Доверительные интервалы математического ожидания и для дисперсии нормально распределенной случайной величины.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по выборочному среднему . Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью .

Будем рассматривать выборочное среднее , как случайную величину (т.к. меняется от выборки к выборке), и выборочные значения , как одинаково распределенные независимые случайные величины (эти числа также меняются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно a и среднее квадратическое отклонение – s. Так как случайная величина X распределена нормально, то и выборочное среднее также распределено нормально.

Выражение для искомого доверительного интервала вычисляется по формуле с надежностью . по табл Стьюдента находится с заданным объемом выборки и надежностью.

 

37. СТАТИС-АЯ ГИПОТЕЗА, СТАТИС-Й КРИТЕРИЙ, ОШИБКИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Следует отметить, что последствия ошибок могут оказаться различными. Если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение «продолжать строительство» несмотря на опасность обвала дома, то эта ошибка второго рода может привести к многочисленным жертвам. Иногда, наоборот, ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину (обозначим ее через K), которая служит для проверки нулевой гипотезы. Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия K принимают отношение исправленных выборочных дисперсий .

 

38. КРИТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ, МОЩНОСТЬ КРИТЕРИЯ.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Так как критерий K – одномерная случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и, соответственно, должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Такие точки называются критическими точками.

Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами , где .

 

 

39. СХЕМА ПРОВЕРКИ СТАТ-ОЙ ГИПОТЕЗЫ.

1. Сформулировать нулевую H₀ и альтернативную Н₁, гипотезы.

2. Выбрать уровень значимости α.

3. В соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н₀

иыбрать статистический критерий для ее проверки, т. е. — специально подобранную случайную величину К, точное или приближенное распределение которой заранее известно.

4. По таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве статистического критерия, найти крити­ческое значение К_кр (критйческую точку или точки).

5. На основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемое значение критерия К_набл

6. По виду конкурирующей гипотезы Н₁ определить тип критической области.

7. Определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия К_на6п, и в зависи­мости от этого -— принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀.

Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н₀ путем сравнения наблюдаемого и критического значения критерия.

 

41. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА.

Пусть генеральные совокупности X и У распределены нормально, причем их дисперсии D(X) = ϭ ²_х и D(Y) = ϭ²_y известны. По независимым выборкам объемов п_х и п _у,

извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние X и У.

Требуется по выборочным средним, при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормально распределенных генеральных совокупностей X и У:

Н₀: М(Х) = М(У);

Н₁: М(Х)≠ М(У)

До сих пор мы предполагали, что закон распределения генеральной совокупности известен. Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К.Пирсона («хи квадрат»). Ограничимся применением критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

 

43. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как случайные величины подвержены действию случайных факторов, причем среди них могут быть и общие для двух или нескольких величин. В этом случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой – в этом случае статистическая зависимость называется корреляционной.

Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной Y, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) среднего значения Y при фиксированных значениях независимых переменных.

Корреляционно-регрессионный анализ включает в ceбя измерение тесноты и направления связи, а также установление аналитического выражения (формы) связи.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

 

48. ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦ ЗАВИСИМОСТЬ И ПРЯМЫЕ РЕГРЕСИИ.

 

 

49. КОЭФФИЦИЕНТ ЛИНЕЙНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА

 

 

50. ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ РЕГРЕССИИ.

 

45. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ.