Обчислення машинного епсилон.

Точність плаваючої арифметики можна характеризувати за допомогою машинного епсилон, тобто найменшого числа з плаваючою комою, такого що

1 ε > 1,

де означає плаваюче додавання.

Хоч це означення виділяє як машинне ε єдине число плаваючої системи, не так вже й важливо використовувати його точне значення. Воно використовується звичайно в програмах таким чином, що може відрізнятися від свого точного значення декількома степенями 2, не викликаючи при цьому серйозних труднощів.

Існує декілька методів для наближеного обчислення значення ε, таким чином програма може визначити точність машини, на якій вона виконується, під час свого виконання. Метод, яким можна обчислити наближення, котре відрізняється від ε щонайбільше множником 2, ілюструється наступним сегментом фортранної програми:

EPS = 1.

10 EPS = 0.5*EPS

EPS P1 = EPS + 1.

IF (EPS P1.GT.1) GO TO 10

 

Поняття про матриці.

Система чисел розташованих в прямокутній таблиці із “ т ” рядків та “ n ” стовпців називається матрицею розміру т n.

(1)

Числа а_ij, де i – номер рядка; j – номер стовпця – називають елементами матриці. Для матриці часто використовують скорочену форму запису

(; )

або

Якщо матриця складається з одного рядка (тобто має порядок 1 n), то вона називається вектором-рядком

Якщо ж матриця складається з одного стовпця (т 1 – порядку) – вона називається вектором-стовпцем.

Якщо число рядків і стовпців однакове, то матриця називається квадратною (тобто т = n). Якщо т ≠ n, то – прямокутною. Число (скаляр) можна розглядати як матрицю 1 1.

Головною діагоналлю квадратної матриці називають діагональ, що проходить через верхній лівий і нижній правий кути, тобто сукупність елементів вигляду а_іі, де .

Квадратна матриця вигляду

(2)

називається діагональною матрицею. Якщо при цьому α _і = 1, то матриця (2) називається одиничною і позначається буквою Е, тобто

Матриця, всі елементи якої рівні нулю, називають нульовою і позначається через нуль. При необхідності вказати число рядків і стовпців використовують позначення 0 _mn.

Дві матриці вважається рівними, якщо вони одного і того ж типу (розміру), тобто мають однакове число рядків і стовпців, і відповідні елементи їх рівні

А = В а_ij = b_ij

 

Додавання та віднімання матриць однакового розміру.

 

Добуток матриці А на число α (або навпаки) – це матриця, елементи якої одержуються множенням всіх елементів матриці А на число α

 

Добуток матриць.

Нехай А та В матриці порядків т n та n р відповідно. Добуток матриць

це матриця С розміру т р.

(; )

Правило множення: щоб одержати елемент, що стоїть в і – му рядку та j – му стовпці добутку двох матриць, необхідно елементи і – го рядка першої матриці помножити на відповідні елементи j – го стовпця другої матриці і одержані добутки додати.

Слід наголосити, що множення А на В допустиме (тобто добуток А ∙ В існує), якщо число стовпців А дорівнює числу рядків В.

Приклад.

.

Якщо в матриці т n

замінити рядки власними стовпчиками, то одержимо матрицю

розміру n т, котра називається транспонованою по відношенню до матриці А. Для вектора-рядка транспонованою матрицею є вектор-стовпчик.

 

Метод послідовних наближень (метод Пікара).

Нехай задано рівняння

або (1)

права частина якого в прямокутнику неперервна та має неперервну частинну похідну по у. Потрібно знайти розв’язок рівняння (1), що задовольняє початковій умові

х = х ₀, у (х ₀) = у ₀ (2)

Інтегруючи обидві частини рівняння від х ₀ до х, одержимо:

або (3)

Рівняння (1) заміняється інтегральним рівнянням (3). Інтегральне рівняння (3) задовольняє диференціальне рівняння (1) і початковій умові (2). Дійсно

Замінюючи в рівності (3) функцію у значенням у ₀, одержимо перше наближення

(4)

Одержуємо послідовність функцій { у_і (х) }, що збігається до функції у (х), яка є розв’язком диференціального рівняння у′ = f (х, у)

у ₁(х), у ₂(х), у ₃(х), …, у_n (х)

Приклад.

Розв’язати методом Пікара диференціальне рівняння у′ = х ² + у ². Початкові умови х ₀ = 0, у (х ₀)= = у ₀ = 0.

Переходимо до інтегрального рівняння

,

або з врахуванням початкових умов

Одержимо послідовні наближення

Метод Пікара зручно застосовувати, якщо інтеграли в (4) вдається обчислювати через елементарні функції. Якщо ж права частина рівняння (1) більш складна, то ці інтеграли доводиться знаходити чисельними методами, і методом Пікара не досить зручний.