Осн. Правила и формулы комбинаторики

ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления.

опр: экспериментом или опытом наз осущ-е намеч-го дейст-я и получение его рез-та. предметом ТВ, кот изучает закономерности случ явлений явл модели экспер-в со случ исходами. элем соб-ем наз каждый из равнов-х рез-в испытаний. всякий мыслимый рез экспет-та наз элем соб-ем и оброзн ω₁, ω₂,…, ω_n.

простр-вом элем соб-й наз мн-во всех взаимно исключающих экспер-та. обозн.

Математическая модель случайного эксперимента включает в себя:

1) построение множества элементарных исходов ;

2) описание множества событий для данного эксперимента;

3) задание вероятностного распределения на множестве событий.

 

 

2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Результат испытания называется событием, независимо от его значимости. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать, называется случайным событием.

опр:Каждое случайное событие определяется как подмножество в множестве элементарных событий . При этом те элементарные события из , при которых событие наступает (т.е. принадлежит подмножеству ) называют благоприятствующими событию .

опр:Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Другими словами, события и совместны, если соответствующие множества и имеют общие элементы, и несовместны в противном случае, если появление одного из них исключает появление другого, и соответствующие множества и не имеют общих элементов.

опр: Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий . Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

Событие, совпадающее с пустым множеством , называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством , называется достоверным событием.

опр: События называют равновозможными, если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

 

 

3.ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ

() – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (не исключающее логическое «или»).

() – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое «и»).

3. (множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих ) – разность событий.

4. Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в .

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.

 

Теоремы сложения вероятностей

Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

 

8. Теоремы умножения вероятностей

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

 

.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

Р(А₁·А₂·…·А_n)= Р(А₁)·(А₂)·…·Р(А_n)

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.

3.

4.

5. D(X-Y)= D(X)-D(Y)

ОПР: Средним квадратичным отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины: .

 

 

17. НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла:

Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла:

.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

.

 

 

18. БИННОМИНАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ОПР: законом распределения случайной величины наз соот-ие между значениями случ-й величины и их верот-ми.

Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: .

Биномиальный закон распределения часть приходится применять в условиях, когда число независимых испытаний велико. Вычисление вероятностей по формуле Бернулли при этом усложняется, поэтому представляет интерес асимптотическое приближение для биномиального закона, справедливое при больших . Возможны два случая:

1. Когда при увеличении числа испытаний математическое ожидание рассматриваемой случайной величины тоже неограниченно возрастает (случай постоянного ); при этом биномиальное распределение сходится к нормальному закону, который будет рассмотрен позже.

2. Когда при увеличении числа испытаний остается постоянным произведение , то есть математическое ожидание рассматриваемой случайной величины остается конечным. Это означает, что вероятность события стремится к нулю. В этом случае биномиальное распределение сходится к распределению Пуассона.

 

19. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАСОНА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ОПР:Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле Пуассона, когда :

ТЕОРЕМА: М случ величины распред-ой по закону Пуассона =λ Д=λ, ϭ(х)=

 

Нормальное распределение

ОПР: Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где – среднее квадратичное отклонение;

– математическое ожидание случайной величины.

ТЕОРЕМА: М(х)=m D(x)=ϭ ϭ(x)=ϭ

 

 

21. ОПР: Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,

где .

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.

3.

4.

5. D(X-Y)= D(X)-D(Y)

 

 

ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления.

опр: экспериментом или опытом наз осущ-е намеч-го дейст-я и получение его рез-та. предметом ТВ, кот изучает закономерности случ явлений явл модели экспер-в со случ исходами. элем соб-ем наз каждый из равнов-х рез-в испытаний. всякий мыслимый рез экспет-та наз элем соб-ем и оброзн ω₁, ω₂,…, ω_n.

простр-вом элем соб-й наз мн-во всех взаимно исключающих экспер-та. обозн.

Математическая модель случайного эксперимента включает в себя:

1) построение множества элементарных исходов ;

2) описание множества событий для данного эксперимента;

3) задание вероятностного распределения на множестве событий.

 

 

2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Результат испытания называется событием, независимо от его значимости. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать, называется случайным событием.

опр:Каждое случайное событие определяется как подмножество в множестве элементарных событий . При этом те элементарные события из , при которых событие наступает (т.е. принадлежит подмножеству ) называют благоприятствующими событию .

опр:Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Другими словами, события и совместны, если соответствующие множества и имеют общие элементы, и несовместны в противном случае, если появление одного из них исключает появление другого, и соответствующие множества и не имеют общих элементов.

опр: Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий . Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

Событие, совпадающее с пустым множеством , называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством , называется достоверным событием.

опр: События называют равновозможными, если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

 

 

3.ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ

() – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (не исключающее логическое «или»).

() – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое «и»).

3. (множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих ) – разность событий.

4. Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в .

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.

 

ОСН. ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

Выбор с возвр-нием: кажд выбр-ный шарик возвр-ся в урну, т.е. кажд из шариков выбир-ся из полной урны. В получ-м наборе, сост-м из номеров шариков, могут встреч-ся одни и те же номера (выборка с повторениями).

· Выбор без возвр-ния: выбр-ные шарики в урну не возвр-ся, и в получ наборе не могут встреч-ся одни и те же номера (выборка без повторений).

· Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров.

· Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

Размещ-ми из элем-в по ( ) наз их соед-ния, каждое из кот содержит ровно различ-х элем-в, и кот отлич-ся либо сами элем-ми, либо порядком элем-в.

Теорема. Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-ов из без возвращения и с учетом порядка наз-ся числом размещений из элементов по и определяется формулой .

Соединения из элем-в, каждое из кот содержит все элем-в, и кот отлич-ся лишь порядком элем-в, наз-ся перестановками .

Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-в из без возвращения и с учетом порядка наз числом перестановок и опр-ся по формуле

Соч-ми из элем-в по () наз такие их соед-я, каждое из кот содержит ровно д-ых элем-в, и кот отлич-ся хотя бы одним элем-м.

Теорема. Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-в из без возвр-ия и без учета порядка наз числом сочетаний из элем-в по и опр-ся формулой:

.

Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и с учетом порядка определяется формулой .

Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и без учета порядка определяется формулой

5. КЛАССИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов :

0≤m≤n

0≤m/n≤1

0≤P(A)≤1

Т.о. вер-ть любого соб-я есть неотриц. число превышающее 1.

если Р(А)=0, то соб-е А невозможное.

если Р(А)=1, то соб-е А достоверное.

Равновозм-ое элем-ое соб-е явл равновероятностным, т.е. обладает одной и той же вер-ю.

Т1. А=В, Р(А)=Р(В)

Т2. если АϵВ, Р(А)≤Р(В)

Т3. Ā есть противоп соб-е к соб-ю А, то Р(А)+Р(Ā)=1