Джерела і класифікація похибок.

Похибки обчислень зумовлені наступними причинами:

1) Математичний опис задачі являється неточним, зокрема неточно задані початкові дані опису.

2) Вживаний для розв’язку метод часто не є точним; одержання точного розв’язку вимагає необмеженого або недопустимо великого числа арифметичних операцій, тому замість одержання точного розв’язку задачі користуються наближеним розв’язком.

3) При вводі даних в машину, при виконанні арифметичних операцій і при виводі даних виконуються округлення.

Похибки, що відповідають цим причинам, називають:

1) неусувна похибка;

2) похибка методу;

3) обчислювальна похибка.

Основні задачі дослідження похибок.

1) Оцінка точності результату в залежності від різних видів похибок або оцінка повної похибки;

2) Створення алгоритмів, які забезпечують максимальну точність при виконанні мінімального об’єму обчислень.

Нехай А – точне значення деякої величини, а – відоме наближення до нього (наближене значення). Тоді

Δ = │А – а │

називають абсолютною похибкою числа а, а

– відносною похибкою числа.

Слід розрізняти два випадки:

1) число А нам відоме, тоді Δ обчислюється за формулою;

2) число А – невідоме, що буває найчастіше, і отже, не можна визначити абсолютну похибку за формулою. В цьому випадку замість невідомої теоретичної абсолютної похибки Δ вводять її оцінку зверху, так звану граничну абсолютну похибку Δ _а. Тоді

Δ = │А – а │≤ Δ _а.

Звідси випливає, що точне значення А міститься в межах

а – Δ _а ≤ А ≤ а + Δ _а,

або А = а ± Δ _а

Граничною відносною похибкою δ _а називається будь-яке число таке, що

δ _а ≥ δ;

Оскільки А звичайно невідоме, то зручно δ _а виразити через а. Як правило Δ _а << a, тому наближено

та Δ _а ≈│ а │ δ _а.

 

Заокруглення чисел.

Досить часто виникає необхідність в заокругленні числа а, тобто зміні його числом а ₁ з меншою кількістю значущих цифр. Число а ₁ вибирають так, щоб похибка заокруглення була мінімальна.

Правила округлення за доповненням.

Щоб заокруглити число n до значущих цифр, відкидають всі його цифри, що стоять справа від n -ї значущої цифри, або якщо це потрібно для збереження розрядів, замінюють їх нулями.

При цьому:

1) якщо перша з відкинутих цифр менша 5-ти, то залишені десяткові знаки зберігаються без змін;

2) якщо перша з відкинутих цифр бульша 5-ти, то до останньої залишеної цифри додається одиниця;

3) якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5-ти, та серед решти відкинутих цифр є ненульові, то остання залишена цифра збільшується на одиницю;

4) якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5-ти, та серед решти відкинутих цифр є нульові, то остання залишена цифра зберігається незмінною, якщо вона парна і збільшується на одиницю, якщо вона непарна (правило парної цифри).

 

Значущі цифри. Число вірних знаків.

Значущими цифрами наближеного числа а називають всі цифри в його десятковому наближенні, відмінні від нуля, та нулі, якщо вони стоять між іншими значущими цифрами або розміщенні в кінці числа і вказують на точність. Однак точність наближеного числа залежить не від того, скільки в цьому числі значущих цифр, а від того, скільки значущих цифр заслуговує довір’я (тобто, скільки вірних значущих цифр).

Всяке додатне число а може бути представлене у вигляді розкладу

де К ₁, К ₂, …, К_n – десяткові знаки числа а. При цьому обов’язково К ₁ ≠ 0, К ₂, …, К_n можуть приймати значення від 0 до 9.

Певне число а має n точних десяткових знаків, якщо його абсолютна похибка не перевищує одиниці n -го десяткового знаку або половину цієї одиниці у випадку заокруглення за доповненням, тобто

у широкому розумінні,

у вузькому розумінні

Зв’язок абсолютної похибки з числом вірних значущих цифр.

Між кількістю вірних десяткових знаків і відносною похибкою числа а існує зв’язок, який можна виразити за допомогою теорем:

Теорема 1.

Якщо додатнє число а має n десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа не перевищує , яка ділиться на першу значущу цифру даного числа, тобто

Тоді за визначенням

Δ = │А – а │≤ 10 ^{m–n +1}

Теорема 2.

Якщо , то а має n вірних десяткових знаків

звідси ;

Наслідок: за граничну відносну похибку числа а можна прийняти

.

 

Похибка обчислення функції.

Нехай відомі похибки деякої системи величин. Потрібно визначити похибку даної функції від цих величин.

Нехай задана диференційованана функція

u = f (x ₁, x ₂, …, x_n)

і нехай │Δ x _і│ (і = 1, 2, …, n) абсолютна похибка аргументів функції. Тоді абсолютна похибка функції

Як правило, на практиці │Δ x _і│ настільки мала величина, що добутками, квадратами і вищими степенями можна знехтувати. Тому можна покласти

Тут повний приріст замінюємо повним диференціалом, отже

(1)

Позначивши через Δ x _і (і = 1, 2, …, n) граничні абсолютні похибки аргументів x _і, а через Δ u – граничну похибку функції і для малих Δ x _і одержимо

– гранична абсолютна похибка функції (2)

Поділивши обидві частини нерівності (1) на │ u │, одержимо оцінку для відносної похибки функції u

Тоді гранична відносна похибка

Наприклад, для двох змінних

Приклад. Знайти граничну абсолютну та відносну похибки об’єму шару , якщо r = 1,8 см ±0,005 см;

π ≈ 3,14.

