Следствия невыполнения гипотез РА.

На практике гипотезы <1>-<5> н в той или иной мере не выполняются, поэтому МНК-оценки не обладают требуемыми свойствами наилучших линейных оценок(НЛО): свойствами несмещённости, эффективности, состоятельности. Нарушение каждого из условий РА-МНК приводит к тому или иному виду ошибок. По степени влияния на окончательные результаты следует в первую очередь обратить внимание на возможные нарушения условий <3.1>,<3.2>,<4.2>.Наиболее серьёзные нарушения <3.1> для моделей, параметры которых подлежат физической интерпретации: оценки оказываются неэффективными, неустойчивыми по отношению к наблюдениям, а при сильной коррелированности регрессоров интерпретация компонент β_jоказывается бессмысленной. Модели прогноза при зависимых xj теряют в точности предсказания. Особого внимания при нарушении условия <2.1> требует случай избыточности модели. При этом вектор β останется несмещённым; ошибки его компонент и прогноза Y˄ заметным образом возрастут. Нарушение условия <4.2>создаёт проблемы при поиске оптимальной модели по t- и F-статистикам, а также при построении интервальных оценок.

В. 33.

Методология РМ.

На начальном этапе адаптивный РМ-подход предусматривает применение линейной по оцениваемым параметрам модели и вычисленной схеме МНК; на последующих этапах:- проверку соблюдения гипотез РА-МНК, ранжирование нарушений по степени искажения свойств НЛО-оценок β˄ или Y˄ в зависимости от назначения модели (прогноз, описание или описание и прогноз);- последовательную адаптацию к нарушениям путём применения соответствующих вычислительных процедур; - проверки нарушений и ранжирование при необходимости. Основными элементами РМ-подхода, формирующими НЛО параметров и прогноза, являются выработка, функции, методы оценивания и структурной идентификации, а также вычислительные сценарии адаптации.

В.35.

Анализ соблюдения предположений РА-МНК по остаткам.

Остатки. Анализ предположений обычно выполняется по остаткам e=Y-Xβ˄ или e=Y-Y˄, где Y˄ -прогноз. При этом используются графические и аналитические методы, кратко. Идеи использования остатков e_i(i=1,n) для анализа состоит в том, что eотождествляется с ε в соответствии с моделями Y=Xβ+εи Y=Xβ˄+ε. Например, если ε~ N_n(0,Ϭ²I) или ε~ N(0,Ϭ²) в соответствии с <4.2>-<4.4>, то мы вправе ожидать, что eи e_iведут себя аналогично. Если это не так, то соответствующие предположения нарушены. Обычно вместо остатков используют шкалированные остатки d_i=e_i/s, где S=Ϭ˄- обычная стандартная ошибка наблюдения. В этом случае полагают, что di~N(0,1), строят графики зависимости остатков di от Y˄, {xj:j=1,p-1} и другие. Наряду с графиками вычисляются и другие статистические критерии. Пусть для постулированной модели Y=Xβ+εреализована стандартная процедура РА построения MR-модели, в результате чего получены МНК-оценка β˄, матрица ковариаций D(β˄), остатки di, а также внутренне и, возможно, внешние меры качества.

В.36.

Анализ соблюдения предположений по вектору β и процедуры адаптации.

Нарушение <2.1>. Рассмотрим случай, когда линейная модель y_i=β₀+β₁*_xi,1+…+β_p-1*x_i,p-1+ε_i, i=1,n͞ признаётся в целом адекватной и пригодной для описания или прогноза, однако она может быть улучшена по структуре путём устранения избыточных регрессоров или введением значимых факторов. Такими признаками нарушения,<2.1>являются:- при избыточности наличие слагаемых в модели со значениями t≤tт или p-level≥α, где α-принятый уровень значимости (обычно α=0,05), tт- критическое значение t- статистики при соответствующем α;

-при недоопределённости тренды на графиках остатков (dY˄;x_j), отличающиеся от горизонтальной равномерной полосы шириной +/- 2*Ϭ. Если модель избыточна, то логично устранить незначимую переменную и пересчитать заново β-коэффициенты. При одновременном нарушении предположений <2.1>и <3.1>простой вывод незначимых переменных переменныхxj–рискованная процедура. В этом случае применяют метод пошаговой регрессии или другие способы. При неопределённости модели следует искать пропущенные факторы (x_k,x_j²,t,…).Если модель сразу признаётся неадекватной, то необходимо перейти к другому классу линейных базовых функций или применить модель, нелинейную по β, и нелинейный МНК.

Нарушение <2.2>. Это условие может быть нарушено для параметрических (описательных) моделей. Специальных признаков нарушения не существует. Косвенными признаками могут быть и признаки нарушения <3.1>, а именно, значимые коэффициенты парной корреляции. Адаптация путём учёта ограниченной на вектор β приводит к решению задачи на поиск экстремума функции с линейными или нелинейными ограничениями.

Нарушение<2.3>. О необходимости устранения β0 судят, исходя их существа процесса или из результатов сравнения по внешним критериям качествам. Если модель y_i=β₀+β₁*_xi,1+…+β_p-1*x_i,p-1+ε_i, i=1,n͞ не содержит аддитивную постоянную β0, то не всякая регрессионная процедура из пакета прикладных программ (ППП) может быть применена для вычислительной обработки. Современные ППП обычно предусматривают два режима расчётов: с β0 и без β0.

