Линейных алгебраических уравнений

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Методические указания

к лабораторным работам по дисциплине

“ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”

 

 

Санкт-Петербург

Министерство общего и профессионального образования РФ

__________________

 

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет

____________________________________________________________

 

 

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Методические указания

к лабораторным работам по дисциплине

“ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”

 

 

Санкт-Петербург

 

УДК 519.7

 

Интерполирование функций и решение систем линейных алгебраических уравнений: Методические указания к лабораторным работам по дисциплине "Вычислительная математика" / Сост.: В.Н. Кафтасьев, А.Р. Лисс, М.С. Титов; СПбГЭТУ. СПб., 1998. 32 с.

 

Содержат формулировку заданий лабораторных работ и необходимые для их исполнения пояснения. При разработке лабораторных работ особое внимание уделяется вопросам исследования точности и обусловленности применяемых методов машинных вычислений.

Предназначены для студентов ФАВТ направления "Информатика и вычислительная техника" и специальности 220400, а также для студентов других специальностей, изучающих численные методы решения задач на ЭВМ.

 

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

 

 

© СПбГЭТУ, 1998

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Цикл лабораторных работ предназначен для студентов 2-го курса (четвертый семестр), изучающих дисциплину “Вычислительная математика” и работающих в компьютерных классах на базе ЭВМ типа IBM PC AT-286 и выше, снабженных компилятором языка С (С++). Работы цикла посвящены отработке тем “Интерполирование функций” и “Задачи линейной алгебры”. Каждая из работ ставит целью изучение либо конкретного численного метода, либо набора численных процедур (схем, формул), позволяющих реализовать выполнение одной из классических задач вычислительной математики: интерполирование функций в случаях неравноотстоящих и равноотстоящих узлов и решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием различных вычислительных способов. Порядок расположения лабораторных работ в методических указаниях соответствует последовательности изложения лекционного материала. Для углубленного изучения упомянутых задач и методов их решения целесообразно воспользоваться изданиями [1]-[10]. Данные методические указания являются продолжением материала, изложенного авторами в [11].

Выполнять каждую лабораторную работу следует поэтапно в следующем порядке:

- подготовка к решению задачи на персональной ЭВМ (ПЭВМ);

- проведение вычислительного эксперимента на ПЭВМ;

- анализ результатов вычислений;

- оформление отчета.

Подготовка к решению задачи на ПЭВМ производится как вне ком-пьютерного класса, так и непосредственно на ПЭВМ. Она включает:

- ознакомление с описанием работы и заданием для выполнения;

- составление программных модулей, содержащих определенные заданием и персональным вариантом вычислительные процедуры, и/или ввод исходных данных;

- компиляцию разработанных программных модулей, их отладку и сопряжение с имеющимися для большинства работ программами-функциями, реализующими конкретные численные методы;

- планирование вычислительного эксперимента на ПЭВМ в рамках выполняемого задания.

Подпрограммы-функции, предназначенные для применения в процессе вычислений, представлены в виде библиотеки модулей на языке программирования С++. Это предопределяет ориентацию цикла работ на студентов, владеющих данным языком и навыками программирования в необходимом объеме.

Проведение вычислительного эксперимента на ПЭВМ осуществляется в соответствии с порядком выполнения работы и заданием на исследование указанных зависимостей и обусловленности изучаемого метода.

Анализ результатов вычислений заключается в построении исследуемых зависимостей и сравнительной оценке метода (вычислительной процедуры) по характерным для данной группы методов параметрам, например скорости сходимости, степени обусловленности, достижимой точности и т. п.

Анализ результатов и оформление отчета производятся вне компьютерного класса.

Отчет должен содержать:

- постановку задачи;

- тексты разработанных программ;

- результаты вычислений, их теоретический и экспериментальный анализ в виде таблиц и графиков, снабженных необходимыми комментариями;

- развернутые выводы по лабораторной работе.

 

 

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

 

Пусть величина является функцией аргумента . Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение . Однако на практике часто неизвестна связь между и , т. е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости . В других случаях при известной зависимости ее использование в практических задачах затруднительно (например, она содержит сложные, трудно вычисляемые выражения).

Наиболее распространенным и важным для практического использования случаем, когда вид связи между параметрами и неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы , в которой дискретному множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений функции . Эти значения – либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике могут понадобиться значения величины и в других точках, отличных от узлов . Таким образом, приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра , поскольку точная связь неизвестна.

Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию требуется аппроксимировать (приближенно заменить) некоторой функцией так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.

Для практики важен случай аппроксимации функции многочленом

(1.1)

Этот случай, т. е. приближение многочленами, является одной из задач классического численного анализа [3], [4], [8], [10]. Рассмотрим аппроксимацию этого рода и методы ее реализации в вычислительных процедурах на ЭВМ. Коэффициенты в процедурах подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование, которое заключается в следующем: для данной функции строится многочлен (1.1), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция , т. е.

(1.2)

При данной постановке задачи предполагается, что среди значений нет одинаковых: при . Точки называются узлами интерполяции, а многочлен - интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит, таким образом, в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (узлов).

