Логарифмические ЧХ последовательного соединения звеньев

 

Построение ЛЧХ соединения основано на следующих двух положениях.

1. Используется то обстоятельство, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей. С учетом того, что ПФ звеньев являются комплексными дробно-рациональными функциями, отдельно ЛАХ разомкнутой системы есть сумма ЛАХ звеньев соединения; ЛФХ разомкнутой системы также есть сумма ЛФХ отдельных звеньев.

2. По асимптотическим ЛАХ отдельных звеньев может быть построена асимптотическая ЛАХ системы, а уточненная ЛАХ системы может быть получена путем учета поправок. При этом необходимо заметить, что в зависимости от решаемой задачи учет всех поправок может и не понадобится.

Алгоритм построения ЛАХ последовательного соединения:

1. Оператор последовательного соединения звеньев приводится к следующему виду.

, (4.2)

n =…-2, -1, 0, 1, 2,….

Первый сомножитель в (4.2) определит наклон низкочастотного участка ЛАХ (слева от крайней левой линии сопряжения). При n = 0 наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен 0 дБ/дек. При n = 1 - -20 дБ/дек. При n = 2 - -40 дБ/дек. Значение n = -1 или n = -2 +20 дБ/дек или +40 дБ/дек.

2. На частотной оси помечаются частоты сопряжения. Проводятся вертикальные штриховые линии сопряжения. Каждая линия помечается в соответствии со своей постоянной времени 1/ Ti или 1/t j.

3. Для диапазона частот w £ wc,min, то есть левее самой левой линии сопряжения, строится ЛАХ сомножителя (K / s n). Далее построение результирующей ЛАХ производится от wc,min вправо, то есть в сторону увеличения частоты. Пересечение ранее сформированного участка ЛАХ с очередной линией сопряжения изменяет наклон ЛАХ на -20 дБ/дек, если линия сопряжения помечена 1/ Ti, или на +20 дБ/дек, если линия сопряжения помечена 1/t j. При этом необходимо иметь ввиду, что постоянные времени некоторых звеньев могут совпадать. В этом случае изменение наклона асимптотической ЛАХ будет иметь величину, кратную 20 дБ/дек.

Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам

 

 

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛАЧХ разомкнутой системы пересекала ось частот раньше чем ЛФЧХ линию фазового сдвига –π.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы частота среза располагалась левее точки пересечения ЛФЧХ с линией фазового сдвига –π.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных(снизу вверх) и отрицательных(с верху вниз) переходов фазочастотной характеристики линии фазового сдвига –π равнялась l/2, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Начало характеристики на линии фазового сдвига принимается за 0,5 перехода.

Логарифмический критерий устойчивости позволяет просто определить запасы устойчивости системы по амплитуде.

h1, h2– запас устойчивости системы по амплитуде.

Φ – запас устойчивости системы по фазе.

 

Точность САУ

 

Различают точность, рассматриваемую в переходном процессе - динамическая точность, и точность в установившемся режиме - статическая точность.

Проще всего рассмотреть понятие точности на примере следящей системы. Для этого наилучшим образом применима передаточная функция по ошибке, позволяющая записать сигнал ошибки при любом виде задающего воздействия: e(p) = W_e(p) U^зад(p) + W_ef(p) f(p).

Общий способ повышения точности (в статическом и динамическом режимах) – обеспечение следующих оценок:

W_зс(p) = W(p)/(1+W(p)» 1 - Мера точности воспроизведения задающего воздействия в замкнутой системе.

W_с(p) = 1/(1+W(p)» 0 - Мера малости ошибки слежения

Статическая точность в следящей системе определяется при гармоническом входном воздействии с использованием передаточной функции по ошибке. e(p) = W_c(p) U^зад(p), W_c(p) = 1/(1+W(p)).

Один из основных способов повышения точности - увеличение коэффициента k разомкнутой системы. Однако это не значит, что можно таким образом достичь любой желаемой точности. При чрезмерном увеличении k возможна потеря устойчивости замкнутой системы. Повышение точности всегда приводит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде.

Динамическая точность относится к более сложным задачам анализа систем, т.к. требует изучения всего переходного процесса. Для повышения динамической точности системы обычно используется принцип комбинированного управления по задающему воздействию (принцип инвариантности).

Добавим в стандартную структуру системы дополнительную передаточную функцию Y(p)» 1/(W(p)W_oc(p)) так, чтобы сигнал ошибки вообще не зависел от задающего воздействия. Это можно выполнить введением в систему дополнительной ветви прохождения сигнала, и подобрать коэффициент передачи в этой ветви так, чтобы компенсировать нежелательный сигнал.