Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра равен сумме моментов составляющих относительно того же центра.

Пусть (рис. 17) система имеет равнодействующую . Приложим к телу силу = - , тогда система , ~ 0, следовательно, сумма моментов всех сил системы относительно любого центра О, будет равна 0, т.е.

=0.

но , тогда = 0. следовательно, = . Что и требовалось доказать.

Теорема о параллельном переносе силы

Силу можно переносить параллельно самой себе из данной точки в любую другую, добавляя при этом, пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.

Доказательство (рис.18): пусть в точке А приложена сила . Приложим в точке В силы и , равные, параллельные силе и направленные в противоположные стороны (следует из первой аксиомы). Тогда систему сил

, , можно рассматривать как силу , равную и приложенную в точке В, и пару сил , , момент которой равен моменту силы относительно точки В: (, ) = = × . Что и требовалось доказать.

Основная теорема статики

Определение: главным вектором системы сил называется вектор, равный геометрической сумме сил системы: .

Определение: главным моментом системы относительно центра О называется вектор, равный геометрической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра. .

Статика решает две главные задачи:

1. Задачу о равновесии (каким условиям должна удовлетворять система сил, для того чтобы тело под ее действием находилось в равновесии);

2. Задачу о приведении (как данную систему сил заменить другой, в частности более простой).

Вторую задачу статики помогает решить основная теорема статики: любую систему сил можно заменить одной силой, равной главному вектору и приложенной в центре приведения, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту относительно центра приведения.

Доказательство: пусть на тело (рис. 19) действует система сил . Выберем произвольно т. О – центр приведения. По теореме о параллельном переносе, каждую из сил можно перенести в центр О, добавив при этом соответствующую пару сил. В результате, перенеся все силы в точку О, получим систему сил, приложенных в т. О, и систему пар сил с моментами равными моментам сил системы относительно центра О. Сложив все силы, приложенные к центру О, получим главный вектор системы . Сложив все моменты пар сил, получим главный момент . Таким образом, данную систему сил заменили одной силой и одной парой сил с моментом , что и требовалось доказать.

Случаи приведения

1. = 0, = 0. Система сил эквивалентна нулю, т.е. находится в равновесии.

2. = 0, 0. Система приводится к паре сил. При этом главный момент не зависит от выбора центра приведения.

3. 0, = 0. Система приводится к равнодействующей, приложенной в центре приведения.

4. 0, 0.

а) . Система приводится к равнодействующей, лежащей на расстоянии

h = | | / | | от центра приведения (рис. 20).

б) || . В этом случае система приводится к динаме, или силовому винту (рис.21).

Во всех остальных случаях система может быть приведена к динаме. Под действием динамы тело может совершать винтовое движение.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, равная проекции момента силы относительно точки, лежащей на оси, на эту ось (рис.22).

Таким образом, = | | cosγ.

Векторное произведение двух векторов можно представить в виде определителя. Разложив его по элементам первой строки, получим:

С другой стороны, .

Сравнивая эти формулы, получаем:

; ; .

При решении задач удобно определять момент силы относительно оси по следующему правилу: момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и плоскости, т.е.:

m = m_O = ·h .

Вывод: момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси (F_пр=0) или сила пересекает ось (h =0). Оба эти случая можно объединить: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Геометрически момент силы относительно центра О равен удвоенной площади Δ ОАВ, а относительно оси z - удвоенной площади Δ ОА₁В₁.

Уравнения равновесия произвольной пространственной

Системы сил

Для равновесия необходимо, чтобы выполнялось два равенства:

= 0; = 0.

Поскольку | | , а | | = , то для выполнения этих равенств необходимо, чтобы одновременно выполнялись шесть уравнений:

или или

Если линии действия всех сил системы параллельны, то, выбрав ось z параллельной линиям действия сил, получим, что первые два и последнее уравнение системы выполнятся тождественно. Тогда останутся три уравнения равновесия: