O концентрация компонента А на выходе - Ca

O концентрация компонента В на выходе - Cb

O концентрация компонента С на выходе - Cc

O концентрация компонента D на выходе - Cd

O температура в реакторе - t

O температура в теплоносителя в рубашке - tpar

Входные переменные:

o расходы на входе и выходе из аппарата потока - υ₁, υ₂, υ;

o концентрация вещества А во входном потоке – С_Авх;

o концентрация вещества B во входном потоке – С_Bвх;

o концентрация вещества C во входном потоке – С_Cвх;

o концентрация вещества D во входном потоке – С_Dвх;

o температуры входных потоков t₁, t₂ и t_{тн вх};

o расход теплоносителя на входе в рубашку - ν_{тн вх}

 

Формулировка показателя эффективности

Критерием эффективности управления является выход целевого продукта B:

 

 

Таблица 1

Ориентировочные исходные данные для моделирования объекта:

	Наименование	Единицы измерения	Численное значение	Обозначение
1.	Объем	л		V
2.	Теплоемкость вещества в аппарате и входных потоках   Теплоемкость теплоносителя	кДж/кг*К	4,19	Cp     Сртн
3.	Плотность вещества в аппарате и входных потоках   Плотность теплоносителя	кг/л	1,2     0,9778	Ρ     Ρтн
4.	Тепловой эффект реакции	кДж/моль	260,5	ΔH
5.	Предэкспонентциальный множитель константы скорости	1/мин		K10 K20 K30 K40
6.	Энергия активации	кДж/моль		E1 E2 E3 E4
7.	Концентрация компонента А на входе В на входе С на входе D на входе	моль/л	1,2 0,2 0,02 0,002	Сaвх Cbвх Ссвх Сdвх
8.	Температура теплоносителя	^оС		tт
9.	Температура на входе в реактор (основной поток)	^оС		t1
10.	Температура на входе в реактор (растворитель)	^оС		t2
11.	Температура в реакторе	^оС		t
12.	Диаметр аппарата (ориентровочный)	м	0,59	D
13.	Уровень жидкости (ориентировочный)	м	0,86	H
14.	Коэффициент теплопередачи	кДж/м^2*мин*К		Kт
15.	Поверхность теплопередачи (ориентировочная)	м^2	1,365	Fт
16.	Расход на входе в реактор V2	л/мин	0,25	V2
17.	Расход на входе в реактор V1	л/мин	0,75	V1
18.	Расход на выходе	л/мин		υ
19.	Концентрация компонента А на выходе В на выходе С на выходе D на выходе	моль/л	0,156 0,727 0,015 0,018	Ca Сb Cc Cd

Математическая модель объекта

Формулировка упрощающих допущений

Выделим следующие допущения:

1) структура потоков описывается моделью идеального перемешивания;

2) теплопотери в окружающую среду отсутствуют; теплофизические свойства жидкостей не зависят от температуры и концентрации компонентов;

3) теплоемкостью стенок пренебрегаем;

4) транспортным запаздыванием при изменении входных переменных пренебрегаем;

5) расход теплоносителя на входе и выходе одинаков; объем теплоносителя в рубашке и рабочий объем постоянны (Vт = const, Vр = const).

6) Коэффициент теплопередачи считаем постоянным.

 

 

Модель динамики объекта

Реакция происходит в четыре стадии:

Запишем скорость реакции по компонентам в систему (2.2.1) в следующем виде:

(2.2.1)

В соответствии с классификацией переменных и допущениями математическая модель динамики включает в себя:

Уравнения материального баланса по компонентам с условием, что объём постоянен.

Уравнение теплового баланса реакционной смеси.

Уравнение теплового баланса рубашки.

Начальные условия: Vp=Vp^o; Ca=Ca^o; Cb=Cb^o; Cc=Cc^o; Cd=Cd^o; t=t^o: tтн=tтн^о

Модель динамики представляет собой систему нелинейных ОДУ.

 

Модель статики объекта

Модель статики записывается путём приравнивания производных к нулю, а все входные и выходные переменные, присутствующие в правых частях уравнений математической модели, помечаются индексом «0».

0= ν₁⁰ + ν₂⁰ – ν⁰

Модель статики – это система нелинейных ОДУ.

Моделирование статики и динамики объекта на ЭВМ осуществим при помощи математического пакета MathCAD.

Уравнения динамики и статики решаем при помощи функции Rkadapt. Данная функция реализует решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4 порядка с адаптивным шагом решения. Уравнения статики при помощи процедуры Given-Find.

 

 

3. Оптимизация объекта
Задача оптимизации

Определить значение технологических параметров, обеспечивающих минимальный объём аппарата при заданном выходе целевого продукта (ψ=75%), заданной нагрузке, заданных значениях входных переменных, заданных ограничений на температуру t=[70-90^оС]

Для решения задачи оптимизации используются только уравнения материального баланса по компонентам:

V_p * = V_p*(-k₁*C_A +k₂*C_В)+υ₁*C_Aвх –υ*C_A

V_p * = (k₁*C_A – k₂*C_B– k₃*C_B)* V_p + υ₁*С_Ввх - υ*C_B

V_p * = (k₃*C_В – k₄*C_C)* V_p + υ₁*С_Свх - υ*C_C

V_p * = k₄*C_С* V_p + υ₁*С_Dвх - υ*C_D

Листинг программы в среде MathCAD:

Зададимся ориентировочными значениями объема и температуры. Пусть V=120 л, t=90˚C.

Т.к. целевым компонентом реакции является компонент В, то критерий оптимизации ψ_b будем рассчитывать по формуле (3.1):

(3.1)

 

Рассчитывая оптимальные значения температуры и объема, мы задаемся ориентировочной температурой в 70° и изменяем объем в реакторе от 90 до 210, с шагом 10, затем по полученным данным строим график зависимости объема от температуры.

 

Аналогично проводятся расчеты и для других объемов при температурах 80˚ и 90˚С. В результате получаем следующие значения:

Рис. 3.1. Зависимость объема от температуры при 70, 80 и 90 °С

 

Из графиков видно, что при φ=75% V=120л и t=90°C, т.е. t_opt = 90˚C, V_opt = 120л.

 

Выполним пересчет поверхности теплообмена Ft, учитывая оптимальные значения объема реактора и температуры реакционной смеси в нем, при условии, что D=H.

С помощью блока Given-Find пересчитаем температуру на входе в рубашку, используя уравнения теплового баланса для реактора:

 

 

 

Выполним проверку полученных оптимальных значений. Для этого решим нелинейную модель с начальными условиями, соответствующими найденным значениям выходных переменных в оптимальном режиме (т.е. оптимальные значения Vp, Ca, Cb, Cc, Cd, t) и постоянном объеме. Если не задавать входным переменным приращений, то графики изменения выходных переменных во времени должны представлять собой прямые.

Используя уравнения материального баланса по компонентам и теплового баланса жидкости в реакторе, запишем вектор-функцию модели:

Рис. 3.2 Графики зависимости выходных переменных от времени

 

Т.к. полученные графики – это прямые линии, то можно сделать вывод, что найденные значения параметров являются верными и программное средство написано правильно.

 

Таблица 2