Тут Δ r = 0,005

Δ π = 0,002, оскільки число π знаходиться в межах 3,14 < π < 3,142

Обчислимо

см³

Розглядаючи π та r як аргументи, знайдемо

Гранична абсолютна похибка:

Відносна похибка:

Таким чином V = 24,4 см³ ±0,22 см³;

 

Похибка суми.

Теорема 1.

Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

(1)

Гранична абсолютна похибка суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків

(2)

Із формули (2) випливає, що гранична абсолютна похибка суми не може бути меншою граничної абсолютної похибки найбільш точного із доданків, тобто доданка, який має максимальну похибку. З якою б точністю не було визначено решта доданків, ми не можемо за їх рахунок збільшити точність суми. Тому не слід зберігати надлишкові знаки і в більш точних доданків.

Практичне правило для додавання наближених чисел. Щоб додати числа різної абсолютної точності необхідно:

1) Виділити числа, десятковий запис яких обривається раніше інших, (тобто числа, що мають найменшу абсолютну точність), і залишити їх без змін;

2) Числа, які залишилися, необхідно заокруглити по взірцю виділених, зберігаючи один або два запасних десяткових знаки;

3) Додати дані числа, враховуючи всі збережені знаки;

4) Одержаний результат заокруглити на один знак.

Теорема 2.

Якщо доданки мають однаковий знак, то гранична відносна похибка їх суми не перевищує найбільшої із граничних відносних похибок доданків.

Нехай , причому приймаємо, що х_і > 0 (i = 1, 2, …, n).

Гранична відносна похибка

;

Нехай найбільша із граничних відносних похибок доданків , тобто < . Тоді

Отже , тобто .

 

Похибка різниці.

Розглянемо різницю двох наближених чисел

За формулою для граничної абсолютної похибки алгебраїчної суми одержимо

тобто абсолютна похибка різниці оцінюється так само, як і для суми.

Гранична абсолютна похибка різниці дорівнює сумі граничних абсолютних похибок зменшуваного і від’ємника.

Звідси гранична відносна похибка різниці:

(1)

Якщо наближені числа х ₁ і х ₂ достатньо близькі один до одного, то різниця мала. З формули (1) випливає, що гранична відносна похибка в цьому випадку може бути досить великою, в той час коли відносна похибка зменшуваного і від’ємника залишається малою, тобто тут відбувається втрата точності. Звідси випливає практичне правило: при наближених обчисленнях слід по можливості уникати віднімання двох рівних близьких чисел; якщо в силу необхідності доводиться віднімати такі числа, то слід зменшуване і від’ємник брати з достатнім числом запасних знаків (якщо існує така можливість). Наприклад, якщо відомо, що при відніманні чисел х ₁ і х ₂ перші m значущих цифр зникнуть, то слід брати х ₁ і х ₂ з (m + n) вірними значущими цифрами.

Приклад. Знайти різницю з трьома правильними знаками.

Оскільки ,

то результат u = 0,00353 = 3,53∙10^{– 3}.

Цей результат можна отримати, якщо записати u у такому вигляді (перетворимо вираз, щоб уникнути віднімання двох близьких чисел)

і взяти корені лише з трьома правильними знаками

.

 

Похибка добутку.

Теорема.

Відносна похибка добутку декількох наближених чисел, відмінних від нуля, не перевищує суми відносних похибок цих чисел. Нехай

покладемо , одержимо δ ≤ δ₁ + δ₂ +…+ δ _n.

Формула правильна, якщо співмножники мають однакові або різницеві знаки.

Наприклад, u = x ₁ · x ₂

ln u = ln x ₁ + ln x ₂,

Наслідок. Гранична відносна похибка добутку дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників, тобто

Розглянемо частковий випадок

u = k · x, де k – точний множник, відмінний від нуля.

тобто при множенні наближеного числа на точний множник k відносна гранична похибка не змінюється, а абсолютна гранична похибка збільшується в │ k │ разів.

Правило: щоб знайти добуток декількох наближених чисел з різним числом правильних значущих цифр достатньо:

1) заокруглити їх так, щоб кожне з них мало на одну (або дві) значущих цифри більшу, ніж число правильних цифр в найбільш точному із співмножників;

2) в результаті множення зберегти стільки значущих цифр, скільки правильних цифр є в найбільш точному із співмножників (або утримати ще одну запасну цифру).

 

Похибка частки

Теорема:

Відносна похибка частки не перевищує суми відносних похибок діленого і дільника.

Нехай Тоді на основі одержимо

.

Наслідок. Якщо то

Нехай ділене х ₁ і дільник х ₂ мають щонайменше m вірних цифр. Якщо α і β їх перші значущі цифри, то за граничну відносну похибку частки u може бути прийнята величина

Звідси одержимо правило:

1) якщо α ≥ 2 і β ≥ 2, то частка u має щонайменше (m – 1) вірних знаків;

2) якщо α = 1 і β = 1, то частка u має (m – 2) вірних знаків.

Відносна похибка степеня.

Нехай (де m – натуральне число). Тоді

, де δ′ – відносна похибка числа

і ,

тобто гранична відносна похибка т -го степеня числа в т разів більша граничної відносної похибки самого числа.