Розрахунок імовірності неруйнування валів та осей

За критерієм міцності від втомленості

За умов стаціонарного режиму навантаження при згинанні

 

Вали та осі розраховують для кожного місця концентрації напружень. Розрахунок зводиться до визначеня ймовірностей неруйнування місця концетрації та ймовірності неруйнування валу для m концентрацій напружень, нормального розподілу ресурсу та середньої границі витривалості валу, сумарного коеційнту варіації витривалості валу.

Розрахуноква ймовірність неруйнування валу для m концентраторів напружень визначається наступним чином:

(28)

де

Р(Т_рγ) – імовірність неруйнування j-ї деталі (валу) протягом заданого гамма-відсоткового ресурсу;

Q_к(N_ц) – ймовірність руйнування місця концентрацї напруження при заданому циклі навантаження вала, що відповідають заданому ресурсу.

 

Кількість циклів навантаження валу до руйнування (в навчальних цілях видається згідно індивідуального завдання викладачем):

N_ц = 60nT_рγ (29)

де

n – частота обертання, хв^-1

Т_рγ – заданий гамма-відсотковий ресурс вала, год

 

Значення ймовірності неруйнквання вала має задовольняти умову:

100Р(Т_ру) , γ_j(30)

Р(Т_рγ) – задана ймовірність неруйнування вала (γ_j=90%).

Величину Q_к(N_ц) визначають згідно знайденого значення квантиля нормального розподілу:

(31)

де

n_з – безрозмірна величина (умовний коефіцієнт запасу витривалості валу),

V_σ-1q, та V_σв – коефіцієнти варіації. Значення V_σв, коли нема експериментальних даних, приймають 0,3÷0,5.

Сумарний коефіцієнт

(32)

де

К – коефіцієнт допустимого перевищення границі витривалості, що залежить від кількості циклів N_ц до руйнування валу (вибирається з таблиці 5.1).

σ_-1q – середня границя витривалості вала при згинанні, кПа;

σ_а – середнє значення амплітуди циклу навантаження, кПа;

Таблиця 5.1

Значення коефіцієнта К залежно

від кількості циклів навантаження N_ц

N	10^5	2·10^5	4·10^5	8·10^5	·10^6	2·10^6	3·10^6	5·10^6
К	1,2	1,6	1,13	1,09	1,08	1,04	1,02	1,0

 

Сумарний коефіцієнт варіації витривалості вала розраховують за наступною формулою:

(33)

де

Δ – однобічний допуск на виготовлення місця концентрації (видається згідно індивідуального завдання), мм

ρ – радіус гальтелі, виточки або іншого якого-небудь концентратора напруження, мм

 

Середня границя витривалості вала при згинанні визначається наступним чином:

(34)

при крученні:

(35)

де

α_σ, α_τ – теоретичні коефіцієнти концентрації напружень відповідно при згинанні та при крученні (рис. 5.1 – 5.4);

U_σ, U_τ – нижні межі границі витривалості матеріалу вала відповідно при згинанні та при крученні, Мпа;

А_Lσ, А_Lσ – сталі величини відповідно при згинанні та крученні;

L – периметр малого уступу (L=πd), мм;

σ, σ_τ - відносний градієнт першого головного напруження в місці концентрації напружень відповідно при згинанні та крученні.

 

Рис. 5.1 – Теоретичні коефіцієнти концентрації напружень α_σ та α_τ для валів

із кільцевою виточкою при крученні (а) і згинанні (б)

 

Рис. 5.2 - Теоретичні коефіцієнти концентрації напружень α_σ та α_τ для ступінчастих валів з галтеллю при крученні (а) й згинанні (б)

Рис. 5.3 - Теоретичні коефіцієнти концентрації напружень α_σ та α_τ для валів з поперечним отвором при крученні й згинанні.

Значення U_σ, U_τ, що входять до виразів 34, 35, обчислюють відповідно за наступними формулами:

,

Сталі величини В, А_Lσ та А_Lτ розраховуються відповідно наступним чином:

;

;

;

Значення відносних градієнтів σ та σ_τ залежать від типу ослабленості перерізу валу (наявності галтелі, кільцевої канавки, шліців чи шпонкового пазу).

 

Рис. 5.4 - Теоретичні коефіцієнти концентрації напружень α_σ та α_τ для валів з шпонковим пазом при крученні й згинанні.

 

Для валу із галтеллю:

при згинанні ;

при крученні

де

r – радіус галтелі, виточки чи іншого концентратора напруження, мм;

d – діаметр меншого уступу валу або внутрішній діаметр шліців, мм;

Для валу з кільцевою канавкою:

при згинанні ;

при крученні

Для вала із шліцевою канавкою чи шпонковим пазом:

при згинанні ;

при крученні

Периметр малого уступу валу визначається за на ступною формулою:

Приклад розрахунку

Завдання. Розрахувати ймовірність неруйнування валу за критерієм міцності від втомленості. Вал має: шпонковий паз. Згинальний момент Мзг=10 Нм. Кількість циклів навантаження вала до руйнування

Матеріал: Сталь 45. Гамма відсотковий-ресурс вала год, при γ=90%.

Ескіз вала:

Конструктивні розміри вала:

мм, d=100 мм, b=10 мм.

Послідовність розрахунку

 

1. Визначаємо нижню межу границю витривалості матеріалу вала при згинанні

Н

де, σв – межа міцності відповідного матеріалу (вибирається залежно від матеріалу вала) σв=61 кг=610 Н.

2. Розраховуємо сталу В:

3. Обчислюємо сталу А при згинанні:

АL_σ=10*В=1.35

4. Знаходимо Теоретичний коефіцієнт концентрації напружень α G залежно від співвідношення r/d.

α_σ=r/d=0.0125

5. Визначаємо периметр малого уступу вала L:

L=π*d=3.14*100=314

6. Розраховуємо відносний градієнт напруження σ:

σ=(2/d)+3=3.02H

7. Визначаємо середню границю витривалості G-1q при згинанні:

σ_-1q =

8. Визначаємо коефіцієнт допустимого переміщення границі витривалості К=1.13, залежно від кількості циклів до руйнування Nц за таблицею 14.10 [1 ст. 238].

9.Розраховуємо умовний коефіцієнт запасу вала nз.

nз = =0,13

де, σ_amax = 100000— значення амплітуди навантаження

σ_amax=M_зг/W_зг=100000 МПа

М_зг = 10 Н*м – згинальний момент;

W_зг = =0,0001 — момент опору перерізу вала при згинанні.

 

10. Обчислюємо сумарний коефіцієнт варіації :

де, мм

11. Визначаїмо кванти нормального розподілу Uq:

2.9

де, Vσ_a =0,3 – коефіцієнт варіації.

12. Знаходимо значення імовірності не руйнування місця концентрації [1, ст.374].

=93%

13. Перевіряємо виконання умови:

≥ γ=93%

Висновок: Умова про не руйнування вала при згинанні на заданих умовах навантаження виконується.

В разі, коли умова не виконується, необхідно виконати наступне:

1- Перевірити кількість циклів . Може їх потрібно зменшити коректуємо 0.

2- Збільшити коефіцієнт α σ (для цього потрібно збільшити конструктивні розміри d, r, b) або зменшити.

3. Взяти більш міцний матеріал з більшим значенням σв.