Класифікація ізольованих особливих точок ф-ї.

Якщо ф-я аналітична в крузі з виколотим центром і неаналітична в точці , то така точка називається ізольованою особливою точкою цієї ф-ї.

Ізольована особлива точка ф-ї називається усувною особливою точкою, якщо ряд Лорана в області для такої ф-ї не містить від’ємних степенів.

Ізольована особлива точка ф-ї називається полюсом n-го порядку, якщо ряд Лорана для цієї функції в області містить скінчену кількість від’ємних степенів найвищим з яких є .

Ізольована особлива точка ф-ї називається істотно особливою, якщо ряд Лорана для цієї ф-ї в області містить нескінченну кількість від’ємних степенів.

Ряд Лорана. Теорема про розвинення ф-ї в кільці.

Ряд вигляду називається рядом Лорана в околі точки або по степенях , при цьому ряд Лорана є сумою рядів:

- правильна частина ряду Лорана;

- головна частина ряду Лорана.

Ряд Лорана вважається збіжним в точці , якщо одночасно існують границі:

Форма області збіжності ряду Лорана визначається тим, що його правильна частина є збіжною у крузі , а головна частина у зовнішності круга . Таким чином обл. збіжності ряду Лорана є кільце з центром в точці внутрішній радіус якого а зовнішній . Якщо то обл. збіжності такого ряду не досліджується.

Частинними випадками є:

обл. збіжності являє собою круг з виколотим центром;

обл. збіжності являє собою зовнішність круга.

Теорема: Нехай ф-я є однозначною та аналітичною в кільці тоді ця ф-я може бути представлена у вигляді суми ряду Лорана: , де

- коло концентричне з даним кільцем.

Означення лишку аналітичної функції в ізольованій особливій точці. Обчислення лишків в особливих точках.

Означення: Лишком аналітичної функції називається коефіцієнт її Лоранівського розкладу.

Лишки обчислюються в залежності від класифікації особливих точок:

Якщо точка аналітичності або усувна особлива точка, то лишок нульовий.

Якщо точка є простим полюсом, то лишок обчислюється наступним чином: . У випадку якщо ф-я має наступний вигляд , то лишок можна обчислити за формулою , де

, , .

Якщо точка є полюсом порядку , то лишок обчислюється наступним чином:

Якщо є істотно особлива точка, то лишок має наступний вигляд.

Означення функції-оригіналу. Означення перетворення Лапласа. Теорема існування. Необхідна умова існування зображення.

Ф-я називається оригіналом, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

- неперервна при за винятком можливо скінченої кількості точок розриву першого роду на кожному скінченому інтервалі

існують такі числа , що

Означення: інтегральний оператор, який переводить функцію-оригінал у функцію-зображення , визначену за допомогою інтеграла Лапласа () називається оператором або перетворенням Лапласа.

Теорема проіснування зображення. Для всякого оригіналу зображення існує в півплощині , де -показник росту функції , причому ф-я є аналітична в цій півплощині ()

Доведення першої частини теореми. Нехай довільна точка півплощини .

Враховуючи що знаходимо: = ,

Так як і Таким чином . Звідси випливає абс. Збіжність інтегралу , тобто зображення існує і однозначне в півплощині .

Необхідна умова існування зображення. Якщо ф-я являє собою зображення ф-ї , то при . Це твердження витікає безпосередньо з нерівності , коли . Так як -аналітична ф-я в півплощині , то при по любому напрямку.

Властивості перетворення Лапласа

лінійність: нехай , тоді - випливає з лінійності інтеграла

подібність: нехай , тоді

Доведення:

Властивості перетворення Лапласа

диференціювання оригіналу:

Доведення:

диференціювання зображення:

Доведення:

Властивості перетворення Лапласа

інтегрування оригіналу:

інтегрування зображення: - випливає з властивості диференціювання зображення.

Властивості перетворення Лапласа

зсуву: нехай

Доведення:

запізнення:

Доведення:

Теорема Бореля. Згортка функцій. Зображення згортки.

Теорема Бореля: Зображення згортки оригіналів дорівнює добутку їх зображень.

Інтеграл вигляду називають згорткою функцій та і позначають . Зображення згортки ф-й відповідно до теор. Бореля:

Згортка ф-й має властивість комутативності та асоціативності.