Задача отсечения в компьютерной графике

 

Если изображение выходит за пределы экрана, то на части дисплеев увеличивается время построения за счет того, что изображение строится в "уме". В некоторых дисплеях это приводит к искажению изображения. Поэтому требуется выполнения отсечения сцены по границам окна видимости.

 

Сплайны в компьютерной графике

Один из наиболее эффективных (по качеству получаемого результата и вычислительным затратам) методов решения этой задачи – применение сплайнов. Сплайн - это очень гладкая кривая. Математически гладкость кривых выражается в терминах непрерывности параметрических представлений x(t) и y(t) и их производных.

x(t) = a₀+ a₁t + a₂t² + a₃t³;

y(t) = b₀+ b₁t + b₂t² + b₃t³.

Доказательство гладкости кубических сплайнов

Кривые типа В-сплайна (кубический сплайн) обеспечивают получение более гладких кривых, чем другие способы сглаживания, за счет того, что получаемые кривые не проходят точно через заданные точки.

Для определения свойств кривой в точках стыковки двух сегментов рассмотрим функцию x(t) и ее первую и вторую производные для значений t=0 и t=1. Функция y(t) будет обладать аналогичными свойствами.

x(0) = a₀ = (x_i-1 + 4x_i + x_i+1)/6;

x(1) = a₀ +a₁ +a₂ + a₃ = (x_i + 4x_i+1 + x_i+2)/6.

То есть значение x(0) не равно в точности x-координате x_i точки P_i: оно зависит от позиций точек P_i-1 и P_i+1. Поэтому опорные точки не лежат на кривой – это точки притяжения (управляющие точки), которые задают форму кривой, обеспечивая ее гладкость.

Кривые Безье в компьютерной графике

Кривые Безье описываются в параметрической форме: x(t)=P_x(t), y(t)=P_y(t).

Значение t выступает как параметр, которому соответствуют координаты некоторой точки линии.

Рассмотрим кривые Безье первых трех степеней. Кривая Безье первой степени (m=1) строится по двум управляющим точкам P₀ и P₁ и вырождается в отрезок прямой линии, так как полином первой степени линеен:

P(t) = (1-t)·P₀ +t·P₁.

Кривая Безье второй степени (m=2) строится по трем управляющим точкам P₀, P₁, P₂ и представляет собой кривую второго порядка:

P(t) = (1-t)²·P₀ +2t·(1-t) ·P₁ +t²·P₂.

Кривая Безье третьей степени (m=3) строится по четырем управляющим точкам P₀, P₁, P₂, P₃ и представляет собой кривую третьего порядка. Она используется в КГ наиболее часто, так как является очень гладкой и не требует очень больших вычислительных ресурсов для построения:

P(t) = (1-t)³·P₀ + 3t²·(1-t)·P₁ +3t·(1-t)² ·P₂ +t³·P₃.

Кривая Безье обладает полезными свойствами:

1) является гладкой;

2) начинается в точке P₀ и заканчивается в точке P_n (первая и последняя из заданных управляющих точек), касаясь при этом отрезков P₀P₁ и P_n-1P_n ломаной линии, построенной через управляющие точки;

3) целиком лежит в выпуклой оболочке, образованной ломаной линией, построенной через управляющие точки.

Основные недостатки кривой Безье:

1) степень функциональных коэффициентов напрямую связана с количеством точек в заданном наборе (на единицу меньше);

Фракталы в компьютерной графике

Фрактал можно определить как объект сложной формы, получающийся в результате выполнения простого итерационного цикла. Итерационность, рекурсивность обусловливают такое свойство фракталов, как самоподобие – отдельные части похожи на весь фрактал в целом. Понятия фрактал и фрактальная геометрия применяются для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур.

Различают несколько видов фракталов:

1) системы итерируемых функций обозначают метод получения фрактальных структур в виде системы функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое;

2) алгебраические фракталы получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных (обычно двухмерных) пространствах;

3) геометрические фракталы получают с помощью некоторой ломаной линии; за один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на исходную ломаную в уменьшенном масштабе, и в результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал;

4) стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо параметры; при этом получаются объекты очень похожие на природные: несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

Алгоритм построения множества Мандельброта: z_k+1 = z²_k + z₀

множество Жюлиа: z₀ = q; z_k+1= z²_k + c.