Максимальная степень интерполяционного многочлена . В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

(1.3)

используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента . Коэффициенты многочлена (1.3) находят из системы уравнений (1.2). Можно показать, что при () эта система имеет единственное решение [1] - [4], [10].

Возможны два случая задания функции :

- точки располагаются на оси абсцисс неравномерно на различных расстояниях одна от другой - случай неравноотстоящих узлов;

- точки располагаются на оси абсцисс равномерно с фиксирован- ным шагом - случай равноотстоящих узлов.

В каждом из указанных случаев для интерполирования функций применяются различные интерполяционные формулы. Их изучению посвящены, соответственно, лабораторные работы № 9 и № 10.

 

Лабораторная работа № 10

 

В соответствии с заданием, полученным от преподавателя, студентам необходимо разработать программу, обеспечивающую вычисление значения функции в заданных точках с использованием подходящих для каждого конкретного случая интерполяционных формул.

Вариант 2 x1 = 1.5380; x2 = 1.6970; x3 = 1.3350 X[ 0] = 0.2620 Y[ 0] = -0.1810 X[ 1] = 0.4190 Y[ 1] = -0.0450 X[ 2] = 0.5770 Y[ 2] = 0.0100 X[ 3] = 0.7340 Y[ 3] = 0.0090 X[ 4] = 0.8920 Y[ 4] = -0.0260 X[ 5] = 1.0490 Y[ 5] = -0.0720 X[ 6] = 1.2070 Y[ 6] = -0.1050 X[ 7] = 1.3640 Y[ 7] = -0.1020 X[ 8] = 1.5220 Y[ 8] = -0.0380 X[ 9] = 1.6790 Y[ 9] = 0.1060 X[10] = 1.8370 Y[10] = 0.3600

Используя подходящую интерполяционную формулу, вычислите в точках x 1, x 2, x 3 значения функции, заданной таблицей, для узлов с равноотстоящим шагом.

Вариант 1 x1 = 1.2120; x2 = 1.4790; x3 = 1.0150 X[ 0] = 0.2560 Y[ 0] = -0.1680 X[ 1] = 0.4090 Y[ 1] = -0.0420 X[ 2] = 0.5630 Y[ 2] = 0.0100 X[ 3] = 0.7170 Y[ 3] = 0.0080 X[ 4] = 0.8710 Y[ 4] = -0.0240 X[ 5] = 1.0240 Y[ 5] = -0.0670 X[ 6] = 1.1780 Y[ 6] = -0.0970 X[ 7] = 1.3320 Y[ 7] = -0.0940 X[ 8] = 1.4860 Y[ 8] = -0.0350 X[ 9] = 1.6390 Y[ 9] = 0.0990 X[10] = 1.7930 Y[10] = 0.3350

 

 

Вариант 3 x1 = 0.8110; x2=0.3770; x3=1.5480 X[ 0] = 0.2680 Y[ 0] = -0.1950 X[ 1] = 0.4290 Y[ 1] = -0.0480 X[ 2] = 0.5910 Y[ 2] = 0.0110 X[ 3] = 0.7520 Y[ 3] = 0.0100 X[ 4] = 0.9130 Y[ 4] = -0.0280 X[ 5] = 1.0740 Y[ 5] = -0.0770 X[ 6] = 1.2360 Y[ 6] = -0.1130 X[ 7] = 1.3970 Y[ 7] = -0.1090 X[ 8] = 1.5580 Y[ 8] = -0.0410 X[ 9] = 1.7190 Y[ 9] = 0.1140 X[10] = 1.8810 Y[10] = 0.3870 Вариант 4 x1 = 1.2230; x2=1.6830; x3=1.7640 X[ 0] = 0.2740 Y[ 0] = -0.2090 X[ 1] = 0.4390 Y[ 1] = -0.0510 X[ 2] = 0.6040 Y[ 2] = 0.0120 X[ 3] = 0.7690 Y[ 3] = 0.0100 X[ 4] = 0.9340 Y[ 4] = -0.0290 X[ 5] = 1.0990 Y[ 5] = -0.0820 X[ 6] = 1.2640 Y[ 6] = -0.1200 X[ 7] = 1.4290 Y[ 7] = -0.1170 X[ 8] = 1.5940 Y[ 8] = -0.0440 X[ 9] = 1.7590 Y[ 9] = 0.1230 X[10] = 1.9240 Y[10] = 0.4130 Вариант 6 x1 = 1.0980; x2 = 1.8770; x3 = 1.5130 X[ 0] = 0.2870 Y[ 0] = -0.2380 X[ 1] = 0.4590 Y[ 1] = -0.0590 X[ 2] = 0.6320 Y[ 2] = 0.0140 X[ 3] = 0.8040 Y[ 3] = 0.0120 X[ 4] = 0.9770 Y[ 4] = -0.0340 X[ 5] = 1.1490 Y[ 5] = -0.0940 X[ 6] = 1.3220 Y[ 6] = -0.1380 X[ 7] = 1.4940 Y[ 7] = -0.1340 X[ 8] = 1.6670 Y[ 8] = -0.0500 X[ 9] = 1.8390 Y[ 9] = 0.1400 X[10] = 2.0120 Y[10] = 0.4740 Вариант 7 x1 = 1.4980; x2 = 0.4120; x3 = 1.6840 X[ 0] = 0.2930 Y[ 0] = -0.2540 X[ 1] = 0.4690 Y[ 1] = -0.0630 X[ 2] = 0.6460 Y[ 2] = 0.0150 X[ 3] = 0.8220 Y[ 3] = 0.0130 X[ 4] = 0.9980 Y[ 4] = -0.0360 X[ 5] = 1.1740 Y[ 5] = -0.1010 X[ 6] = 1.3510 Y[ 6] = -0.1470 X[ 7] = 1.5270 Y[ 7] = -0.1420 X[ 8] = 1.7030 Y[ 8] = -0.0540 X[ 9] = 1.8790 Y[ 9] = 0.1500 X[10] = 2.0560 Y[10] = 0.5060 Вариант 8 x1 = 1.4870; x2 = 0.5090; x3 = 1.4530 X[ 0] = 0.2990 Y[ 0] = -0.2710 X[ 1] = 0.4790 Y[ 1] = -0.0670 X[ 2] = 0.6590 Y[ 2] = 0.0160 X[ 3] = 0.8390 Y[ 3] = 0.0140 X[ 4] = 1.0190 Y[ 4] = -0.0380 X[ 5] = 1.1990 Y[ 5] = -0.1070 X[ 6] = 1.3790 Y[ 6] = -0.1570 X[ 7] = 1.5590 Y[ 7] = -0.1520 X[ 8] = 1.7390 Y[ 8] = -0.0580 X[ 9] = 1.9190 Y[ 9] = 0.1590 X[10] = 2.0990 Y[10] = 0.5370

