Критерий оптимальности транспортной задачи. Метод потенциалов.

Получив опорный план следует проверить его оптимальность. И если требуется перейти к новому опорному плану, с лучшим значением целевой функции Z

Для этого применим метод потенциалов. Каждому поставщику ai, и каждому потребителю bj, сопоставляют величины Ui и Vj.

Для того, чтобы некоторый опроный план: Х*=[[Xij]]ТЗ был минимальным (оптим.) необходимо и достаточно, чтобы ему соотв. система из (k+l)чисел Ui*,Vj*.Удовлетвор. условиям: Cij-(Ui+Vj)=0.Cij=Ui+Vj,где Xij >=0.(для занятых клеток). (1) Дельта Cij=Cij-(Ui+Vj)>=0 (для свободных клеток).(2) Числа Ui,Vj-называются потенциалами, соответ-но производителей и потребителей. Вся их система - потенциальная, а условия (1) и (2) – условия потенциальной системы. {Ui*,Vj*}.i=1,2,…,k. j=1,2,…,l. Каждое неравенство в отдельности (равенство) называется условием потенциальности, для соответст. клетки I,j.Поскольку числа неизвестных потенциалов (k+l),всегда на 1 больше числа уравнений N=k+l-1, то выбираем строку, где есть занятая клетка и для этой строки назначаем потенциал =0 и легко находить последовательно из уравнения (1) значение остальных потенциалов. Если же число заполненных клеток N<к+l-1,то выбираем строку, где есть занятая клетка с нулевыми перевозками и со стоимостью, которая нужна для определения потенциала из уравнения (1). Затем, для свободных клеток из соотношения (2) определяем величину дельта Cij>=0, то получим оптимальный план перевозок. Если же встречаем отрицательное Cij,то план не оптимальный и его нужно улучшать. Для проверки на оптимальность любого базисного решения ТЗ можно использовать метод оценок клеток. Оценкой клетки (ij)называется величина Zij=Cij+(Ui+Vj), где Cij-тарифы перевозок, Ui,Vj-числа, дополнительно доставляются снизу в строку и справа в столбце. Одно из них выбирается произвольно, а все другие подбираются так, что оценка заполненной клетки =0. Далее сост.матрица оценок клеток. Критерий оптимальности ТЗ: если в матрице оценок клеток нет отриц.элементов, то получается оптимальное решение. Экономический смысл оценок клеток: 1) если оценка клетки отрицательна – это значит, что изменение поставок в эту клетку уменьшит стоимость перевозки на величину (выгодные клетки); 2) если Zij>0 – это значит, что изменение поставки в эту клетку увеличит стоимость перевозки (невыгодные клетки); 3) если Zij=0, изменение поставки в эти клетки не приводит к изменению стоимости перевозки.

 

 

Доверительный интервал для мат ожидания при известном среднем квадратичном отклонении.
В некотором случае G ошибки измерения бывает неизвестно например если измерение проводится одним и тем же прибором. При одних и тех же условиях,то G для всех измерений одно и тоже и обычно бывает известно.Пусть случайная величина Х распред нормально с парал-ми а G причем известна;построим доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр.Данные выборки есть реализация случайных величин Х1,Х2…Хn имеющих нормальное расположение с параметрами.При этом М(x ̅)=a, a G(x ̅)=G/√n,чтобы выполнялось соотношение,вероятность p=(|x ̅-a|<b)=ί где ί задана надежность.Пользуясь формулой
P=(|x ̅-a|<b)=2Ф((β√n)/G) или P=(|x ̅-a|<b)=2Ф(t),где t=((β√n)/G)
Из (1) найдем b=Gt/√n, мы можем P=(|x ̅-a|<Gt/√n)=2Ф(t) т.к. p задана= ί,то окончательно имеем замен-ем x ̅ на x ̅b
P(x ̅b- (tG)/(√n)<a< x ̅b+ (tG)/(√n))=2Ф(t) смысл полученного соотношения таков,что с надежностью ί можно утверждать что доверительный интервал (x ̅b- (tG)/(√n), x ̅b+ (tG)/(√n)) покрывает неизвестный параметр.Точность оценки β=(tG)/(√n).Здесь число t определяется из равенства,что Ф(t)= ί/2 по таблице приложения 2.

