Статистические методы изучения взаимосвязей в массовых явлениях: виды; уравнения парной и множественной корреляция на основе мнк.

 

Корреляционно-регрессионная связь для условий парной корреляции имеет вид: у_хi = f(х_i) + ξ (ξ – случайные факторы). В данной связи из-за влияния случайных факторов (ξ) управленческие решения принимаются в условиях неопределенности и риска. Показатель корреляции (коэффициент r) характеризует наличие, величину тесноты и характеристику силы связи между факторным (х) и результирующим (у) признаками. Регрессия – это графическая форма и аналитическая зависимость (математическая формула) среднего значения результативного признака (у_хi) от факторного признака (х_i). Прямолинейная модель регрессии для парной (однофакторной) корреляции имеет вид: у_х=а₀ + а₁х. При множественной корреляции результирующий признак зависит от нескольких факторных признаков и суммы случайных факторов у_х=f(х₁, х₂, …….х_n) + ∑ ξ.

Модель прямолинейной регрессии для двухфакторной корреляции имеет вид (уравнение плоскости): у_х1х2 = а₀ + а₁х₁ + а₂ х_2.

 

Корреляционная связь и корреляционный анализ выявляет наличие и величину тесноты связей и взаимозависимости между двумя или несколькими признаками изучаемых процессов и их моделей и характеризуется изменением среднего значения результативного признака под влиянием факторов с переменной величиной признака.

Регрессионная связь и регрессионный анализ выявляют форму и аналитическое выражение (уравнение) корреляционной связи, в котором изменение результативного признака (у_х) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых (х_n).

Исходной информацией и материальной основой корреляционно-регрессионного анализа являются данные статистического наблюдения изучаемых массовых явлений и процессов в виде фактических эмпирических (из данных наблюдения) параллельных (в пространстве и во времени) рядов численных значений результирующего (у^ф_i=1,n) и факторного (х^ф_{i=1, n}) признаков (у^ф_i: у^ф₁, у^ф₂, у^ф ₃ …. у^ф_n; х^ф_i: х^ф₁, х^ф₂, х^ф₃ ….. х^ф_n ), по координатам которых на графике строится эмпирическая ломаная линия у^ф. Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических единиц (совокупностей) взаимосвязанных массовых явлений или процессов.

Однофакторная (парная) корреляция.

Для осуществления корреляционного анализа (выявления корреляционной связи и величины ее тесноты между у^ф_i. и х^ф_i) и регрессионного анализа, необходимо по виду фактической (эмпирической) ломаной линии (у_фллi) на графике подобрать вид теоретической типовой линии (у_ттлi), имеющей аналитическое выражение, которая после подстановки в нее фактических значений факторного признака (х^ф_i) становится теоретической аналоговой линией (у_ттлi) и наилучшим образом заменяет и описывает (аппроксимирует) закономерность и основную тенденцию (тренд) развития изучаемого массового экономического процесса – зависимости капитальных затрат на ремонт технологического оборудования от срока его эксплуатации.. При выборе и замене ломаной линии прямой линией, имеющей вид у_х = а₀ + а₁х (1) и подстановки в нее фактических значений переменного факторного признака (х^ф_i), она становится теоретической аналоговой линией аппроксимации у^т_хi = а₀ + а₁ х^ф_i (2), т.е. математической моделью регрессии изучаемого массового процесса. Для практического применения уравнения (2) в прогнозировании, планировании, интерполяции и экстраполяции во всем диапазоне возможного существования изучаемого массового процесса, необходимо определить его параметры а₀ и а₁, используя метод наименьших квадратов (МНК), математическое выражение которого имеет вид F_y=Σ(у_i^т – у_i^ф)² →min (3). Подставим в (3) выражение у_i^т из (2): F_y = Σ(а₀ + а₁х_i^ф – у_i^ф)² →min (4). Функция (4) будет иметь наименьшее значение при условии равенства «нулю» ее частных производных по а₀ а₁.