 

Вариант 5 x1 = 1.2510; x2 = 1.1700; x3 = 1.0870 X[ 0] = 0.2810 Y[ 0] = -0.2220 X[ 1] = 0.4490 Y[ 1] = -0.0550 X[ 2] = 0.6180 Y[ 2] = 0.0130 X[ 3] = 0.7870 Y[ 3] = 0.0110 X[ 4] = 0.9560 Y[ 4] = -0.0320 X[ 5] = 1.1240 Y[ 5] = -0.0880 X[ 6] = 1.2930 Y[ 6] = -0.1290 X[ 7] = 1.4620 Y[ 7] = -0.1250 X[ 8] = 1.6310 Y[ 8] = -0.0470 X[ 9] = 1.7990 Y[ 9] = 0.1310 X[10] = 1.9680 Y[10] = 0.4430

 

Вариант 9 x1 = 1.0530; x2 = 0.4450; x3 = 1.1550 X[ 0] = 0.3060 Y[ 0] = -0.2870 X[ 1] = 0.4890 Y[ 1] = -0.0710 X[ 2] = 0.6730 Y[ 2] = 0.0170 X[ 3] = 0.8570 Y[ 3] = 0.0140 X[ 4] = 1.0410 Y[ 4] = -0.0410 X[ 5] = 1.2240 Y[ 5] = -0.1140 X[ 6] = 1.4080 Y[ 6] = -0.1670 X[ 7] = 1.5920 Y[ 7] = -0.1610 X[ 8] = 1.7760 Y[ 8] = -0.0610 X[ 9] = 1.9590 Y[ 9] = 0.1700 X[10] = 2.1430 Y[10] = 0.5720 Вариант 11 x1 = 1.1600; x2 = 2.1660; x3 = 1.4620 X[ 0] = 0.3180 Y[ 0] = -0.3250 X[ 1] = 0.5090 Y[ 1] = -0.0800 X[ 2] = 0.7010 Y[ 2] = 0.0190 X[ 3] = 0.8920 Y[ 3] = 0.0160 X[ 4] = 1.0830 Y[ 4] = -0.0460 X[ 5] = 1.2740 Y[ 5] = -0.1290 X[ 6] = 1.4660 Y[ 6] = -0.1880 X[ 7] = 1.6570 Y[ 7] = -0.1820 X[ 8] = 1.8480 Y[ 8] = -0.0690 X[ 9] = 2.0390 Y[ 9] = 0.1910 X[10] = 2.2310 Y[10] = 0.6460 Вариант 10 x1 = 1.3020; x2 = 1.5690; x3 = 1.8350 X[ 0] = 0.3120 Y[ 0] = -0.3060 X[ 1] = 0.4990 Y[ 1] = -0.0760 X[ 2] = 0.6870 Y[ 2] = 0.0180 X[ 3] = 0.8740 Y[ 3] = 0.0150 X[ 4] = 1.0620 Y[ 4] = -0.0440 X[ 5] = 1.2490 Y[ 5] = -0.1210 X[ 6] = 1.4370 Y[ 6] = -0.1770 X[ 7] = 1.6240 Y[ 7] = -0.1720 X[ 8] = 1.8120 Y[ 8] = -0.0650 X[ 9] = 1.9990 Y[ 9] = 0.1800 X[10] = 2.1870 Y[10] = 0.6080 Вариант 13 x1 = 0.6190; x2 = 1.3990; x3 = 1.1000 X[ 0] = 0.3310 Y[ 0] = -0.3630 X[ 1] = 0.5290 Y[ 1] = -0.0900 X[ 2] = 0.7280 Y[ 2] = 0.0210 X[ 3] = 0.9270 Y[ 3] = 0.0180 X[ 4] = 1.1260 Y[ 4] = -0.0520 X[ 5] = 1.3240 Y[ 5] = -0.1440 X[ 6] = 1.5230 Y[ 6] = -0.2110 X[ 7] = 1.7220 Y[ 7] = -0.2040 X[ 8] = 1.9210 Y[ 8] = -0.0770 X[ 9] = 2.1190 Y[ 9] = 0.2150 X[10] = 2.3180 Y[10] = 0.7240 Вариант 14 x1 = 1.6510; x2 = 1.3870; x3 = 2.2260 X[ 0] = 0.3370 Y[ 0] = -0.3850 X[ 1] = 0.5390 Y[ 1] = -0.0950 X[ 2] = 0.7420 Y[ 2] = 0.0230 X[ 3] = 0.9440 Y[ 3] = 0.0190 X[ 4] = 1.1470 Y[ 4] = -0.0550 X[ 5] = 1.3490 Y[ 5] = -0.1530 X[ 6] = 1.5520 Y[ 6] = -0.2230 X[ 7] = 1.7540 Y[ 7] = -0.2160 X[ 8] = 1.9570 Y[ 8] = -0.0820 X[ 9] = 2.1590 Y[ 9] = 0.2270 X[10] = 2.3620 Y[10] = 0.7670

