Построение графиков поверхности

I. Построение графика поверхности z=x²-y² в диапазоне х Î[-2;2], y Î[-1;1] при шаге изменения аргументов D х= 0,2;D у= 0,2.

 

3.5.1. Провести табуляцию аргумента х:

· ввести в А2 число –2;

· ввести в А3 число –1,8;

· выделить ячейки А2:А3;

· поставить указатель мыши в правый нижний угол ячейки А3 (указатель примет вид тонкого крестика) и провести заполнение ячеек до А22.

3.5.2. Провести табуляцию аргумента у:

· ввести в В1 число –1;

· ввести в С1 число –0,8;

· выделить ячейки В1:С1;

· заполнить значениями аргумента у ячейки D1:L1.

 

3.5.3. Ввести формулы для вычисления Z:

· ввести в ячейку В2 формулу =$A2^2-B$1^2;

· скопировать формулу в ячейки В3:L22 и С2:L2.

Для этого следует скопировать формулу в ячейки В3:В22, затем выделить ячейки В2:В22 и скопировать весь выделенный столбец в ячейки С2:L22.

В результате получим табл. 7 (режим показа вычислений) и табл. 8 (часть табл. 7 в режиме показа формул).

Таблица 7

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
		-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2		0,2	0,4	0,6	0,8
	-2		3,36	3,64	3,84	3,96		3,96	3,84	3,64	3,36
	-1,8	2,24	2,6	2,88	3,08	3,2	3,24	3,2	3,08	2,88	2,6	2,24
	-1,6	1,56	1,92	2,2	2,4	2,52	2,56	2,52	2,4	2,2	1,92	1,56
	-1,4	0,96	1,32	1,6	1,8	1,92	1,96	1,92	1,8	1,6	1,32	0,96
	-1,2	0,44	0,8	1,08	1,28	1,4	1,44	1,4	1,28	1,08	0,8	0,44
	-1		0,36	0,64	0,84	0,96		0,96	0,84	0,64	0,36
	-0,8	-0,36		0,28	0,48	0,6	0,64	0,6	0,48	0,28		-0,36
	-0,6	-0,64	-0,28		0,2	0,32	0,36	0,32	0,2		-0,28	-0,64
	-0,4	-0,84	-0,48	-0,2		0,12	0,16	0,12		-0,2	-0,48	-0,84
	-0,2	-0,96	-0,6	-0,32	-0,12		0,04		-0,12	-0,32	-0,6	-0,96
		-1	-0,64	-0,36	-0,16	-0,04		-0,04	-0,16	-0,36	-0,64	-1
	0,2	-0,96	-0,6	-0,32	-0,12		0,04		-0,12	-0,32	-0,6	-0,96
	0,4	-0,84	-0,48	-0,2		0,12	0,16	0,12		-0,2	-0,48	-0,84
	0,6	-0,64	-0,28		0,2	0,32	0,36	0,32	0,2		-0,28	-0,64
	0,8	-0,36		0,28	0,48	0,6	0,64	0,6	0,48	0,28		-0,36
			0,36	0,64	0,84	0,96		0,96	0,84	0,64	0,36
	1,2	0,44	0,8	1,08	1,28	1,4	1,44	1,4	1,28	1,08	0,8	0,44
	1,4	0,96	1,32	1,6	1,8	1,92	1,96	1,92	1,8	1,6	1,32	0,96
	1,6	1,56	1,92	2,2	2,4	2,52	2,56	2,52	2,4	2,2	1,92	1,56
	1,8	2,24	2,6	2,88	3,08	3,2	3,24	3,2	3,08	2,88	2,6	2,24
			3,36	3,64	3,84	3,96		3,96	3,84	3,64	3,36