В связи с тем, что функция (4) является сложной функцией F_y [(у (х)] (5), для вывода формул расчета а₀ и а₁ необходимо использовать правила дифференцирования шести видов производных (I-VI). Производная «сложной функции» (5) имеет вид (I) dF / dy * dy / dx = 0 (6). Произведем замену в выражении (4):

(а₀ + а₁х_i – у_i) = z (6), при этом а₀ , а₁ и z становятся (являются, как искомые) переменными величинами, а х и у – постоянными. Тогда выражение (4) при замене переменных будет иметь вид F_y = Σ(а₀ + а₁х_i – у_i)² = Σ(z)² (7), а сложная функция (5) примет значение F_y [z (а₀,а₁)] (7). Дифференцирование сложной функции (7) дает систему производных 2-х сложных функций:

а) dF / dz * dz / dа₀ = 0, б) dF / dz * dz / dа₁= 0 (8).

Проведем последовательно дифференцирование в системе (8).

Для выражения dF / dz = '[Σ(z)²] = 0 применим правило производной от «переменной в степени» (II): '(zⁿ) = n z^n–1. При n = 2 получим: '(z²) = 2 z^2–1 или 2 z = 0 (9). Разделим левую и правую части выражения (9) на «2» и получим z = 0 (10) или с учетом произведенной замены (6)

dF / dz = '[Σ(z)²] = '[Σ(а₀ + а₁х – у)²] = Σ(а₀ + а₁х – у) = 0 (11).

Для выражения dz / dа₀ = '[а₀ + а₁х – у ]_(dао) = 0 применим правила: производной от «алгебраической суммы» (III) '[а₀ + а₁х – у]_(dао) = '(а₀)+'(а₁x) + '(y) =0 (12); производной от «переменной величины» ('х = 1) (IV) - '(а₀) = 1; производной от «постоянной величины» ('С = 0) (V) - '(а₁x) =0 и '(y) =0 (а₁, x и y - постоянные).

Тогда dz / dа₀ = '[а₀ + а₁х – у ]_(dао) = 1 + 0 + 0 = 1, а выражение (8а) будет иметь вид dF / dz * dz / dа₀ = Σ(а₀ + а₁х – у) * 1 = Σ(а₀ + а₁х – у) = 0 или

Σа₀ + а₁Σх – Σу = 0, откуда (при Σа₀ = n а₀) n а₀ + а₁ Σх = Σу (13).

Для выражения dz / dа₁ = '[а₀ + а₁х – у ]_(dа1) = 0 применим правила дифференцирования в уравнениях (12) и (13) (а₀, x и y - постоянные), а также правило производной от «переменной (а₁) с постоянным множителем (х)» (VI) -

'(а₁x) = '(а1) * x = 1 * х, тогда '(а₀)+'(а₁x) + '(y) = 0 + 1 * х + 0 = х, а выражение (8б) будет иметь вид dF / dz * dz / dа₁= Σ(а₀ + а₁х – у) * х = 0 или

а₀ Σ + а₁Σх² = Σху (14). Таким образом выражения (13) и (14) представляют собой систему совместных уравнений nа₀ +а₁Σх =Σу и а₀ Σ х+ а₁Σх² = Σху (15).

Формулы для расчета параметров (а₀, а₁) уравнения регрессии (2) можно получить из (15), используя метод подстановок соответствующих сумм по фактическим данным из таблицы или метод определителей Крамера (∆₀, ∆_а0, ∆_а1: а₀ = ∆_а0 /∆₀; а₁ = ∆_а1 / ∆₀). Пронумеруем элементы системы (15) без параметров a₀ и а₁:

(1) n + (2) Σх = (3) Σу и (4) Σх + (5) Σх²= (6) Σху (7а).

По правилам определителей получим: ∆₀ = (1 * 5) – (2 * 4) = n Σх² – Σх Σх;

∆_а0 = (3 * 5) – (2 * 6) = Σу Σх² - Σх Σху; ∆_а1 = (1 * 6) – (3 * 4) = n Σху - Σх Σу,

откуда ; (8).

Уравнение (7) можно решить и методом подстановки в него соответствующих сумм из аналитической таблицы расчетных данных.

Обоснованием типичности, значимости и возможности практического использования синтезированной (построенной) модели (2) и ее параметров a₀, а₁, необходима их оценка по условию t-критерия Стьюдента (по его табличному значению t_а0 > t _{кр таб} < t_а1), по коэффициенту корреляции r, определяющего тесноту корреляционной связи между у^ф_i. и х^ф_i, по коэффициенту детерминации r², характеризующего долю (%) вариации у^ф_i от влияния х^ф_i с учетом влияния суммы случайных величин на основе уравнения у_хi = f(х_i) + ξ [у_хi = f (r² + ξ)].