 

Вариант 12 x1 = 1.6960; x2 = 1.8860; x3 = 1.3400 X[ 0] = 0.3240 Y[ 0] = -0.3450 X[ 1] = 0.5190 Y[ 1] = -0.0850 X[ 2] = 0.7140 Y[ 2] = 0.0200 X[ 3] = 0.9090 Y[ 3] = 0.0170 X[ 4] = 1.1040 Y[ 4] = -0.0490 X[ 5] = 1.2990 Y[ 5] = -0.1360 X[ 6] = 1.4940 Y[ 6] = -0.1990 X[ 7] = 1.6890 Y[ 7] = -0.1930 X[ 8] = 1.8840 Y[ 8] = -0.0740 X[ 9] = 2.0790 Y[ 9] = 0.2030 X[10] = 2.2740 Y[10] = 0.6830

 

Вариант 17 x1 = 1.5610; x2 = 1.7840; x3=2.1280 X[ 0] = 0.3560 Y[ 0] = -0.4520 X[ 1] = 0.5690 Y[ 1] = -0.1120 X[ 2] = 0.7830 Y[ 2] = 0.0270 X[ 3] = 0.9970 Y[ 3] = 0.0230 X[ 4] = 1.2110 Y[ 4] = -0.0650 X[ 5] = 1.4240 Y[ 5] = -0.1800 X[ 6] = 1.6380 Y[ 6] = -0.2630 X[ 7] = 1.8520 Y[ 7] = -0.2540 X[ 8] = 2.0660 Y[ 8] = -0.0960 X[ 9] = 2.2790 Y[ 9] = 0.2680 X[10] = 2.4930 Y[10] = 0.9010 Вариант 15 x1 = 0.6070; x2 = 1.6230; x3 = 0.8430 X[ 0] = 0.3430 Y[ 0] = -0.4070 X[ 1] = 0.5490 Y[ 1] = -0.1010 X[ 2] = 0.7560 Y[ 2] = 0.0240 X[ 3] = 0.9620 Y[ 3] = 0.0200 X[ 4] = 1.1680 Y[ 4] = -0.0580 X[ 5] = 1.3740 Y[ 5] = -0.1620 X[ 6] = 1.5810 Y[ 6] = -0.2360 X[ 7] = 1.7870 Y[ 7] = -0.2280 X[ 8] = 1.9930 Y[ 8] = -0.0870 X[ 9] = 2.1990 Y[ 9] = 0.2400 X[10] = 2.4060 Y[10] = 0.8110 Вариант 16 x1 = 2.2960; x2 = 0.9390; x3 = 1.3920 X[ 0] = 0.3490 Y[ 0] = -0.4300 X[ 1] = 0.5590 Y[ 1] = -0.1060 X[ 2] = 0.7690 Y[ 2] = 0.0250 X[ 3] = 0.9790 Y[ 3] = 0.0220 X[ 4] = 1.1890 Y[ 4] = -0.0610 X[ 5] = 1.3990 Y[ 5] = -0.1710 X[ 6] = 1.6090 Y[ 6] = -0.2490 X[ 7] = 1.8190 Y[ 7] = -0.2410 X[ 8] = 2.0290 Y[ 8] = -0.0920 X[ 9] = 2.2390 Y[ 9] = 0.2540 X[10] = 2.4490 Y[10] = 0.8530 Вариант 18 x1 = 0.7600; x2 = 2.0620; x3=1.7640 X[ 0] = 0.3620 Y[ 0] = -0.4770 X[ 1] = 0.5790 Y[ 1] = -0.1180 X[ 2] = 0.7970 Y[ 2] = 0.0280 X[ 3] = 1.0140 Y[ 3] = 0.0240 X[ 4] = 1.2320 Y[ 4] = -0.0690 X[ 5] = 1.4490 Y[ 5] = -0.1900 X[ 6] = 1.6670 Y[ 6] = -0.2770 X[ 7] = 1.8840 Y[ 7] = -0.2680 X[ 8] = 2.1020 Y[ 8] = -0.1010 X[ 9] = 2.3190 Y[ 9] = 0.2820 X[10] = 2.5370 Y[10] = 0.9500 Вариант 19 x1 = 2.0690; x2 = 2.0390; x3=1.6990 X[ 0] = 0.3680 Y[ 0] = -0.5030 X[ 1] = 0.5890 Y[ 1] = -0.1240 X[ 2] = 0.8110 Y[ 2] = 0.0300 X[ 3] = 1.0320 Y[ 3] = 0.0250 X[ 4] = 1.2530 Y[ 4] = -0.0720 X[ 5] = 1.4740 Y[ 5] = -0.2000 X[ 6] = 1.6960 Y[ 6] = -0.2910 X[ 7] = 1.9170 Y[ 7] = -0.2820 X[ 8] = 2.1380 Y[ 8] = -0.1070 X[ 9] = 2.3590 Y[ 9] = 0.2970 X[10] = 2.5810 Y[10] = 1.0010 Вариант 20 x1 = 1.5370; x2 = 1.7030; x3=1.7400 X[ 0] = 0.3740 Y[ 0] = -0.5290 X[ 1] = 0.5990 Y[ 1] = -0.1310 X[ 2] = 0.8240 Y[ 2] = 0.0310 X[ 3] = 1.0490 Y[ 3] = 0.0270 X[ 4] = 1.2740 Y[ 4] = -0.0760 X[ 5] = 1.4990 Y[ 5] = -0.2100 X[ 6] = 1.7240 Y[ 6] = -0.3060 X[ 7] = 1.9490 Y[ 7] = -0.2970 X[ 8] = 2.1740 Y[ 8] = -0.1130 X[ 9] = 2.3990 Y[ 9] = 0.3130 X[10] = 2.6240 Y[10] = 1.0500