Таблица 8

	A	B	C	D	E
		-1	-0,8	-0,6	-0,4
	-2	=$A2^2-B$1^2	=$A2^2-C$1^2	=$A2^2-D$1^2	=$A2^2-E$1^2
	-1,8	=$A3^2-B$1^2	=$A3^2-C$1^2	=$A3^2-D$1^2	=$A3^2-E$1^2
	-1,6	=$A4^2-B$1^2	=$A4^2-C$1^2	=$A4^2-D$1^2	=$A4^2-E$1^2
	-1,4	=$A5^2-B$1^2	=$A5^2-C$1^2	=$A5^2-D$1^2	=$A5^2-E$1^2
	-1,2	=$A6^2-B$1^2	=$A6^2-C$1^2	=$A6^2-D$1^2	=$A6^2-E$1^2
	-1	=$A7^2-B$1^2	=$A7^2-C$1^2	=$A7^2-D$1^2	=$A7^2-E$1^2
	-0,8	=$A8^2-B$1^2	=$A8^2-C$1^2	=$A8^2-D$1^2	=$A8^2-E$1^2
	-0,6	=$A9^2-B$1^2	=$A9^2-C$1^2	=$A9^2-D$1^2	=$A9^2-E$1^2
	-0,4	=$A10^2-B$1^2	=$A10^2-C$1^2	=$A10^2-D$1^2	=$A10^2-E$1^2
	-0,2	=$A11^2-B$1^2	=$A11^2-C$1^2	=$A11^2-D$1^2	=$A11^2-E$1^2
		=$A12^2-B$1^2	=$A12^2-C$1^2	=$A12^2-D$1^2	=$A12^2-E$1^2
	0,2	=$A13^2-B$1^2	=$A13^2-C$1^2	=$A13^2-D$1^2	=$A13^2-E$1^2
	0,4	=$A14^2-B$1^2	=$A14^2-C$1^2	=$A14^2-D$1^2	=$A14^2-E$1^2
	0,6	=$A15^2-B$1^2	=$A15^2-C$1^2	=$A15^2-D$1^2	=$A15^2-E$1^2
	0,8	=$A16^2-B$1^2	=$A16^2-C$1^2	=$A16^2-D$1^2	=$A16^2-E$1^2
		=$A17^2-B$1^2	=$A17^2-C$1^2	=$A17^2-D$1^2	=$A17^2-E$1^2
	1,2	=$A18^2-B$1^2	=$A18^2-C$1^2	=$A18^2-D$1^2	=$A18^2-E$1^2
	1,4	=$A19^2-B$1^2	=$A19^2-C$1^2	=$A19^2-D$1^2	=$A19^2-E$1^2
	1,6	=$A20^2-B$1^2	=$A20^2-C$1^2	=$A20^2-D$1^2	=$A20^2-E$1^2
	1,8	=$A21^2-B$1^2	=$A21^2-C$1^2	=$A21^2-D$1^2	=$A21^2-E$1^2

3.5.4. Построить график поверхности:

а) Выполнить команды Вставка – Диаграмма – Поверхность – выбрать левый верхний тип поверхности (рис. 8) – Далее ( при работе с Excel 2007 команды Вставка - Другие диаграммы);

	Рис. 8. Окно мастера диаграмм Excel

 

б) На втором шаге Мастера диаграмм:

· ввести Диапазон данных В2:L22;

· перейти на вкладку Ряд;

· ввести Подписи оси Х А2:А22;

· в поле Ряд выбрать Ряд 1, щелкнув по нему мышью;

· щелкнуть по полю Имя, щелкнуть мышью по ячейке В1 (рис. 9);

· в поле Ряд щелкнуть мышью по Ряд 2;

· щелкнуть по полю Имя, щелкнуть мышью по ячейке С1.

Аналогичным образом ввести

Ряд Адрес ячейки

Ряд 3 D1

Ряд 4 E1

………………..

Ряд 11 L1, щелкнуть Далее.

 

в) На третьем шаге ввести название осей: Х, Y, Z и щелкнуть Далее.

 

г) На четвертом шаге выбрать опцию  На отдельном листе и щелкнуть Готово.

 

В результате получим график поверхности (рис. 10).

 

 

	Рис. 9. Построение диаграммы Поверхность

 

 

Рис. 10. График функции z=x²-y²

 

3.5.5. Теперь построим график функции , где х Î[-5;5], y Î[-5;5]; D x =1; D y =1.

а) Добавить новый рабочий лист (Вставка – Лист) в открытой книге Excel;

б) В ячейках А2:А12 провести табуляцию переменной х (аналогично п. 3.5.1);

в) В ячейках В1:L1 провести табуляцию переменной y (аналогично п. 3.5.2);

г) Для вычисления функции Z ввести формулы в ячейки В2:L22:

· в ячейку В2 ввести формулу =КОРЕНЬ($A2^2+B$1^2+1);

Можно для извлечения квадратного корня вместо функции КОРЕНЬ использовать возведение в дробную степень (1/2). Тогда формула будет выглядеть так: =($A2^2+B$1^2+1)^(1/2);

· Скопируем формулу из В2 в В3:L12 и С2: L2 (аналогично п. 3.5.3);

 

 

 

Рис. 13. График функции после форматирования

 

 

4. Отчет по работе

Распечатки диаграмм и графиков.

