 12 ± 4 минут. В системе имеются 3-е рабочих занятых изготовлением данных деталей. Требуется определить следующие основные параметры системы: коэффициент и среднее время использования каждого рабочего; число деталей, поступивших к каждому рабочему.

Исходные данные:

- Средний интервал времени между поступлениями двух смежных деталей, их изготовление – 15 мин.

- Отклонение времени поступления деталей от среднего – 1 мин.

При построении модели это будет выглядеть так:

GENERATE 15,1

- Средняя продолжительность изготов­ления детали – 10 мин.

- Отклонение от среднего времени изго­товления детали – 1 мин.

COME ADVANCE 10,1

- Сколько необходимо изготовить деталей в процессе моделирова­ния системы – 250 шт.

START 250.

 

Оптимизация транспортных систем приближенными

Методами

Постановка задачи А. Имеется т пунктов производства (ремонта, об­служивания) изделий А_1,, А₂..., А_т и п пунктов использования (эксплуата­ции) этих изделий В₁ В₂,..., В„. Известны затраты на доставку изделия из каждого i-го пункта производства (ремонта, обслуживания) в каждый i-ый пункт использования (эксплуатации) - Су. Известны количество изделий a_i в каждом i-ом пункте производства (ремонта, обслуживания) и количество изделий bj, которые необходимо доставить в каждый j-ый пункт использо­вания (эксплуатации). Требуется определить, какое количество изделий Ху необходимо перевезти из каждого i-го пункта производства (ремонта, об­служивания) в каждый j-ый пункт использования (эксплуатации), чтобы:

1/ вывезти продукцию всех отправителей;

2/ удовлетворить всех потребителей;

3/ минимизировать суммарные затраты на доставку всех изделий.

Постановка задачи С. Имеется т складов некоторой продукции А,, А₂,..., А_т и п потребителей этой продукции В), В₂,..., В_п. Известны затраты на доставку единицы груза из каждого i-го склада в каждый j-ый пункт по­требления - Су. Известны объемы продукции - а, в каждом i-ом складе и объемы продукции - bj, которые необходимо доставить в каждый j-ый пункт потребления. Требуется определить, какое количество продукции x_ij необходимо перевезти из каждого i-го склада в каждый j-ый пункт потреб­ления, чтобы вывезти продукцию всех складов; удовлетворить всех потре­бителей; минимизировать суммарные затраты на доставку всей продукции.

До настоящего времени нет общепринятого единого критерия оптими­зации при решении данной задачи, которая получила свое название - транспортной задачи. Наиболее часто используются следующие критерии:

1) Объем работ (величина пробега транспорта) в т, 1м³, км и др. Этот крите­рий рекомендуется использовать при условии осуществления перевозок од­нородного или взаимозаменяемого груза одним видом транспорта. Объем перевезенного груза (величина пробега) оказывает существенное влияние на размер издержек. Этот критерий удобен для расчетов, т.к. объем работ (вели­чина пробега) определяется легко и точно для любого направления;

2) Время выполнения работ. Этот критерий применяется тогда, когда необ­ходимо осуществить перевозку заданного объема груза за возможно корот­кий промежуток времени одним или несколькими видами транспорта. При решении транспортных задач, включающих различные виды транспорта, необходимо учитывать время на погрузку и выгрузку, а также перевалку с одного вида транспорта на другой;

3) Тарифные платы за перевозку груза. Используется в том случае, когда необходимо минимизировать транспортные расходы, учитываемые в ба- нсе предприятий - грузоотправителей, грузополучателей или сбытовых организаций. Этот критерий позволяет получить схему перевозок, наилучшую с точки зрения хозрасчетных показателей предприятий, в чем и состоит его достоинство. Для удобства подготовки и применения критерия при решении транспортных задач тарифные платы должны предусматривать линейную зависимость провозной платы от дальности перевозки;

4) Себестоимость перевозок. Этот критерий характеризует затраты непосредственно транспортных организаций на перевозку различными видами транспорта. Он позволяет делать более обоснованные выводы о целесообразности переключения тех или иных перевозок с одного вида транспорта на другой. Недостаток критерия себестоимости - сложность определения участковых показателей;

5) Стоимость грузовой массы, находящейся в пути. Этот критерий применяется тогда, когда в перевозке участвуют различные виды транспортных средств, а также в пределах одного вида транспорта имеется существенное различие во времени доставки грузов;

6) Приведенные затраты. Является основным комплексным критерием, определяется по сумме издержек на производство и транспорт.

