расчет статически неопределимых систем методом перемещений: установление степени кинематической неопределимости.

в методе перемещений за неизвестные принимаются перемещения z (линейные и угловые) узлов системы, по которым определяются внутренние усилия M,N,Q и напряжения σ в произвольном сечении.

Установление степени кинематической неопределимости. Общее число неизвестных перемещений n=nу+nл, где nу- число угловых перемещений узлов; nл- число линейных перемещений узлов. Заданная система

Nу = числу жестких узлов=2

Nл = числу независимых линейных перемещений узлов.

Последовательность определения nл:

1 Превращаем систему в шарнирную систему, поставив шарниры во все узлы.

2 Превращаем полученный механизм в геометрически неизменяемую систему, путем постановки дополнительных стержней. Nл = числу введенных дополнительных стержней.

 

Выбор основной системы

Основную систему получают из заданной путем:

- введении дополнительных (фиктивных) связей устраняющих угловых и линейные перемещения;

- задание введенным связям соотв. угловым и линейным перемещениям Z_i.

1, 2, 3 – введенные дополнительные связи;

Z₁, Z₂, Z₃ – заданные перемещения введенных связей.В качестве дополнительных связей вводятся: – угловая связь, вводятся во все жесткие узлы для устранения их поворота;

– линейная связь вводится для устранения линейных перемещений узла. Эта связь соответствует связи в шарнирной теоретически неизменяемой системы.

Кинематическая эквивалентность основной и заданной систем достигается тем, что связям вместе с их делением задают соотв. угловые и линейные перемещения.

Примечание: углы поворота введенных связей (Z₁, Z₂) условно задают по часовой стрелке, линейное перемещения (Z₃) слева направо.

Введенные связи расчленяют получаемую систему на отдельные простейшие статически неопределимые стержни – конечные элементы. Каждый из этих стержней хорошо изучен, а результаты их расчета на стандартные воздействия приводятся в справочных данных.

Составляем систему конических уравнений:

где r_ik – коэффициент канонического уравнения (реакция i – связи от смещения; k – связи на величину Z_k =1); R_iр – свободный член канонического уравнения метода перемещений (реакция i – связи под действием внешней нагрузки).

После определения коэффициентов и свободных членов решают систему канонических уравнений и строят окончательные эпюры М в заданной системе

20 Определения коэффициентов канонического уравнения и свободн. членов

Для определения необходимо построить эпюры М неизвестных единичных перемещений Z₁ =1, Z₂ =1 и от внешней нагрузки. Введенные связи 1, 2 превращают основную систему в совокупность трех простейших стержней, причем каждый из стержней работает самостоятельно.

Эпюра строится индивидуально для каждого стержня по справочным данным.

А) М₁ (от поворота заделки 1 на угол Z₁ =1 по часовой стрелке). Из справочника имеем:

стержень АВ стержень ВС

Б) построим эпюры М₂ (от линейного перемещения связи 2 на угол Z₂ =1 вправо). Из справочника имеем:

стержень АВ стержень СD

В) построим эпюры М_p (грузовая эпюра от внешней нагрузки). Из справочника имеем:

стержень АВ стержень ВС

Для определения r_ik и R_iр можно использовать 2 способа: перемножение эпюр и статический.

 

 

Определение реактивных моментов

R_B и R_А (используемые в статическом способе) могут быть двух типов:

- реактивный момент (они возникают в угловых связях);

- реактивных сил (возникают в линейных связях).

Реактивные моменты во введенных заделках определяется путем вырезания узлов из соответствующих узлов и Σ М =0.

Примечание: вырезают узлы содержащие только плавающие заделки.

узел В эпюры М₁

узел В эпюры М₂

узел В эпюры М_р

 

Определение реактивных сил

R_B и R_А (используемые в статическом способе) могут быть двух типов:

- реактивный момент (они возникают в угловых связях);

- реактивных сил (возникают в линейных связях).

Реактивные усилия во введенных стержнях определяют путем вырезанием систем рамы и составляем уравнения равновесия в виде Σ Х =0.