В. 37.

Анализ соблюдения предположений по матрице X и процедуры адаптации.

Нарушение <3.1>. Случай зависимости xj(j=0,p-1) друг от друга часто называют мультиколлинеарностью (МК). Наиболее просто МК обнаруживается по коэффициентам парной корреляции r_ijмежду x_j. Если r_ijзначимо отличны от нуля, МК признаётся заметной и проводятся дополнительные исследования. Полезным может быть вычисление det(X^тX); близость его значения к нулю дополнительно указывает на наличие МК. Адаптация к нарушению <3.1> возможна на каждом этапе процесса моделирования: при организации эксперимента, постулировании модели, оценивания параметров и поиске оптимального набора регрессоров. Отметим соответствующие процедуры адаптации в двух последних случаях. При сильной МК наиболее эффективном способом её уменьшения является операция центрирования. При строгой МК (вырожденный случай) иногда может помочь смещённое оценивание. Полностью избавиться от МК при оценивании зависимых βjне всегда представляется возможным. Для параметрической модели, как уже отмечалось, наилучшим способом является использование всей априорной информации в виде ограничений на вектор β. Если модель используется для прогноза, то можно вывести из неё несколько коррелирующих (дублирующих) членов. Самый простой способ – удаление из структуры одного из двух регрессоров, имеющих значения r_ijпорядка 0.8-0.9. Из множества методов поиска оптимальной структуры приp≥20÷40обычно рекомендуют метод включения с исключением (пошаговую регрессию).

Нарушение <3.2>. Об этом нарушении можно судить по косвенному признаку- резкому различию между внутренней и внешней точностью прогноза. При подозрении на нарушение <3.2>. и наличии информации о точности x_ijможно обратиться к одной из вычислительных схем условной регрессии – РА со случайными коэффициентами.

В.38.

Анализ соблюдения предположений по вектору ε и процедуры адаптации.

Нарушение <4.1>. Обычно нарушение об аддитивности ε происходит при переходе от нелинейной по β модели (внутренне линейной) К ЛИНЕЙНОЙ И КОСВЕННО ОБНАРУЖИВАЕТСЯ ПО ЯВЛЕНИЮ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ НА ГРАФИКЕ (d,Y˄) для преобразованной модели. Гетероскедастичностью называется явление увеличения или уменьшения дисперсии от Y˄ или x_j.Для получения ошибок, удовлетворяющих условиям теоремы Гаусса-Маркова, можно преобразовать Y и при необходимости x_j(j=0,p-1). В общем случае это достаточно трудно.

Нарушение <4.2>. Для проверки нарушения условия ε~Nnприменяются как графические, так и аналитические способы. В первом случае можно использовать нормальную вероятную бумагу или её аналоги; график (d,Y˄) в виде тренда шириной +/- 2Ϭ, равномерно заполненный на 95%, помимо адекватности модели свидетельствует о нормальности e. Кроме того предположение о нормальности нарушается, если наблюдения обременены аномальными выбросами. Если на графиках остатков (d,Y˄;x_j) за пределами полосы +/- 3Ϭ присутствуют точки, то условие <4.2> следует считать нарушенным. Из аналитических критериев распространены критерий «хи квадрат», Колмогорова – Смирнова (n≥100), а также критерий Шапиро и Уилка (n≥20). Нормальность приблизительно может быть оценена по методу Айвазяна. Адаптация к нарушению <4.2>может быть выполнена удалением выбросов, а также дополнительно применением робастных (устойчивых) методов оценивая.

Нарушение <4.3>. Условие M(εi)=0 не требует особого внимания при наличии β0 в модели. Отличие оiт нуля d͞=∑(n,i=1) (ei/S) обычно сигнализирует об ошибках в расчётах.

Нарушение <4.4>. Нарушение условия постоянства дисперсии Ϭ͞² обычно проверяется по графикам остатков (d,Y˄,xj). Выбор схемы адаптации к нарушению <4.3> зависит от возможности описать неоднородность дисперсии аналитическим соотношениям или от возможности оценить дисперсии наблюдений (или веса). Если, например, можно определить матрицу ковариаций D(Y˄) после первого приближения МНК, то применяют схему взвешанного МНК.

Нарушение <4.5>. Для проверки условия независимости ошибок из-за неучета фактора времени используют графики остатков (d,T), где T-время или номер наблюдения. По виду кривых делается вывод о необходимости введения линейного или нелинейного слагаемого по T. Для выявления взаимных корреляций между ei(авторегрессий первого порядка) используют критерий Дарбина- Уотсона (Dили DW-критерий). В этом случае анализируются зависимости вида ε_i=ρε_i-1+ε`<sub>I</sub>, где ε`_I~N(0,Ϭ²). Адаптация к нарушению <4.5>из-за пропуска Tвыполняется введением Т (или Т²). Если и после этого остаётся авторегрессия, фиксируемая по D– критерию, то прибегают к обобщённому МНК, используя оценку параметра авторегрессии ρ.

В.39.