Рассмотрим на конкретном примере решение задач данного класса.

Постановка задачи. В городе N имеется четыре (т = 4) домостроительных комбината (ДСК) А_и А₂, А₃, А₄ и строятся четыре (n = 4) микрорайона на В1 В2, В₃, В₄. Известны производственные мощности ДСК – а_i, и потребность в комплектах унифицированных изделий каждого микрорайона - j. Ресурсы отправителей и ресурсы потребителей известны (табл. 5.1 последний столбец и нижняя строка). Известны также затраты - - С_ij, связанные с доставкой одного комплекта унифицированных изделий из А_i ДСК в каждый строящийся микрорайон Bj. Требуется так распределить продук­те домостроительных комбинатов по строящимся микрорайонам, чтобы суммарные приведенные затраты, связанные с доставкой всей продукции т комбинатов до микрорайонов, были минимальны.

Таблица 5.1 ДСК Аi Строящиеся микрорайоны Д Производст­венные мощ­ности аi, В1 В2 Вз В4 Затраты на транспортировку Сij А1           A2           Аз           А4           Объем работ bJ в микрорайоне

 

Выявление основных особенностей взаимосвязей и количествен­ных закономерностей. Количество комплектов унифицированных изде­лий, выпускаемых A_i-ым ДСК обозначим через а_i, количество комплектов унифицированных изделий, потребляемых j-м микрорайоном, обозначим через bj. Предположим, что общий объем производства унифицированных изделий на всех ДСК равен общему объему потребления этих изделий в строящихся микрорайонах

 

 

 

В нашей задаче сумма производственных мощностей ДСК равна сум­ме объемов работ на строящихся микрорайонах.

14 + 20 + 26 + 41 = 30 + 22 + 15 + 34= 101.

Обозначим через x_ij искомую переменную, которая равна количеству комплектов унифицированных изделий, поставляемых i-м ДСК j -му микро­району. Значения x_ij проставляются в левых нижних углах клеток таблицы.

Введем определенные ограничения в задаче:

1) необходимо полностью использовать производственные мощности ДСК. Это ограничение можно записать в таком виде

 

 

Для нашей задачи эта система ограничений будет выглядеть так:

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=14,

x₂₁+х₂₂+x₂₃+x₂₄=20

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄=26

x₄₁+x₂₄+x₃₄+x₄₄=41.

2) необходимо реализовать все произведенные комплекты изделий в строящихся микрорайонах. Это ограничение можно записать так

Для нашей задачи эта система ограничений будет выглядеть так:

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=14,

x₂₁+х₂₂+x₂₃+x₂₄=20

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄=26

x₄₁+x₂₄+x₃₄+x₄₄=41.

Введем граничные условия, которые определят предельно допустимые чения искомых переменных. Для нашей задачи граничные условия яшо представить в таком виде

x_tj> 0, (i = 1,2,….., т, j = 1,2,..., n).

Построение математической модели. Обозначим через Су приведен- е затраты на доставку единицы продукции из ДСК А, в микрорайон Bj. В качестве критерия оптимизации примем суммарные приведенные затраты доставку всей продукции из всех ДСК во все микрорайоны, которые можно записать в таком виде

Совокупность систем ограничений, граничных условий и целевой функции образует математическую модель для нашей задачи.

Данная задач относится к классу задач линейного программирования, как ограничения и целевая функция имеют линейный вид, т.е. искомые личины находятся в первой степени. Задачи такого вида называют транспортными задачами.

Алгоритм решения. Для решения задач данного вида разработано ого методов приближенных и точных. Для большинства точных методов обходимо иметь начальные допустимые решения (начальные планы), т.е. решения которые удовлетворяют системам ограничений и граничным условиям. Эта процедура называется отысканием, определением начального допустимого решения (начального плана, опорного плана,...). От того, каким будет начальное допустимое решение, начальный план перевозок, зависит в дальнейшем время решения транспортной задачи.