Отсекая часть рамы эпюры М₁

I-I сечение по стойкам у опорных связей введенному стержню.

В местах разреза прикладываем поперечные силы, определенные через значение реакции.

отсекая часть рамы эпюры М₁ отсекая часть рамы эпюры М_р

 

23.Основная система – это уже статически определимая и геометрически неизменяемая система. Она получается из заданной системы в 2 этапа:1) устранение всех лишних связей 2) введение взамен удаленных связей их реакций: Х₁ Х₂…Х_п. Для любой статически неопределимой системы всегда имеется множество вариантов основной системы. Трудоемкость расчета зависит от выбора рационального варианта основной системы. В методе сил.Варианты получения основных систем:1) удаление лишних внешних опорных связей

2) удаление лишних внутренних связей (рассечение стержня)

3)Переход к другим видам опорных связей (превращение заделок в другие виды опор)

4) постановка шарнира

Под удалении связей необходимо следить за тем чтобы получаемая конструкция была геометрически неизменяема.В методе перемещений основную систему получают из заданной:1) введением дополнительных (фиктивных) связей устраняющих угловые и линейные перемещения узлов.2)заданием введенным связям соответствующих линейных и угловых перемещений Z_i

1,2,3-введенные дополнительные связи. Z₁,Z₂,Z₃-заданные перемещения введенных связей

-угловая связь (плавающая заделка)-вводится во все жесткие узлы для устранения их поворота

линейная связь –вводится для устранения линейных перемещений узлов.

Эта связь соответствует связи в шарнирной геометрически неизменяемой системе. Углы поворота введенных связей условно задаются по часовой стрелке, линейные перемещения слева на право.Введенные связи расчленяют получаемую основную систему на отдельные простейшие статически неопределимые стержни - конечные элементы.

24 В методе сил степень статической неопределимости системы равна числу лишних связей, которые нужно удалить из статически неопределимой системы для обращения ее в статически определимую и геометр-ки неизменяемую. Для обеспечения неподвижности или геометр-ой неизменности балки и плоской рамы нужно наличие 3 связей. Для пространственной рамы-6 связей. Всякая связь наложенная сверх необходимых назыв. лишней или избыточной. Основные типы опорных связей для балки и плоской рамы:

- защемление конца балки

Накладываются 3 связи и возникают 3 опорные реакции

Накладывается 1 связь и возникает 1 опорная реакция

Степень статической неопределимости для балок и плоских рам:

С= m-n где m-число наложенных опорных связей или неизвестных усилий. n-нужное число связей для обеспечения геом-ой неизменяемости или число независимых уравнений статики,которые можно составить для данной системы. Степень статической неопределимости зависит от:1)числа опорных связей.2)способа приложения внешней нагрузки 3)способа соединения элементов системы(жесткая или шарнирная).

Степень статической неопределимости для плоских рам имеющих замкнутый контур можно определить по формуле:С=3к,где к- число замкнутых контуров. Введение простого шарнира снимает 1 связь и снимает степень статической неопределимости на 1-цу.

Степень статической неопределимости систем с шарнирами для плоских рам и балок: С= m-n-ш,а для плоских рам имеющих замкнутый контур:С=3к-ш,где ш-число простых шарниров. Простой шарнир- это шарнир в котором сходятся 2 стержня, сложный- в котором сходятся 3 и более стержней.

Установление степени кинематической неопределимости. Общее число неизвестных перемещений n = n_у+n_л где n_у- число угловых перемещений узлов, n_л-число линейных перемещений узлов. Величина n_у равна числу жестких узлов, а n_л- равна числу независимых линейных перемещений узлов системы. Для определения n_л 1)превращаем заданную систему в механизм(шарнирную систему) поставив шарниры во все узлы включая опорные.2)превращаем полученный механизм в геом-ки неизменяемую систему путем постановки дополнительных стержней. n_л будет = числу введенных дополнительных стержней.

