Временные характеристики САУ

Временные характеристики САУ

 

Временной характеристикой системы называется закон изменения выходной величины в функции времени при изменении входного воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения воздействия система находилась в покое. Временные характеристики определяются как реакция системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях.

К основным временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса.

Типовые воздействия. В качестве типовых воздействий при исследовании систем используются:

– единичная функция;

– единичный импульс;

– линейно – растущее воздействие;

– квадратичное воздействие;

– гармоническое воздействие.

Переходная функция. Переходная функция h(t) – реакция системы на единичное воздействие при нулевых начальных условиях.

Весовая функция. Весовая функция k(t) – реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Методы определения временных характеристик

1. Классический метод (основан на решении дифференциальных уравнений).

2. Операторный метод, использующий разложение на простые дроби.

3. Операторный метод, использующий вычеты.

4. Метод аналогового и цифрового моделирования.

5. Метод трапеций.

Интегрирующее звено

 

Звено описывается уравнением .

Или в другой форме записи , откуда и получилось название звена. В идеальном интегрирующем звене выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной или скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине звена.

Передаточная функция звена . Его частотные и временные функции имеют следующий вид:

Примерами интегрирующего звена являются: резервуар, наполняемый жидкостью; электродвигатель постоянного тока; гидроцилиндр с распределительным золотником, операционный усилитель в режиме интегрирования.

Переходная функция (а) и дельта-функция (б) интегрирующего звена

 

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с отрицательной частью оси мнимых.

 

Построение ЛАХ выполняется по выражению . Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, пересекающую ось нуля децибел при частоте среза w _ср = k. ЛФХ представляет собой прямую y = – 90°, параллельную оси частот.

Апериодическое звено

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается уравнением (4.3).Передаточная функция этого звена .

Одним из примеров апериодического звена является RL –цепь, где входной величиной является напряжение U ₁, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U ₂ на сопротивлении R.

Переходная функция звена найдется как решение уравнения (4.3) при x ₁ = 1 и начальном условии x ₂ = 0 при t = 0.

Отрезок, отсекаемый касательной к кривой, в любой точке кривой на асимптоте равен постоянной времени T. Видно, что чем больше постоянная времени звена, тем больше длится переходный процесс, то есть медленнее устанавливается статическое значение x ₂ = k на выходе звена.

Его частотные функции имеют следующий вид:

АФЧХ для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи звена k. Величина постоянной времени звена Т определяет распределение отметок w вдоль кривой.

ЛАХ, ЛФХ:

Колебательное звено

 

Передаточная функция колебательного звена имеет вид:

где K – коэффициент передачи; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T > 0); ξ – коэффициент (декремент) затухания, который характеризует рассеяние энергии в звене (0 < ξ < 1).

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка: T²·d²у(t)/dt² + 2T ξ·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)

Примером колебательного звена является электрический колебательный контур, груз на пружине, маятник, стрелочный прибор.

Переходная характеристика колебательного звена имеет вид:

h(t) = L^-1[W(s)/s)] = L^-1[K/[s·(T²s² + 2T ξs +1)]]

Принципиальное отличие ЛАХ колебательного звена от ЛАХ инерционных звеньев состоит в том, что в районе сопрягающей частоты ω_с = 1/T имеется максимум (так называемый "горб"), из-за чего поведение асимптотической ЛАХ в этой области может существенно отличаться от истинной. Это явление называется резонансом.

Точность САУ

 

Различают точность, рассматриваемую в переходном процессе - динамическая точность, и точность в установившемся режиме - статическая точность.

Проще всего рассмотреть понятие точности на примере следящей системы. Для этого наилучшим образом применима передаточная функция по ошибке, позволяющая записать сигнал ошибки при любом виде задающего воздействия: e(p) = W_e(p) U^зад(p) + W_ef(p) f(p).

Общий способ повышения точности (в статическом и динамическом режимах) – обеспечение следующих оценок:

W_зс(p) = W(p)/(1+W(p)» 1 - Мера точности воспроизведения задающего воздействия в замкнутой системе.

W_с(p) = 1/(1+W(p)» 0 - Мера малости ошибки слежения

Статическая точность в следящей системе определяется при гармоническом входном воздействии с использованием передаточной функции по ошибке. e(p) = W_c(p) U^зад(p), W_c(p) = 1/(1+W(p)).

