Бинарные отношения. Карты безразличия.

От­ношение слабое упорядочение. Поскольку отношение ~ транзитивно, оно является отношением эквивалентности (транзитивным, симметричным, рефлексивным) и, следовательно, может быть использовано для разделения множества Х на классы эквивалентности или классы безразличия. Такие классы представляют собой непустые множества из Х: если А и В - два различных класса и х лежит в А, а у - в В, то x~у тогда и только тогда, когда А=В; если же х у, то х' у' для любого х' из А и каждого у' из В. Классы безразличия представляют собой кривые, на каждой из которых любые две точки находятся в отношении безразличия, а предпочтение возрастает по мере удаления от начала координат. Поскольку кривые имеют отрицательный наклон, то с уменьшением x₁ должно увеличиваться x₂, чтобы сохранялось отношение безразличия вдоль кривой. Эти кривые называют также кривыми обмена или траекториями безразличия.

 

Полезность. Ф-я полез. u(x). Совершенная ф-я полез. u(x).

Определение. u - вещественная функция, на Х. Функция u называется функцией полезности для отношения предпочтения на Х, если u(х)>u(у) для любых х и у, таких, что х у.

Определение. u называется совершенной функцией полезности для: отношения на Х, если для всех х и у из Х справедливо неравенство u(х)>u(у) тогда и только тогда, когда х у.

Отношение на Х может существовать, если только отношение является слабым упорядочением, и пусть для этого отношения определена совершенная функция полезности u; тогда x~у, если и только если u(х)=u(у). Отсюда следует, что классы безразличия в X совпадают с подмножеством альтернатив, имеющих равную полезность. В этом случае классы безразличия называют также контурами равной полезности.

Совершенная функция полезности существует для отношения на Х тогда и только тогда, когда отношение - слабое упорядочение на Х, и кроме того, в Х существует исчислимое подмножество, которое является - плотным в Х.

 

Т-я ожид. полез. Лин-я ф-я полез u(p). Сов-я ф-я полез u(p).

Вещественная функция u, заданная на множестве Р, является функцией полезности для отношения на Р, если u(р)>u(q) для всех р q и u - совершенная функция полезности для отношения на Р, если для всех р и q из Р неравенство u(р)>u(q) справедливо тогда и только тогда, когда р q. Наличие определенных свойств у Р приводит к тому, что функция u обладает свойством линейности, т.е.: u( р+(1- )q)= u(р)+(1- ) u(q) для всех , лежащих между 0 и 1, и для всех р и q, принадлежащих Р. Аналогично, если u - совершенная функция полезности, которая удовлетворяет равенству, то она называется совершенной линейной функцией полезности.

 

Т-я ожидаемой полез. Связь между полез альтернативы u(p) с ожидаемой полез для исходов v(x).

Введем в рассмотрение дополнительную (вспомогательную) функцию v на Х, определяемую следующим образом: v(х)=u(р), когда р(х)=1. Определим отношение так, что х y тогда и только тогда, когда р q при р(х)=q(у)=1; в этом случае v будет функцией полезности для отношения на Х при условии, что u является функцией полезности для отношения на Р. Пусть x₁, x₂,…,x_n - различные элементы множества Х и р(x₁)+р(х₂)+...+р(x_n)=1; Исходя из чего получим u(р)=р(x₁)v(x₁)+…+р(x_n)v(x_n). Согласно этому выражению, полезность р равна математическому ожиданию дополнительной функции V с распределением вероятностей р, заданным на Х. Если рассматривать v(x) как полезность исхода, то выражение (1.6) означает, что полезность некоторой альтернативы (с элементом риска), равна ожидаемой полезности для исходов, которые могут иметь место при использовании этой альтернативы.

 

11. Т-я ожидаемой полезности. Аффинные преобразования совершенных линейных функций полезности u(p) и v(x).

Любое положительное линейное преобразование следующего вида:

u(х)=а+ b(х), b>0,будем называть шкалой полезности для исходов х. Если ЛПР опирается на данные аксиомы, ему надлежит всегда выбирать альтернативы так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность. Согласно аксиомам, не существует других процедур принятия решений. Поскольку максимизация ожидаемой полезности эквивалентна максимизации ожидаемого значения в, произвольный выбор х* и не влияет на фактическое решение.