Sub DoubleCountDown(N As Integer)

If N <= 0 Then Exit Sub

DoubleCountDown N - 1

DoubleCountDown N - 1

End Sub

2 * O(N) = O(N)

число раз, которое выполняется процедура DoubleCountDown с

параметром N

N=0

после первого шага закончит работу

 

18) Классификация моделей

Модель - упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.

Модель - это, как правило, искусственно созданный объект в виде схемы, математических формул, физической конструкции, наборов данных и алгоритмов их обработки и т.п.

Модель воспроизводит в специально оговоренном виде строение и свойства исследуемого объекта. Исследуемый объект, по отношению к которому изготавливается модель, называется оригиналом, образцом, прототипом.

Модель - это объект, используемый вместо другого объекта с какой-то целью.

Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном виде (см. Компьютерная алгебра)[1]

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел

В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.

Основами для вычислительных методов являются:

решение систем линейных уравнений

интерполирование

численное интегрирование

численное решение системы нелинейных уравнений

численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Признаки классификаций моделей: 1) по области использования;

2) по фактору времени;

3) по отрасли знаний;

4) по форме представления

1) Классификация моделей по области использования:

Учебные модели – используются при обучении;

Опытные – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик

Научно - технические - создаются для исследования процессов и явлений

Игровые – репетиция поведения объекта в различных условиях

Имитационные – отражение реальности в той или иной степени (это метод проб и ошибок)

 

2) Классификация моделей по фактору времени:

Статические – модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Примеры моделей: классификация животных…., строение молекул, список посаженных деревьев, отчет об обследовании состояния зубов в школе и тд.

Динамические – модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры: описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

3) Классификация моделей по отрасли знаний - это классификация по отрасли деятельности человека: Математические, биологические, химические, социальные, экономические, исторические и тд

4) Классификация моделей по форме представления:

Материальные – это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты

Абстрактные (нематериальные) – не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация. это теоретический метод познания окружающей среды. По признаку реализации они бывают: мысленные и вербальные; информационные

Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель сопутствует сознательной деятельности человека.

Вербальные – мысленные модели выраженные в разговорной форме. Используется для передачи мыслей

Информационные модели – целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойств этого объекта.

Типы информационных моделей:

Табличные – объекты и их свойства представлены в виде списка, а их значения размещаются в ячейках прямоугольной формы. Перечень однотипных объектов размещен в первом столбце (или строке), а значения их свойств размещаются в следующих столбцах (или строках)

Иерархические – объекты распределены по уровням. Каждый элемент высокого уровня состоит из элементов нижнего уровня, а элемент нижнего уровня может входить в состав только одного элемента более высокого уровня

Сетевые – применяют для отражения систем, в которых связи между элементами имеют сложную структуру

По степени формализации информационные модели бывают образно-знаковые и знаковые. Напримеры:

Образно-знаковые модели:

Геометрические (рисунок, пиктограмма, чертеж, карта, план, объемное изображение)

Структурные (таблица, граф, схема, диаграмма)

Словесные (описание естественными языками)

Алгоритмические (нумерованный список, пошаговое перечисление, блок-схема)

Знаковые модели:

Математические – представлены матем.формулами, отображающими связь параметров

Специальные – представлены на спец. языках (ноты, хим.формулы)

Алгоритмические – программы

Признаки классификаций моделей:Классификация моделей по области использования

19) Шаговый метод решения задач

Алгоритм метода:

1. Установить интервал |а,Ь| на начало интервала поиска (а=х0).

2. Определить координату точки b (b=a+h), а также значе­
ния функции в точках а и b: F(a) и F(b).

3. Проверить условие F(a)*F(b)<0. Если условие не выпол­
нено - передвинуть интервал [а,Ь] на один шаг (а=Ь) и перейти к пункту 2.

• Если условие выполнено - закончить алгоритм.

Решением являются координаты точек а и Ь. Отрезок |а,Ь] содержит корень уравнения, поскольку функция F(x) на его концах имеет разные знаки.

20) Метод половинного деления

Метод основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность к.

 

Пусть задан отрезок [а,Ь], содержащий один корень уравнения. Этот отрезок может быть предварительно найден с помощью шагового метода.

Алгоритм метода:

1. Определить новое приближение корня х в середине отрезка [a,b]: x=(a+b)/2.

2. Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

3. Проверить условие F(a)*F(x)<0. Если условие выполнено,
то корень расположен на отрезке [а,х]. В этом случае необходи­
мо точку b переместить в точку х (Ь=х). Если условие не выпол­
нено, то корень расположен на отрезке [х,Ь]. В этом случае необ­
ходимо точку а переместить в точку х (а=х).

4. Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам.
Алгоритм продолжить до тех пор, пока не будет выполнено усло­
вие |F(x)I <e.

 

 

21) Метод Ньютона

Задан отрезок [а,Ь], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,Ь], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки

(т.е. выполняется условие F(X0)*F"(X0)>0).

В точке F(х₀) строится касательная к кривой у= F(х) и ищется ее пересечение с осью х.

Точка пересечения принимается за новую итерацию. Итерационная формула имеет вид

:

 

22) Численный метод

Физическая постановка задачи. На этом этапе определяются основные цели и задачи, рассматривается реальное явление.

Математическая постановка задачи. Реальная задача заменяется моделью. Модель должна быть достаточно простой и в то же время адекватно отражать основные функции реально­ го объекта. Этап заканчивается выводом некоторых математических соотношений (уравнения, системы уравнений).

Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они сравнительно просты и универсальны. Вместе с тем, эти методы требуют большого объема памяти ЭВМ, а при их реализации накапливается вычислительная погрешность.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений. Они имеют более сложные алгоритмы, объем вычислений заранее определить сложно. Однако, их реализация требует меньшего объема памяти ЭВМ, а вычислительная по­грешность почти не накапливается.

 

 

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b — пределы интегрирования (см. рисунок).

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

Метод непосредственно использует замену определенного интеграла

интегральной суммой . В качестве точек B_i может

выбираться любая точка в промежутке [x_t^j;x₍]. В зависимости от выбора этой точки различают методы левых, правых и центральных прямоугольников.

1. e_i — Xj_j - левая граница интервала - метод левых;

2. с, =Xj - правая граница интервала - метод правых;

3. Рч - -ⁱ—~—-. середина интервала - метод центральных

Обычно, когда рассматривают метод прямоугольников, разбивают [(i,h\ на п равных отрезков Ax_i = h — const.

В этом случае получаем следующие формулы для разных методов

Метод правых прямоугольников

Метод левых прямоугольников

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на

отрезки одинаковой длины h: где

Погрешность формулы трапеций: , где

Метод Симпсона

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

где

 

23) Численный метод апроксимации