 

 

Вариант 22 x1= 1.4510; x2 = 0.9480; x3 = 2.4550 X[ 0] = 0.3870 Y[ 0] = -0.5830 X[ 1] = 0.6190 Y[ 1] = -0.1440 X[ 2] = 0.8520 Y[ 2] = 0.0350 X[ 3] = 1.0840 Y[ 3] = 0.0300 X[ 4] = 1.3170 Y[ 4] = -0.0840 X[ 5] = 1.5490 Y[ 5] = -0.2320 X[ 6] = 1.7820 Y[ 6] = -0.3380 X[ 7] = 2.0140 Y[ 7] = -0.3280 X[ 8] = 2.2470 Y[ 8] = -0.1240 X[ 9] = 2.4790 Y[ 9] = 0.3450 X[10] = 2.7120 Y[10] = 1.1610 Вариант 26 x1 = 1.3780; x2 = 1.4350; x3=1.7020 X[ 0] = 0.4120 Y[ 0] = -0.7030 X[ 1] = 0.6590 Y[ 1] = -0.1740 X[ 2] = 0.9070 Y[ 2] = 0.0420 X[ 3] = 1.1540 Y[ 3] = 0.0360 X[ 4] = 1.4020 Y[ 4] = -0.1010 X[ 5] = 1.6490 Y[ 5] = -0.2800 X[ 6] = 1.8970 Y[ 6] = -0.4080 X[ 7] = 2.1440 Y[ 7] = -0.3950 X[ 8] = 2.3920 Y[ 8] = -0.1500 X[ 9] = 2.6390 Y[ 9] = 0.4160 X[10] = 2.8870 Y[10] = 1.4010 Вариант 21 x1 = 1.6790; x2 = 2.2880; x3 = 2.3860 X[ 0] = 0.3810 Y[ 0] = -0.5540 X[ 1] = 0.6090 Y[ 1] = -0.1370 X[ 2] = 0.8380 Y[ 2] = 0.0330 X[ 3] = 1.0670 Y[ 3] = 0.0280 X[ 4] = 1.2960 Y[ 4] = -0.0800 X[ 5] = 1.5240 Y[ 5] = -0.2210 X[ 6] = 1.7530 Y[ 6] = -0.3220 X[ 7] = 1.9820 Y[ 7] = -0.3120 X[ 8] = 2.2110 Y[ 8] = -0.1180 X[ 9] = 2.4390 Y[ 9] = 0.3280 X[10] = 2.6680 Y[10] = 1.1050 Вариант 24 x1 = 2.5030; x2 = 0.9080; x3 = 0.5840 X[ 0] = 0.3990 Y[ 0] = -0.6420 X[ 1] = 0.6390 Y[ 1] = -0.1590 X[ 2] = 0.8790 Y[ 2] = 0.0380 X[ 3] = 1.1190 Y[ 3] = 0.0330 X[ 4] = 1.3590 Y[ 4] = -0.0920 X[ 5] = 1.5990 Y[ 5] = -0.2550 X[ 6] = 1.8390 Y[ 6] = -0.3720 X[ 7] = 2.0790 Y[ 7] = -0.3600 X[ 8] = 2.3190 Y[ 8] = -0.1370 X[ 9] = 2.5590 Y[ 9] = 0.3800 X[10] = 2.7990 Y[10] = 1.2750 Вариант 23 x1 = 1.4590; x2 = 1.4070; x3=1.3350 X[ 0] = 0.3930 Y[ 0] = -0.6120 X[ 1] = 0.6290 Y[ 1] = -0.1510 X[ 2] = 0.8660 Y[ 2] = 0.0370 X[ 3] = 1.1020 Y[ 3] = 0.0310 X[ 4] = 1.3380 Y[ 4] = -0.0880 X[ 5] = 1.5740 Y[ 5] = -0.2430 X[ 6] = 1.8110 Y[ 6] = -0.3550 X[ 7] = 2.0470 Y[ 7] = -0.3440 X[ 8] = 2.2830 Y[ 8] = -0.1300 X[ 9] = 2.5190 Y[ 9] = 0.3620 X[10] = 2.7560 Y[10] = 1.2190 Вариант 25 x1 = 1.7570; x2 = 0.4700; x3=1.5810 X[ 0] = 0.4060 Y[ 0] = -0.6710 X[ 1] = 0.6490 Y[ 1] = -0.1660 X[ 2] = 0.8930 Y[ 2] = 0.0400 X[ 3] = 1.1370 Y[ 3] = 0.0340 X[ 4] = 1.3810 Y[ 4] = -0.0970 X[ 5] = 1.6240 Y[ 5] = -0.2670 X[ 6] = 1.8680 Y[ 6] = -0.3900 X[ 7] = 2.1120 Y[ 7] = -0.3770 X[ 8] = 2.3560 Y[ 8] = -0.1430 X[ 9] = 2.5990 Y[ 9] = 0.3980 X[10] = 2.8430 Y[10] = 1.3370