Рассмотрим наиболее распространенные способы определения начального допустимого решения - начального плана. В качестве исходных данных используем данные табл. 5.1.

Способ северо-западного угла. Построение начального плана, т.е. распределение ресурсов, начинается с клетки, расположенной в левом верхнем углу табл. 5.2 (северо-западном).

Сначала первый отправитель удовлетворяет запросы первого потреби- ля (нижняя левая часть клетки) насколько возможно, затем второго и т. д. о полного исчерпания своих ресурсов. Эта процедура выполняется для

каждого отправителя (каждой строки) сверху вниз. Способ северо-западного угла обеспечивает расположение ресурсов, начиная от левого верхнего угла табл. 5.2 и кончая нижним правым углом. В верхней правой части каждой клетки табл. 5.2 размещаются приведенные затраты по дос­тавке единицы ресурса из соответствующего пункта отправления в соот­ветствующий пункт потребления. Результаты определения начального до­пустимого решения - начального плана перевозки ресурсов способом севе­ро-западного угла представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

ДСК Аi	Строящиеся микрорайоны Д	Производст­венные мощ­ности аi,
В1	В2	Вз	В4
Затраты на транспортировку Сij
А1
A2
Аз
А4
Объем работ bJ в микрорайоне

 

В результате построения начального допустимого решения начального плана способом северо-западного угла значение критерия оптимизации (целевой функции) будет равно

Y = 14-70 + 16-58 + 4-18 + 18-10 + 8-100 + 7-121 + 34-8 = 4079.

Способ наименьшего элемента в столбце (строке). Поочередно в столбцах табл. 5.3, в которых находится клетка с минимальным элементом затрат, распределяют максимально возможное количество ресурсов. В наш­ей задаче в первом столбце (строке) это клетка A₄Bi, которая имеет мини­мальный элемент равный 3, Следовательно, распределяем в нее макси­мально возможное количество ресурсов 30. Если спрос по столбцу (строке) не удовлетворен, то находится следующая клетка с минимальным элемен­том в этом столбце (строке), куда и распределяются оставшиеся ресурсы и так до удовлетворения спроса по столбцу. И если спрос полностью удовле­творен по столбцу, то переходят к соседнему столбцу А4В4 и т.д. Результа­ты определения начального допустимого решения начального плана пере­возки ресурсов способом наименьшего элемента в столбце (строке) пред­ставлены в табл. 5.3.

ДСК Аi	Строящиеся микрорайоны Д	Производст­венные мощ­ности аi,
В1	В2	Вз	В4
Затраты на транспортировку Сij
А1
A2
Аз
А4
Объем работ bJ в микрорайоне

В результате построения начального допустимого решения начального на способом наименьшего элемента в столбце величина критерия опти- зации (целевой функции) будет равна

Y= 14-24+ 1-56+ 19-72+ 22-10+ 4-30+ 30-3+ 11-8 = 2278.

Способ наименьшего элемента в таблице. Этот способ дает, как пра- “о, лучшие результаты, особенно в крупных таблицах, но его использо- ие требует большего внимания. В табл. 5.4 ищется клетка с минималь- м элементом в нее распределяется максимально возможное количество ■урсов. В нашей задаче такой клеткой является клетка A₄B_h в которую мещается максимально возможное количество ресурсов равное 30. Затем ^гтся клетки со следующими по величине минимальными затратами, ку- и помещаются оставшиеся ресурсы и т.д.

Результаты определения начального допустимого решения начального ана перевозки ресурсов способом наименьшего элемента в таблице пред- влены в табл. 5.4.

ДСК Аi	Строящиеся микрорайоны Д	Производст­венные мощ­ности аi,
В1	В2	Вз	В4
Затраты на транспортировку Сij
А1
A2
Аз
А4
Объем работ bJ в микрорайоне

 

В результате построения начального допустимого решения начального плана способом наименьшего элемента в таблице величина критерия опти­мизации (целевой функции) будет равна

Y = 14-24 + 1-56+ 19-72 + 22-10 + 4-30 + 30-3 + 11-8= 2278.

