Перевірка гіпотез про узгодженність

Застосовуючи критерії узгодженості для перевірки відповідності спостережуваного відомого розподілу теоретичному закону, слід розрізняти перевірку простих і складних гіпотез.

Проста перевіряюча гіпотеза має вигляд H₀: F (x) = F (x, θ), де F (x, θ) - функція розподілу ймовірностей, з якої перевіряють узгодженість спостережуваної вибірки, а θ - відоме значення параметра (скалярного або векторного).

Складна перевіряюча гіпотеза має вигляд H₀: F (x) Î {F (x, θ), θ Î }, де - область визначення параметра θ. У цьому випадку оцінку параметра розподілу обчислюють за тією ж самою вибіркою, за якою перевіряють згоду. Якщо оцінку обчислюють за іншою вибіркою, то гіпотеза проста.

У процесі перевірки узгодженості по вибірці обчислюють значення S^* статистики використовуваного критерію. Потім для того, щоб зробити висновок про прийняття або відхилення гіпотези Н₀, необхідно знати умовний розподіл G (S ½ Н₀) статистики S при справедливості Н₀.

У процесі перевірки узгодженості по вибірці обчислюють значення S^* статистики використовуваного критерію. Потім для того, щоб зробити висновок про прийняття або відхилення гіпотези Н₀, необхідно знати умовний розподіл G (S ½ Н₀) статистики S при справедливості Н₀. І якщо ймовірність

P

досить велика, принаймні P {S S^*} α, де (s ½ Н₀) - умовна щільність, а α - рівень значущості (ймовірність помилки 1-го роду - відхилити справедливу гіпотезу Н₀), то прийнято вважати, що немає підстав для відхилення гіпотези Н₀.

Перевірка простої гіпотези

При перевірці узгодженосі відомого розподілу з теоретичним розподілом випадкової величини Х діють наступним чином.

а) Формулюють перевіряючу гіпотезу, вибираючи теоретичний розподіл випадкової величини, узгодженність якого з досвідченим розподілом цієї величини слід перевірити;

б) Із сукупності відбирають випадкову вибірку обсягу n. Отримані результати спостережень розташовують у порядку їх зростання, так, що у розпорядженні мають впорядковану вибірку значень

x₁ ≤ х₂ ≤... ≤ х_n ;

в) У відповідності з обраним критерієм перевірки обчислюють значення статистики S^* критерію (за формулою S_k = );

г) У відповідності з обраним критерієм перевірки обчислюють значення

P ,

де G (s ½ H ₀) - розподіл статистики критерію при справедливості гіпотези H₀. Якщо P {S> S^*} > α, де α - рівень значимості, то немає підстав для відхилення перевіряючої гіпотези. В іншому випадку перевіряючу гіпотезу Н₀ відкидають.

Можна обчислюване значення статистики S^* порівняти з критичним значенням , що визначається з умови . Гіпотезу про узгодженість відкидають, якщо значення статистики потрапляє в критичну область, тобто при S^* > .

Критерій Колмогорова при простій гіпотезі

Порядок перевірки простої гіпотези про узгодженість відомого розподілу з теоретичним - відповідно до пункту 4 перерахування підпунктів а) - г).

У разі обраного критерію Колмогорова:

а) Значення статистики Колмогорова S_к обчислюють за формулою S_k = на підставі формул D_n = max(), при та .

б) Значення ймовірності P {S> S^*_к} = 1 - K(S^*_к) обчислюють за функцією розподілу Колмогорова K(S) = або беруть з таблиці А.1.

в) Критичні значення критерію при заданому можуть бути взяті з табліці А.2.

Критерій Смирнова при простій гіпотезі

Порядок перевірки простої гіпотези про узгодженість відомого розподілу з теоретичним - відповідно до пункту 4 перерахування підпунктів а) - г).

У разі обраного критерію Смирнова:

а) Значення статистики Смирнова S_m обчислюють за формулою S_m = на підставі формул та .

б) Значення ймовірності P {S_m > S^*_m} = обчислюють за функцією - розподілу (з двома ступенями вільності).

в) Гіпотезу H₀ не відкидають, якщо для обчисленого за вибіркою значення статистики S^*_m P {S_m > S^*_m} = .

Перевірка складної гіпотези

При перевірці узгодженості відомого розподілу з теоретичним розподілом випадкової величини X діють наступним чином.

а) Формулюють перевіряючу гіпотезу, вибираючи теоретичний розподіл F(х, θ) випадкової величини, узгодженість якого з відомим розподілом цієї величини слід перевірити.

б) Із сукупності відбирають випадкову вибірку обсягу n. Отримані результати спостережень розташовують у порядку їх зростання, так, що у розпорядженні мають впорядковану вибірку значень .

в) У відповідності з обраним критерієм перевірки, теоретичним розподілом F (x, θ) визначають розподіл статистики критерію G (S ½ H₀) при справедливості гіпотези H₀.

г) Обчислюють значення P .

ж) Якщо P{S > S^*} > α, де α - рівень значимості, то немає підстав для відхилення перевіряючої гіпотези. В іншому випадку перевіряюча гіпотеза H₀ відкидається. Можна обчислене значення статистики S^* порівняти з критичним значенням S_α, обумовленим з умови . Гіпотезу про узгодженість не відкидають, якщо S^* < S_α.