 

Вариант 31 x1 = 1.3010; x2 = 2.2450; x3 = 2.1200 X[ 0] = 0.4560 Y[ 0] = -0.9500 X[ 1] = 0.7290 Y[ 1] = -0.2350 X[ 2] = 1.0030 Y[ 2] = 0.0570 X[ 3] = 1.2770 Y[ 3] = 0.0480 X[ 4] = 1.5510 Y[ 4] = -0.1380 X[ 5] = 1.8240 Y[ 5] = -0.3790 X[ 6] = 2.0980 Y[ 6] = -0.5520 X[ 7] = 2.3720 Y[ 7] = -0.5350 X[ 8] = 2.6460 Y[ 8] = -0.2020 X[ 9] = 2.9190 Y[ 9] = 0.5640 X[10] = 3.1930 Y[10] = 1.8940 Вариант 32 x1 = 2.7820; x2 = 1.3080; x3 = 2.2850 X[ 0] = 0.4620 Y[ 0] = -0.9910 X[ 1] = 0.7390 Y[ 1] = -0.2450 X[ 2] = 1.0170 Y[ 2] = 0.0590 X[ 3] = 1.2940 Y[ 3] = 0.0510 X[ 4] = 1.5720 Y[ 4] = -0.1430 X[ 5] = 1.8490 Y[ 5] = -0.3940 X[ 6] = 2.1270 Y[ 6] = -0.5750 X[ 7] = 2.4040 Y[ 7] = -0.5570 X[ 8] = 2.6820 Y[ 8] = -0.2110 X[ 9] = 2.9590 Y[ 9] = 0.5880 X[10] = 3.2370 Y[10] = 1.9750 Вариант 28 x1 = 2.2070; x2 = 2.0030; x3 = 0.5900 X[ 0] = 0.4240 Y[ 0] = -0.7700 X[ 1] = 0.6790 Y[ 1] = -0.1900 X[ 2] = 0.9340 Y[ 2] = 0.0460 X[ 3] = 1.1890 Y[ 3] = 0.0390 X[ 4] = 1.4440 Y[ 4] = -0.1110 X[ 5] = 1.6990 Y[ 5] = -0.3060 X[ 6] = 1.9540 Y[ 6] = -0.4460 X[ 7] = 2.2090 Y[ 7] = -0.4320 X[ 8] = 2.4640 Y[ 8] = -0.1650 X[ 9] = 2.7190 Y[ 9] = 0.4560 X[10] = 2.9740 Y[10] = 1.5300

 

 