Один из основных способов повышения точности - увеличение коэффициента k разомкнутой системы. Однако это не значит, что можно таким образом достичь любой желаемой точности. При чрезмерном увеличении k возможна потеря устойчивости замкнутой системы. Повышение точности всегда приводит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде.

Динамическая точность относится к более сложным задачам анализа систем, т.к. требует изучения всего переходного процесса. Для повышения динамической точности системы обычно используется принцип комбинированного управления по задающему воздействию (принцип инвариантности).

Добавим в стандартную структуру системы дополнительную передаточную функцию Y(p)» 1/(W(p)W_oc(p)) так, чтобы сигнал ошибки вообще не зависел от задающего воздействия. Это можно выполнить введением в систему дополнительной ветви прохождения сигнала, и подобрать коэффициент передачи в этой ветви так, чтобы компенсировать нежелательный сигнал.

Временные характеристики САУ

 

Временной характеристикой системы называется закон изменения выходной величины в функции времени при изменении входного воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения воздействия система находилась в покое. Временные характеристики определяются как реакция системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях.

К основным временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса.

Типовые воздействия. В качестве типовых воздействий при исследовании систем используются:

– единичная функция;

– единичный импульс;

– линейно – растущее воздействие;

– квадратичное воздействие;

– гармоническое воздействие.

Переходная функция. Переходная функция h(t) – реакция системы на единичное воздействие при нулевых начальных условиях.

Весовая функция. Весовая функция k(t) – реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Методы определения временных характеристик

1. Классический метод (основан на решении дифференциальных уравнений).

2. Операторный метод, использующий разложение на простые дроби.

3. Операторный метод, использующий вычеты.

4. Метод аналогового и цифрового моделирования.

5. Метод трапеций.

Интегрирующее звено

 

Звено описывается уравнением .

Или в другой форме записи , откуда и получилось название звена. В идеальном интегрирующем звене выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной или скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине звена.

Передаточная функция звена . Его частотные и временные функции имеют следующий вид:

Примерами интегрирующего звена являются: резервуар, наполняемый жидкостью; электродвигатель постоянного тока; гидроцилиндр с распределительным золотником, операционный усилитель в режиме интегрирования.

Переходная функция (а) и дельта-функция (б) интегрирующего звена

 

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с отрицательной частью оси мнимых.

 

Построение ЛАХ выполняется по выражению . Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, пересекающую ось нуля децибел при частоте среза w _ср = k. ЛФХ представляет собой прямую y = – 90°, параллельную оси частот.

Апериодическое звено

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается уравнением (4.3).Передаточная функция этого звена .

Одним из примеров апериодического звена является RL –цепь, где входной величиной является напряжение U ₁, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U ₂ на сопротивлении R.

Переходная функция звена найдется как решение уравнения (4.3) при x ₁ = 1 и начальном условии x ₂ = 0 при t = 0.

Отрезок, отсекаемый касательной к кривой, в любой точке кривой на асимптоте равен постоянной времени T. Видно, что чем больше постоянная времени звена, тем больше длится переходный процесс, то есть медленнее устанавливается статическое значение x ₂ = k на выходе звена.

Его частотные функции имеют следующий вид:

АФЧХ для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи звена k. Величина постоянной времени звена Т определяет распределение отметок w вдоль кривой.

ЛАХ, ЛФХ:

Колебательное звено

 

Передаточная функция колебательного звена имеет вид:

где K – коэффициент передачи; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T > 0); ξ – коэффициент (декремент) затухания, который характеризует рассеяние энергии в звене (0 < ξ < 1).

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка: T²·d²у(t)/dt² + 2T ξ·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)

Примером колебательного звена является электрический колебательный контур, груз на пружине, маятник, стрелочный прибор.

Переходная характеристика колебательного звена имеет вид:

h(t) = L^-1[W(s)/s)] = L^-1[K/[s·(T²s² + 2T ξs +1)]]

Принципиальное отличие ЛАХ колебательного звена от ЛАХ инерционных звеньев состоит в том, что в районе сопрягающей частоты ω_с = 1/T имеется максимум (так называемый "горб"), из-за чего поведение асимптотической ЛАХ в этой области может существенно отличаться от истинной. Это явление называется резонансом.