Вероятность катастрофы ЛА с дублирующими системами

В этом случае

 

. (1.1)

 

Перейдем к противоположным событиям и будем иметь:

 

. (1.2)

 

Вследствие соотношения двойственности из равенства (1.2) получим:

 

. (1.3)

 

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

 

. (1.4)

 

Вследствие независимости событий из равенства (1.4) получим:

 

 

(1.5)

 

 

Рассмотрим структуру событий Е_KD, Е_KЭ, Е_KC и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом:

· двигателей Е_KD;

· систем энергоснабжения Е_KЭ;

· вспомогательных подсистем Е_KC.

Рассмотрим структуру событий Е _KD и найдем P(Е_KD) = P_KD.

Так как событие Е_KD – это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью P_D.

Значит,

.

 

Так как в нашем случае число двигателей m = 4, а r = 3; то

 

r + 1 = 3 + 1 = 4.

Следовательно,

,

 

где Е_{KD 3} – событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 3 из m = 4 двигателей;

Е_{KD ≥4} – событие, состоящее в том, что катастрофа произошла в

связи с выходом из строя любых (r+ 1) = 4 и более двигателей, а в нашем случае Е_{KD ≥4} = Е_{KD 4} – это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа всех четырех двигателей. Из этого следует, что

 

. (1.6)

В свою очередь, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей

(при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью P_D), значит,

 

, (1.7)

тогда

.

 

 

Так как события Е_{KD 3} и Е_{KD ≥ 4} несовместны, то

 

 

 

а для нашего случая, учитывая выражение (1.6), получим:

 

 

 

 

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

 

 

 

 

(1.8)

 

то есть работает только 4-й, либо 3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из четырех имеющихся у ЛА.

Доказать, что события E_{KD 3} и Е_{KD ≥ 4} несовместны, можно следующим образом:

Согласно равенствам (1.7) и (1.6) имеем:

 

 

 

в соответствии с выражением (1.8) находим далее:

 

 

Используя тот факт, что и , получим:

 

 

 

Но если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

______________________

Примечание – и – прерванное и продолженное преобразование текущего выражения.

 

По определению условной вероятности имеем:

 

 

 

а вследствие независимости событий далее находим:

 

 

 

 

Используя равенство (1.7) и несовместимость его слагаемых, получим:

 

 

 

Вследствие независимости всех событий и так как , будем далее иметь:

 

 

Так как P (D_i) = P_i, i = 1,4 и P (E_K / E_{D 3}) = P_D, то

 

 

 

Если выполняется условие

 

(1.9)

 

для всех и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то

 

 

,

а также значит, что

 

.

 

Тогда имеем

 

 

(1.10)

 

 

(1.10)

 

 

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

 

 

(1.11)

 

Рассмотрим структуру событий Е_КЭ и найдем Р (Е_КЭ) = Р_КЭ.

Е_КЭ ≡ В ₁ · В ₂ · В ₃– катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).

Так как все события В ₁ , независимы, имеем:

 

 

 

(1.12)

 

Подставив значения, данные из условия задания, получим

 

(1.13)

 

 

Рассмотрим структуру событий Е_КС и найдем Р (Е_КС) = Р_КС. Событие Е_КС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем. Значит,

 

По закону двойственности

 

 

 

 

Так как события независимы, получим:

 

Поскольку , получим:

 

 

Тогда

 

Если выполняется условие:

 

то

 

 

 

(1.14)

 

 

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

 

(1.15)

Р а с ч е т н а я ч а с т ь

 

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность

катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

 

 

Если выполняется условие и и , то будем далее иметь

 

 

Видно, что , так как .

Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.