Вариант 38 x1 = 3.3870; x2 = 1.6760; x3 = 1.2680 X[ 0] = 0.4990 Y[ 0] = -1.2540 X[ 1] = 0.7990 Y[ 1] = -0.3100 X[ 2] = 1.0990 Y[ 2] = 0.0750 X[ 3] = 1.3990 Y[ 3] = 0.0640 X[ 4] = 1.6990 Y[ 4] = -0.1800 X[ 5] = 1.9990 Y[ 5] = -0.4980 X[ 6] = 2.2990 Y[ 6] = -0.7270 X[ 7] = 2.5990 Y[ 7] = -0.7040 X[ 8] = 2.8990 Y[ 8] = -0.2680 X[ 9] = 3.1990 Y[ 9] = 0.7430 X[10] = 3.4990 Y[10] = 2.4920 Вариант 37 x1 = 3.2430; x2 = 3.2460; x3 = 2.6270 X[ 0] = 0.4930 Y[ 0] = -1.2060 X[ 1] = 0.7890 Y[ 1] = -0.2980 X[ 2] = 1.0860 Y[ 2] = 0.0730 X[ 3] = 1.3820 Y[ 3] = 0.0610 X[ 4] = 1.6780 Y[ 4] = -0.1740 X[ 5] = 1.9740 Y[ 5] = -0.4800 X[ 6] = 2.2710 Y[ 6] = -0.7000 X[ 7] = 2.5670 Y[ 7] = -0.6780 X[ 8] = 2.8630 Y[ 8] = -0.2570 X[ 9] = 3.1590 Y[ 9] = 0.7150 X[10] = 3.4560 Y[10] = 2.4050 Вариант 36 x1 = 1.7310; x2 = 0.5420; x3 = 3.0450 X[ 0] = 0.4870 Y[ 0] = -1.1600 X[ 1] = 0.7790 Y[ 1] = -0.2870 X[ 2] = 1.0720 Y[ 2] = 0.0700 X[ 3] = 1.3640 Y[ 3] = 0.0590 X[ 4] = 1.6570 Y[ 4] = -0.1680 X[ 5] = 1.9490 Y[ 5] = -0.4620 X[ 6] = 2.2420 Y[ 6] = -0.6740 X[ 7] = 2.5340 Y[ 7] = -0.6530 X[ 8] = 2.8270 Y[ 8] = -0.2470 X[ 9] = 3.1190 Y[ 9] = 0.6890 X[10] = 3.4120 Y[10] = 2.3130 Вариант 34 x1 = 1.7330; x2 = 3.1310; x3 = 1.8920 X[ 0] = 0.4740 Y[ 0] = -1.0750 X[ 1] = 0.7590 Y[ 1] = -0.2650 X[ 2] = 1.0440 Y[ 2] = 0.0640 X[ 3] = 1.3290 Y[ 3] = 0.0550 X[ 4] = 1.6140 Y[ 4] = -0.1550 X[ 5] = 1.8990 Y[ 5] = -0.4270 X[ 6] = 2.1840 Y[ 6] = -0.6230 X[ 7] = 2.4690 Y[ 7] = -0.6040 X[ 8] = 2.7540 Y[ 8] = -0.2300 X[ 9] = 3.0390 Y[ 9] = 0.6370 X[10] = 3.3240 Y[10] = 2.1360 Вариант 33 x1 = 2.0180; x2 = 3.1920; x3 = 3.2050 X[ 0] = 0.4680 Y[ 0] = -1.0320 X[ 1] = 0.7490 Y[ 1] = -0.2550 X[ 2] = 1.0310 Y[ 2] = 0.0620 X[ 3] = 1.3120 Y[ 3] = 0.0520 X[ 4] = 1.5930 Y[ 4] = -0.1490 X[ 5] = 1.8740 Y[ 5] = -0.4110 X[ 6] = 2.1560 Y[ 6] = -0.5990 X[ 7] = 2.4370 Y[ 7] = -0.5800 X[ 8] = 2.7180 Y[ 8] = -0.2200 X[ 9] = 2.9990 Y[ 9] = 0.6120 X[10] = 3.2810 Y[10] = 2.0580 Вариант 35 x1 = 1.1710; x2 = 1.4190; x3 = 1.8680 X[ 0] = 0.4810 Y[ 0] = -1.1150 X[ 1] = 0.7690 Y[ 1] = -0.2760 X[ 2] = 1.0580 Y[ 2] = 0.0670 X[ 3] = 1.3470 Y[ 3] = 0.0570 X[ 4] = 1.6360 Y[ 4] = -0.1620 X[ 5] = 1.9240 Y[ 5] = -0.4440 X[ 6] = 2.2130 Y[ 6] = -0.6480 X[ 7] = 2.5020 Y[ 7] = -0.6280 X[ 8] = 2.7910 Y[ 8] = -0.2370 X[ 9] = 3.0790 Y[ 9] = 0.6620 X[10] = 3.3680 Y[10] = 2.2240

Лабораторная работа № 11

 

В ходе выполнения работы студенты должны найти решение системы линейных уравнений с n неизвестными, заданной матрицей коэффициентов и вектором свободных членов , методом Гаусса. Выполнение работы состоит из следующих этапов:

1) с помощью преподавателя определить систему уравнений, которую нужно решить;

2) для решения системы уравнений разработать программу на языке C, использующую подпрограмму-функцию GAUSS из файла GAUSS.CPP. Данная функция имеет следующие параметры:

- a - матрица коэффициентов системы уравнений размера , тип ;

- - вектор свободных членов размера , тип ;

- - выходной вектор результата решения размера , тип ;

- - размер системы (матрицы a и вектора свободных членов ), тип .

В разрабатываемой программе должна быть описана константа n max, равная максимальным размерам используемых матриц и векторов. Функция GAUSS в качестве значения типа возвращает:

а) 0 - в случае нормального завершения процесса вычисления;

б) 1 - в случае вырожденности матрицы а;

в) 2 - если ;

г) 3 - если .