25Составление системы канонических уравнений в методе сил. Канонические уравнения характеризуют условия эквивалентности основной и заданной системы с n-лишними неизвестными.

d₁₁x₁+d₁₂x₂+….d_1nx_n+∆_1p=0

d₂₁x₁+d₂₂x₂+….d_2nx_n+∆_2p=0

………………………………

d_n1x₁+d_n2x₂+….d_nnx_n+∆_np=0,где d_ik-коэффициент канонического уравнения(перемещение точки приложения силы x_i по направлению этой же силы вызванное 1-ой силой x_k=1

∆_pi- свободный член канон. уравнения(перемещение точки приложения силы x_i по направлению этой силы, вызванная заданной нагрузкой Р.1-ое уравнение выражает равенство 0 суммарного перемещения точки приложения силы x₁ по ее направлению.2-ое уравнение выражает равенство 0 суммарного перемещения точки приложения силы x₂по ее направлению. Число уравнений должно быть равно числу отброшенных связей,т.е. числу статической неопределимости.

Канонические уравнения метода перемещений имеют вид:

r₁₁Z₁+r₂₂Z₂+…r_1nZ_n+R_1p=0

……………………..

r_n1Z₁+r_n2Z₂+…r_{n n}Z_n+R_np=0, где r_ik- коэффициент канонического уравнения метода перемещений (реакция i-ой связи от смещения k-ой связи на величину Z_k=1)

R_ip- свободный член канон. уравнения метода перемещений (реакция i-ой связи от действия внешней нагрузки). В матричной форме система канонических уравнений имеет вид:[R]{Z}+{R_p}=0,где [R]-матрица реакций (коэффициентов канонического уравнения)

r₁₁ r₁₂ r_1n

_{……………}

R= [r_n1 r_n2 r_nn]

 

{Z}-матрица –столбец неизвестных перемещений узлов

Z₁

{Z}= [ Z₂]

…

Z_n

 

{R_p}- матрица –столбец грузовых реакций(свободных членов канон.уравнения)

R_1p

{R_p}=[ R_2p]

…

R_np

После определения коэффициентов r_ik и свободных членов R_ipрешают систему канон.уравнений относительно Zi, строят эпюры М в заданной системе.

26.Теория упругости(ТУ) – раздел строймеха, изучающий 𝝈. деф. состояния тел произвольной формы от произвольных внешних воздействий. В ТУ для исследования используют диф.метод. Сущность этого метода заключается в том, что тело, находящееся в равновесии под действием приложенных сил мысленно рассекают на множ. эл-ных объемов(паралелипипедов и тетраидов). Затем рассматриваются НДС каждого эл-ного объема. Тензор 𝝈— тензор второго ранга, состоящий из 9 величин составляющих 𝝈 в произвольной(•) нагруженного тела. Эти 9 величин записываются в виде табл., в которой по главной диагонали стоят 𝝈 в 3-х взаимно… осях, а в строках - 𝝉, действующие на 3-х взаимно… пл-тях. 𝝈 состояния в (•) полностью опред, если задан тензор 𝝈 этой(•). Деформ любого эл-ного объема при рассматривании (•) можно представить в виде 6-ти простейших деформ:линейные(их 3-и ε_x ε_y ε_z), угловые(их 3-и γ_xy γ_yz γ_zx).1-е 3-и опред удлен ребер пер-да(изм объема); 2-е 3-и изм формы пер-да(деф сдвига). Совокупность деф в(•)запишем в виде матр. В ТУ разделяют 3-и группы ур-ний: стат, геом, физ.

Стат. ур-ния

геом ур-ния

Физич ур-ния

 

27. Как известно в сопромате в качестве метода исследования применяется интегральный метод(метод сечения). В теории упругости(ТУ) для исследования НДС (•)-и исследования используют диф метод. Сучность метода: тело находящее в равновесии под действием приложенных сил мысленно рассекается множеством координ пл-тей на большой число ∞ малых эл-ных объемов(паралилипипед.и тетрайд.). затем рассматривается НДС каждого эл-ного объема d_x;d_y;d_z.