 

 

Доверительные интервальные для параметров нормального распределения.
Пусть Q- оцениваемый параметр Qn-его оценка,составленная из Х1,Х2…Х n.Если известна что оценка Qn является несмещенной и состоятельной,то по данным выборки вычисляет значение Qn и считает его приближение истинного значения Q. При этом средне квадратичное отклонение оценивает порядок ошибки.Такие оценки называются точечными.Если о распределении имеется какая-либо информация,то можно сделать больше.Рассмотрим оценку параметров а,в.
В чем суть его.Пусть b>0,некоторое число если выполняется неравенство
|Q-(Qn) ̅|<b,т.е. (Qn) ̅-b<Q<(Qn) ̅+b то говорят что интервал ((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) покрывает параметр Q.Однако невозможно указывать оценку Qn такую,что события
|Q-(Qn) ̅|<b было достоверным,поэтому мы будем говорить о вероятности этого события число b- называется точной оценкой.
Надежностью(доверительной вероятностью) оценки (Qn) ̅ параметра Q для заданного b>0 называется вероятность того,что интервал (Qn) ̅-b<Q<(Qn) ̅+b покроет параметр Q.Заметим,что после того как по данным выборки вычислена оценка (Qn) ̅ событие
|Q-(Qn) ̅|<b
становится или достоверным или невозможным т.к. интервал ((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) покрывает Q или нет.Но дело в том что параметр Q нам неизвестен,поэтому мы называем надежностью уж вычислительной оценки (Qn) ̅.Вероятностью того что интервал
((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) найдены для производственной выборки покроет.Если мы сделаем много выборок Vn и для которой из них построим интервал,то доля тех выборок чьи интервалы покроют Q.Чем меньше число b тем меньше надежность.
Доверительным интервалом – называется найденный по данным выборки интервал ((Qn) ̅-b;(Qn) ̅+b) который покрывает параметр Q с заданной надежностью.Надежность обычно принимает равной 0,95 ил 0,99 или 0,999.
Доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратичном отклонении.
В некоторых случаях ошибки измерения

 

Статистические оценки параметров распоед-я требования к статистическим оценкам..

а) выборка как набор СВ.

пусть имеется непрерывная случайная совокупность каждый объект которой наделен признаком х.При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение х признака х этого объекта.Т.о мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание,а х-как СВ,а х-как одно из возможных значений х.Допустим что удалось установить к какому типу распред-я относ-ся признак х поэтому возникает задача оценки параметров которые определяют это распред-е.Нарпимер если известно что изучаемый признак распред-я в генер.совокупности нормально то необходимо оценить т.е приближенно найти М(к) и G т.к эти 2 параметра полностью определяют норм.распред-е.Обычно в распред-и исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности.Например значение количественного признака х₁,х₂…х_n получ. В результате наблюдений через эти данные и выражаются оцениваемые параметры.Опытное значение х можно рассматривать как значение разл.Св х₁,х₂…х_n с тем распред-ем что и х и следовательно с теми же числовыми хар-ками которые имеет х.

М(x_i)=М(х); Д(x_i)=Д(х) Величины х₁,х₂…х _n можно считать независимыми в силу независимых наблюдений.Значения х₁,х₂…х _n в этом случае наз. Реализациями.СВ х₁,х₂…х_n cледует что найти оценку неизвестным параметрам это значит найти ф-и от наблюдаемых CВ х₁,х₂..х_n которое дает приблизительное значение оцениваемого параметра. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность Vn относительно количественного признака х.Генеральной средней х_n средняя(или Q) наз.среднее арифметическое значение признака генеральной совокупности.Если все значения х₁,х₂…х_n признака генеральной совокупности объема N различны, то х_r =1/N(х₁ +х₂+…+х_n) при условии что ∑х=N .(1) Пусть все значения х₁,х₂…х_n различны т.к объект может быть извлечен с одной и той же вер-тью 1/N,то М(х) = х₁ *1/N₂ + х₂ * 1/N₂ + … + х_n *1/N_n=x_r (2). Вчаеучае непрерывного распределения признака х по определению полагаю что справедлива формула: М(х)=х_r средняя (2*). Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака х произведена выборка Vn.Выборочной средней Хв средняя наз.средняя арифметическая признака выборочной совокупности.Если все значения выборочной совокупности различны,то Хв средняя=1/N(х₁+х₂+…х_n) (3). Если же значения признака х₁,х₂…х_n имеют соответственно частоты n₁,n₂…n_k причем n₁+n₂+….n_k=n, то Хв средняя=1/N(х₁*n₁+x₂*n₂+…+x_k*n_k)= 1/N ∑от i=1 до k х_i n_i ,(4) эта величина наз.выборочной средней СВ с учётом св-в М(х).М(хсредняя)=М[1/N(x₁+x₂…+x_n)]= 1/2М(х₁+х₂…+х_n)= 1/n [М(х₁)+М(х₂)+…+М(х_n)]=1/n [М(х)+М(х)+…+М(х)]=1/n * n * a =a. М(хсредняя)мат. Ожидание выборочной средней совпадает с а генеральной средней т.к Д(х_i)=Д(х) и х₁,х₂..х_n независимы то согласно св-вам получаем:Д(хсредняя)=Д (1/n(x₁+x₂+…+x_n)=1/n²Д(х₁+х₂+…+х_n)=1/n² [Д(х₁)+Д(х₂)+…+Д(х_n)]= 1/n² [Д(х)+Д(х)+…+Д(х)]=1/n²*nД(х)=Д(х)/n т.е Д(хсредняя)=Д(х)/n (5). если варианта x_i > числа то для облегчения вычисления х_i3 применяют следующий прием: пусть с-сonst,то ∑от i=1 до n хi=∑от i=1 до n (х_i-c)+nc, то формула (3) преобразуется к виду Хв средняя=С+1/N ∑от i=1 до n (x_i-c) (6). Константу С берут такой чтобы разность х_i-c было по возможности не большим а число с было по возможности круглым.