 

Литература: [3], с. 123-132.

 

Работа 3. Графическое решение уравнений и систем уравнений

 

Цель работы

 

Ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений.

 

Основные теоретические положения

 

Кроме аналитического способа решения уравнений f (x)=0 можно пользоваться и графическим способом. Графический способ наиболее эффективен для решения трансцендентных уравнений. При графическом способе для уравнения строится график y=f (x) и решением уравнения является точка пересечения графика с осью х при у =0. Если разбить уравнение на две произвольные части, то можно для каждой части построить график. В этом случае решением уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков для этих частей. Такой способ может использоваться и для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 

Порядок выполнения работы

Задание 1. Решить графически уравнение y =cos²(p x) на интервале [0;1].

Задание 2. Решить графически уравнение х ³-4 х ²-3 х +6=0.

Задание 3. Решить графически систему уравнений в диапазоне х Î[0;3] с шагом D х =0,2.

Задание 4. Решить систему уравнений согласно индивидуальному заданию.

 

3.1. Выполнение задания 1

Решить графически уравнение y =cos²(p x) на интервале [0;1] значит найти все значения х внутри данного интервала, где функция у пересекает ось Х.

 

3.1.1.Провести табуляцию значений х и у (см. Работу 2).

В результате получим табл. 9.

3.1.2. Построение графика функции (см. Работу 2). В результате получим график (рис. 13). Из графика видно, что уравнение имеет единственный корень. Что-бы получить точное решение уравнения, нужно щелкнуть левой клавишей мыши по точке пересечения графика с осью ОХ. На графике появится текст (рис. 14). Здесь Точка “0,5” – значение х Значение “4,633Е-05”»0 – значение у.

Таблица 9

	A	B	C
	График функции y=cos(Pi*x)^2
	Значение х	Значение у	Значение Pi
		=COS(A3*C$3)^2	3,1415
	0,1	=COS(A4*C$3)^2
	0,2	=COS(A5*C$3)^2
	0,3	=COS(A6*C$3)^2
	0,4	=COS(A7*C$3)^2
	0,5	=COS(A8*C$3)^2
	0,6	=COS(A9*C$3)^2
	0,7	=COS(A10*C$3)^2
	0,8	=COS(A11*C$3)^2
	0,9	=COS(A12*C$3)^2
		=COS(A13*C$3)^2

 

 

3.2. Выполнение задания 2

 

Найдем графическое решение уравнения х ³-4 х ²-3 х +6=0.

Для этого представим его в виде

х ³=4 х ²+3 х -6 (2)

и построим на одной диаграмме графики двух функций:

у ₁= х ³ левая часть уравнения (2) и

у 2=4 х ²+3 х -6 правая часть уравнения (2)

 

 

 

Так как мы ищем корни кубического уравнения, число корней должно быть равно трем. Заранее значения корней неизвестны, поэтому сначала возьмем для построения графиков интервал х Î[-2;2], с шагом 0,4 и построим на этом интервале графики функций у ₁ и у ₂. Координаты точек х пересечения этих графиков дадут нам искомые значения корней.

3.2.1. Открыть новый рабо-чий лист (Щелчок правой клавишей по имени имеющегося листа – Добавить – Лист).   3.2.2. Провести табуляцию значений аргумента х и функций у 1 и у 2 (см. Работу 2) В результате получим табл. 10.   3.2.3. Строим график фун-кций у 1 и у 1 на одной диаграм-ме (рис. 15). Из графиков вид-но, что на рассмотренном ин-тервале функции у 1 и у 2 пересекаются только два раза (корни х 1=-1,2 и х 2=1,2).

Очевидно, что если корней должно быть три, то точек пересечения функций у ₁ и у ₂ тоже будет три. Если точек пересечения окажется меньше, нужно увеличить рассматриваемый интервал (например, построить график на интервале х Î[-3;3]).

Таблица 10

	A	B	C
	Решение уравнения x^3-4*x^2-3*x+6
	х	у1=х^3	y2=4*x^2+3*x-6
	-2	=A3^3	=4*A3^2+3*A3-6
	-1,6	=A4^3	=4*A4^2+3*A4-6
	-1,2	=A5^3	=4*A5^2+3*A5-6
	-0,8	=A6^3	=4*A6^2+3*A6-6
	-0,4	=A7^3	=4*A7^2+3*A7-6
		=A8^3	=4*A8^2+3*A8-6
	0,4	=A9^3	=4*A9^2+3*A9-6
	0,8	=A10^3	=4*A10^2+3*A10-6
	1,2	=A11^3	=4*A11^2+3*A11-6
	1,6	=A12^3	=4*A12^2+3*A12-6
		=A13^3	=4*A13^2+3*A13-6

Рис. 15. Решение уравнения х ³-4 х ²-3 х +6=0.