Провести вычисления с использованием разработанной программы и исследовать обусловленность задачи с использованием пакета Matlab, при этом для определения числа обусловленности матрицы A рекомендуется использовать функцию cond(A) [14]. Кроме того, для проверки получаемых результатов можно провести вычисления с помощью пакетов Matlab и Derive [15].

 

 

Итерации

 

Рассматривается система уравнений вида

, (2.3)

где - заданная числовая квадратная матрица n -го порядка, а b - заданный вектор (свободный член). Метод простой итерации состоит в следующем. Выбирается произвольный вектор x (начальное приближение), и строится итерационная последовательность векторов по формуле

, (2.4)

где k =1, 2, …

Доказана теорема, что если норма , то система уравнений (2.3) имеет единственное решение и итерации (2.4) сходятся к решению со скоростью геометрической прогрессии [13]. Для оценки погрешности k -го приближения широко применяется неравенство

, (2.5)

которое может быть использовано для принятия решения об останове итерационного процесса при выполнении условия

,

где - некоторая заданная погрешность вычислений.

 

 

Лабораторная работа № 12

 

В работе студенты должны найти решение системы линейных уравнений с n неизвестными, заданной матрицей коэффициентов и вектором свободных членов b, методом простых итераций. Выполнение работы включает следующие этапы:

1) с помощью преподавателя определить систему уравнений, которую нужно решить. Привести исходную систему к виду (2.3), пригодному для использования метода простых итераций;

2) задать необходимую точность получения результата (количество знаков мантиссы числа);

3) разработать программу решения задачи на языке С с использованием подпрограммы-функции MITER из файла MITER.CPP. Функция MITER имеет следующие параметры:

- - матрица коэффициентов преобразованной к виду (2.3) системы уравнений размера , тип ;

- - вектор свободных членов преобразованной системы размера , тип ;

- - полученный в результате проведения итераций вектор решения размера , тип ;

- - размер системы уравнений, тип ;

- - количество знаков после запятой в мантиссе результата, остающихся после округления, тип , ;

- it - выходной параметр, равный количеству произведенных итераций, тип int.

В качестве значения функции типа возвращается одно из следующих значений:

а) 0 - все нормально, получено решение ;

б) 1 - не выполняются условия сходимости итерационного процесса;

в) 2 - размер ;

г) 3 - значение .

Константа должна быть задана при разработке головной программы аналогично тому, как это делается при выполнении лабораторной работы № 11;

4) произвести вычисления с использованием разработанной программы и построить график зависимости числа итераций от задаваемой точности.

 

Алгебраических уравнений

 

Файл GAUSS.CPP.

 

// Подключение математики:

#include <math.h>

// Математика подключена.

gauss(a,b,x,n)

float a[][nmax]; // Исходная матрица коэффицентов:a

float b[]; // Правые части

float x[]; // Результат (будет получен при решении)

int n; // Количество элементов в векторах и размерность матрицы

{

int i,j,k,imax;

int nm1=n-1; // Используется для удобства вместо n, так как

// элементы массивов отсчитываются с 0, а не с 1

int err=0; // Начальное значение кода ошибки =0 (т.е. ошибки нет),

// перед окончанием функции переменная err передается

// в качестве значения функции

float amax,t,mi,sum;

 

// Проверка корректности переменной n и константы nmax

// в случае противоречий выход из функции:

// endofproc -метка конца функции

 

if (n<2) { err=2; goto endofproc; } // В матрице <2 элементов

if (n>nmax) { err=3; goto endofproc; }

// n>реальной размерности =nmax

 

// Теперь все корректно.

 

// Далее следует...

// Цикл из n-1 шагов, на каждом шаге находится главный элемент и

// преобразовывается матрица.

// Главный элемент определяется только из очередного столбца,

// а не из всей матрицы.

// n-й шаг цикла не нужен так как остается один элемент a[n-1][n-1],

// который сам по себе главный (рассматривается после цикла).

 

for (k=0; k<=nm1-1; k++)

{

// Поиск главного элемента в текущем столбце (k):

 

for (i=k,amax=0.0; i<=nm1; i++)

if (fabs(a[i][k]) > fabs(amax)) amax=a[(imax=i)][k];

// Главный элемент найден.

// Если он =0, то ошибка, так как матрица вырождена и выход из функции

// (метка endofproc стоит в конце функции):

if (amax==0.0) { err=1; goto endofproc; }

// Замена строки с найденным главным элементом на строку с номером k

for (j=k;j<=nm1;j++)

{

t=a[imax][j];

a[imax][j]=a[k][j];

a[k][j]=t;

}

// Строки заменены.

// Замена элементов правой части для тех же строк:

t=b[imax];

b[imax]=b[k];

b[k]=t;

// Заменены.

// Определение mi для каждой строки (ниже главной)

// и ее преобразование для найденного mi:

for (i=k+1;i<=nm1;i++)

{

mi=-a[i][k]/amax;

a[i][k]=0.0;

for (j=k+1;j<=nm1;j++)

a[i][j]+=a[k][j]*mi;