б) Генеральная выборочная дисперсия.Для того чтобы охарактеризовать рассеивание значений колич.признака х генер.совокупности вокруг своего среднего значения вводят следующие хар-ки генеральной дисперсии.Генеральной дисперсией-наз.средняя арифметическая квадратов отклонений значений признака х генер.совокупности от генеральной средней.Если все значения х₁,х₂…х_n признака генер.совокупности объема N различны то: Д_r =1/N∑от i=1до n (х_i-x_r средняя)².Если же значения признака х_1,х₂…хn имеют соот.частоты N₁,N₂…N_k причем N₁+N₂….+N_k=N, то Д_r=1/n ∑от i=1до n (х_i-х_r)²*N_i .(7). Генер.сред.квад.отклонением наз. Корень квадратный из генер.Д_r:G_r=√Д_r.В случае непрерывного распред-я х предполагает Дr=Д(x) (8). Величина Ϭ(хсредняя) наз. Средней квад.ошибкой.Для того чтобы охарактер-ть рассеивание наблюдаемых значений колич.признака выборки вокруг своего среднего значения Хв среднее вводят след.хар-ку:Выбор дисперсий Дв наз.сред.ариф.квадратов отклонения наблюдаемых значений признака Х от Хв средняя.Если все значения х₁,х₂…х_n признака выборки объема и различны то Дв = 1/n∑от i=1 до n(x_i-x_в cредняя) (9). Если же значения признака х₁,х₂…х_n имеют соот.частоты n₁,n₂..n_k причем n₁,n₂..n_k=n., то Дв=1/n∑от i=1 до n (x_i-x_в средняя)²*n_i (10). Выбор.сред.квадр.отклонением наз.квад.корень из выборочной дисперсии Ϭв=√Дв.Дв рассм.как СВ будем обозначать S²cредняя=1/n∑от i=1до n(х_i-xсредняя)². Теорема: М(х) выборочной дисперсии М(S² средняя) =n-1/n*Дr, если варианты хi > числа,то (9)преобразуется к виду Дв=1/n ∑отi=1до n(х_i-c)²- (x_n средняя-c)² (11),где с-ложный нуль.Обозначим через Q-оцениваемые параметры Q средняя –оценка параметра.Для того чтобы оценка Q давала хорошее приближение она должна удовлетворять требованиям: 1)несмещенной наз.оценку Qn средняя,М(х) которая = оцениваемому параметру Q т.е М(Qn средняя)=Q.

2)состоятельной наз.такую оценку Qn средняя параметра Q что для любого наперед заданного числа E >0 вер-ть P {│Qn средняя-Q│< E } при n→∞→1 это значит что оценка Qn средняя отличается от оцениваемого параметра Q < чем на E несмещенная оценка Qn средняя будет состоятельной если при n→∞ ее дисперсия →0.

 

 

Многоугольник распред-я полигон и гистограмм.Полигоном частот наз.ломанную отрезки которой соединяют точки (x₁ , х_n);(х₂, х_n)…(х_k,х_k), где х_i варианты выборки,ni- частоты.Полигоном относ.частот наз.-ломаннуюотрезки которой соединяют точки (х₁, w₁);(х₂,w₂)…(x_k,w_k,где хi –варианты,w-частоты.Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы,для ее построения в прямоугольной системе координат на оси х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках как на основаниях строят прямоугольник с высотами равными частотам или относительным частотам.

 

 

Свойства и задачи ЛП.

1. множество всех допустимых решений системы функциональных ограничений явл-ся выпуклым многоугольником.

2. Если ЗЛП имеет оптимальные решения, то целевая функция принимает max/min в одной из угловых точек многоугольника решений.

Если z(x) принимает оптимальные значения болеем вем в одной угловой точки, любой точке, является выпуклой линейной комбинации этой точки. Это свойство является фундаментальным, т.к. указывает путь решения ЗЛП вместо исследования бесконечного множества допустимых решений. Для нахождения оптимального значения исследуется лишь угловые точки, число которых конечно.

3. Каждому допустимому базисному решению ЗЛП соответствует угловая точка многоугольника решений, и наоборот, каждой угловой точке многоугольника решений соответствует допустимому базисному решению.