Способ двойного предпочтения. Этот способ очень удобен при реше­нии транспортных задач и может дать лучшие результаты. В табл. 5.5 ищется клетка с минимальным элементом в каждой строке. Они отмечают­ся звездочкой. Затем ищется клетка с минимальным элементом в каждом столбце. Они также отмечаются звездочкой. Затем ищутся клетки, отме­ченные двумя звездочками, в которые и распределяют максимально воз­можное количество ресурсов. В клетки с одной звездочкой и в другие, не­отмеченные звездочками, распределяется оставшееся количество ресурсов. Результаты определения начального допустимого решения начального плана перевозки ресурсов способом двойного предпочтения представлены в табл. 5.5.

Таблица 5.5

ДСК Аi	Строящиеся микрорайоны Д	Производст­венные мощ­ности аi,
В1	В2	Вз	В4
Затраты на транспортировку Сij
А1
A2
Аз
А4
Объем работ bJ в микрорайоне

 

В результате построения начального допустимого решения начального плана способом двойного предпочтения в таблице величина критерия оп­тимизации (целевой функции) будет равна

Y= 14-24+ 1-56+ 19-72+ 22-10+ 4-30+ 30-3 + 11-8 = 2278.

Способ аппроксимации Фогеля. Этот способ дает, как правило, наи­лучшее допустимое решение - начальный план, который наиболее близок к оптимальному решению. Его рекомендуют использовать при расчетах вручную, особенно в крупных матрицах.

В данном способе ищутся разности в каждой строке и каждом столбце между наименьшей стоимостью и ближайшей к ней по величине. Разности по строкам записываются справа в столбце разностей, разности по столб­цам - внизу в строке разностей табл. 5.2

ДСК Аi

Строящиеся микрорайоны Д

Производст­венные мощ­ности аi,

Номер итерации

В1

В2

Вз

В4

Затраты на транспортировку Сij

Строки разностей

А1

A2

Аз

А4

Объем работ bJ в микрорайоне

Номер итерации

Строки разностей

Из всех разностей, как по строкам, так и по столбцам ищем максимальную. В нашем примере максимальная разность равна 38 и находится в оке А₂. Отметим ее звездочкой. В клетку, где находится наименьшая стоимость равная 18 (отправитель А₂, потребитель В₂ - клетка А₂В₂) помещаем максимально возможное количество ресурсов. Оно равно 20, т.е. все- наличию ресурса отправителя А₂ (табл. 5.6). Поскольку все ресурсы отправителя А₂ исчерпаны, строку А₂ исключаем из дальнейших расчетов, [ чего отметим все клетки этой строки звездочками.

После этого снова вычисляем разности по столбцам и строкам, не при- лая во внимание стоимости в клетках, имеющих ресурсы, и клетках со звёздочкой (исключенную строку или столбец), и определяем максималь­но разность в строке или в столбце. На второй итерации в нашей задаче максимальная разность принадлежит потребителю В₃ и равна 76. Дальше ем минимальный элемент в столбце В₃. Он равен 24 (клетка А _}В₃) и в данную клетку направляем максимально возможное количество ресурса и. Результаты определения начального допустимого плана перевозки ре- сов способом аппроксимации Фогеля представлены в табл. 5. 7.

В результате построения начального допустимого плана способом аппроксимации Фогеля величина критерия оптимизации будет равна

Y = 14-24 + 20-18 + 23-19 + 2-10 + 1-100 + 7-3 + 34-8 = 1546.

План полученный методом Фргеля, как правило, наиболее близко под­ходит к оптимальному решению, поэтому часто этот метод называют при­ближенным методом решения транспортных задач.

Таблица 5 .7

ДСК Аi

Строящиеся микрорайоны Д

Производст­венные мощ­ности аi,

Номер итерации

В1

В2

Вз

В4

Затраты на транспортировку Сij

Строки разностей

А1

A2

Аз

А4

Объем работ bJ в микрорайоне

Номер итерации

Строки разностей

 

Для эффективного выполнения необходимых расчетов целесообразно иметь соответствующее программное обеспечение. Ниже представлена ФОРТРАН-программа TRANSF.FOR (прогр. 5.1).