Обработка растровых изображений: изменение резкости, тиснение

При использовании алгоритма увеличения резкости подчеркиваются различия между цветами смежных пикселей и выделяются незаметные детали. Увеличение резкости достигается точно так же, как и размывание, за исключением того, что используется другое ядро, так как цель преобразования - ­увеличить, а не уменьшить четкость изображения. В ядре резкости центральный коэффициент больше 1, а окружен он отрицательными числами, сумма которых на единицу меньше центрального коэффициента. Таким образом, увеличивается любой существующий контраст между цветом пикселя и цветами его соседей. При обработке каждого пикселя в изображении используется ядро резкости G размером 3x3:

G =

-0,1 -0,1 -0,1

-0,1 1,8 -0,1

-0,1 -0,1 -0,1

.

Как и прежде, красная, зеленая и синяя цветовые составляющие обрабатываются отдельно и позже объединяются, чтобы сформировать 24-битное значение цвета.

Алгоритм тиснения преобразует изображение так, что объекты сцены выглядят выдавленными на металлической поверхности, подобно чеканке на монетах. Тиснение выполняется почти так же, как размывание и увеличение резкости. Каждый пиксель обычного цветного изображения обрабатывается ядром тиснения T размером 3x3. Несколько возможных вариантов ядра тиснения:

T1=

-1 -2 -1

; T2=

-1 -1 -1

-1 -1

-1 -1 -1

; T3=

-1

-1 -1

-1

.

 

В отличие от ядер размывания и резкости, в которых сумма коэффициентов равна 1, сумма весов в ядре тиснения равна 0. Это означает, что фоновым пикселям (тем, которые не находятся на границах перехода от одного цвета к другому) присваиваются нулевые значения, а нефоновым - значения, отличные от нуля. То есть если все девять пикселей, находящихся в области матрицы тиснения, имеют одинаковые визуальные свойства, то значение центрального пикселя после преобразования станет нулевым (черный цвет).

Обработка растровых изображений: акварелизация

В алгоритме акварелизации акварельный фильтр преобразует исходное изображение так, что после обработки оно выглядит выполненным акварелью.

Первый шаг в применении акварельного фильтра - сглаживание цветов в изображении. Один из способов сглаживания - процесс медианного осреднения цвета в каждой точке. Значения цвета каждого пикселя и его 24 соседей помещаются в список и сортируются от меньшего к большему. Медианное (тринадцатое) значение цвета в списке присваивается центральному пикселю. Возможно также применение медианного фильтра M, выполняющего ту же операцию:

M=

1 16

.

Второй шаг после сглаживания цветов - обработка каждого пикселя в изображении ядром резкости G для выделения границы переходов цветов:

G=

-0,5 -0,5 -0,5

-0,5 5,0 -0,5

-0,5 -0,5 -0,5

.

Уровни подобия моделей в компьютерной графике

Существует три уровня подобия:

1. Физическое подобие: изображение по основным физическим характеристикам повторяет оригинал. Устанавливается на уровне трех групп характеристик:

а) геометрические (совпадают пропорции);

б) цветовые и яркостные;

в) временные (для движущихся объектов).

При физическом подобии все параметры изображения должны полностью соответствовать параметрам оригинала либо быть пропорциональны им.

2. Психофизическое подобие: соответствие на уровне зрительных ощущений. В силу ограниченных возможностей зрительного аппарата наблюдатель при некотором уровне искажений не может ощутить разницы между синтезированным изображением и оригиналом, т.к. зрительные ощущения идентичны, хотя яркость, форма и цвет одноименных участков не одинаковы.

3. Психологическое подобие: по общему восприятию изображение и оригинал являются сходными; изображение дает наблюдателю вполне определенные суждения о реальном объекте или сюжете, хотя синтезированное изображение и оригинал значительно различаются по физическим характеристикам.