 

3.2.3. Для нахождения третьего корня нужно увеличить диапазон решения. Из графика видно, что при х <-2 функции у 1 и у 2 расходятся.

Значит, решение нужно искать при х >2. Увеличим диапазон до х =4,8, т. е. х Î[-2; 4,8]:

а) продолжить табулирование аргумента х до ячейки А20;

б) скопировать формулу из ячейки В13 в ячейки В14:В20;

в) скопировать формулу из ячейки С13 в ячейки С14:С20;

г) построить график для этого случая. На этом графике функции у 1 и у 2 пересекаются трижды. Третий корень х ₃=4,4.

 

3.3. Выполнение задания 3

Решить графически систему уравнений значит найти координаты точек, в которых пересекаются графики функций, входящих в систему уравнений.

При выполнении задания 2 мы решили практически систему уравнений

.

Для нахождения корней уравнений системы

в диапазоне х Î[0;3] с шагом D х =0,2, следует выполнить следующие действия.

 

3.3.1. Добавить новый рабочий лист

 

3.3.2. Провести табулирование переменных х, y =sin x, y =cos x, аналогично Работе 2 и пп. 3.1, 3.2 данной работы:

- в ячейку А1 ввести заголовок Аргумент х, в ячейку А2 – значение 0, в ячейку А3 - значение 0,2 и провести табуляцию аргумента х в ячейках А2:А17;

- в ячейку В1 ввести заголовок y =sin(x);

- в ячейку В2 ввести формулу =SIN(A2) и скопировать ее в ячейки В3:В17;

- в ячейку С1 ввести заголовок y =cos(x);

- в ячейку С2 ввести формулу =COS(A2) и скопировать ее в ячейки C3:C17.

 

3.2.3. Построить график функций y =sin x, y =cos x на одной диаграмме:

а) выполнить команды Вставка – Диаграмма (Вставка – График);

б) в первом диалоговом окне Мастера диаграмм выберем Тип диаграммы График, Вид - Левый верхний, Далее;

в) во втором окне Мастера диаграмм на вкладке Диапазон данных ввести:

Диапазон В2:С17

Ряды в: столбцах;

Затем щелкнуть по вкладке Ряд и ввести:

Подписи оси Х А2:А17;

Щелкнуть по кнопке Далее;

г) в третьем окне Мастера диаграмм ввести:

Название диаграммы Система

Ось Х Аргумент

Ось У Значения

щелкнуть по кнопке Далее;

д) на последнем шаге Мастера диаграмм выбрать опцию

 На отдельном листе и щелкнуть Готово.

На полученном графике (рис. 16) видно, что в указанном диапазоне система имеет единственное решение (графики имеют только одну точку пересечения).

 

Рис. 16. Решение системы уравнений

 

Для нахождения решения:

- поставить указатель мыши в точку пересечения графиков;

- щелкнуть левой клавишей мыши. Появится надпись с указанием приблизительного решения системы уравнений:

Ряд “y=cos(x)” Точка “0,8”

Значение: 0,6967067

Следовательно, решением уравнения являются:

х =0,8

у =0,697.

3.4. Выполнение задания 4

 

3.4.1. Выбрать из табл. 11 индивидуальное задание по указанию преподавателя.

 

3.4.2. Добавить новый рабочий лист.

3.4.3. Графически решить систему уравнений в указанном диапазоне с заданным шагом по индивидуальному заданию.

 

Таблица 11

 

№ варианта	Система уравнений	Диапазон изменения аргумента	Шаг изменения Аргумента Dх
		х Î[0,2;3]	D x =0,2
		х Î[0,2;3]	D x =0,2
		х Î[0;2]	D x =0,1
		х Î[0,2;3]	D x =0,1
		х Î[0;2]	D x =0,2
		х Î[0,2;3]	D x =0,1
		х Î[0;2]	D x =0,2
		х Î[0;2]	D x =0,1
		х Î[0;2]	D x =0,1
		х Î[0,2;3]	D x =0,2

 

Отчет по работе

Распечатка графиков.

 

Литература: [3], с. 187-193.

Работа 4. Приближенное решение уравнений

 

1. Цель работы

 

Изучение работы с процедурой Подбор параметра.