О линейных и нелинейных цепях

Всякая электрическая цепь состоит из элементов активных и пассивных.

Активные – источники энергии (параметры: – внутреннее сопротивление, – ток короткого замыкания).

 

Реальный источник напряжения

 

– напряжение холостого хода (),

– внутреннее сопротивление источника,

– напряжение на нагрузке (на клеммах источника при ),

– идеальный источник.

Источник тока

 

 

 

Выходной ток тем меньше зависит от , чем больше . – идеальный источник.

В зависимости от величины выбирают тот или иной источник.

 

Пассивные – расходуют энергию (сопротивления ) или накапливают (индуктивность и емкость ).

Резистор

Резистор – элемент цепи, выполненной из проводника таким образом, чтобы электрическая энергия максимально преобразовывалась в тепловую

Экспериментально установлено (закон Ома) .

 

в статическом режиме (линейная цепь на постоянном токе).

– дифференциальное сопротивление.

 

 

В СИ единицей измерения сопротивления является Ом, единицей проводимости – сименс (См).

2-ой закон Кирхгоффа

1-ый закон Кирхгоффа

 

;

 

Конденсатор

Конденсатор – элемент цепи, в котором электрическая энергия преобразуется в энергию электрического поля

Заряд на обкладках конденсатора

где – абсолютная диэлектрическая проницаемость, – площадь электрода, – расстояние между электродами.

В проводах возникает ток (при соединении с источником), равный

или

Если , то тока нет.

Индуктивная катушка

Индуктивная катушка – элемент цепи, в котором электрическая энергия преобразуется в энергию магнитного поля

Из физики известно, что

где - индуктивность (коэффициент, связывающий ток с потокосцеплением ).

где – число витков катушки, – поток через площадку, образованную витком катушки.

Для длинной катушки поток, сцепленный с одним витком, пропорционален

где – абсолютная магнитная проницаемость сердечника катушки, – площадь витка катушки, – напряженность поля.

где – длина средней линии сердечника.

Переменный ток вызывает самоиндукции. По закону электромагнитной индукции самоиндукции равна

а напряжение

Для цепи, содержащей , имеем

 

; ;

Частный случай

;

;

;

.

; ; .

– не зависит от частоты.

; ; .

Зависимости от частоты приведены на рисунке

 

Результирующее напряжение получаем при векторном сложении составляющих .

Мощность элементов при синусоидальном токе

– мгновенная мощность;

;

;

.

– с удвоенной частотой.

Энергия в теплоту за время берут равным – средняя за период.

;

.

Для постоянного тока

.

Действующее значение переменного тока
(выделение энергии на сопротивлении)

– действующее значение тока,

– действующее значение напряжения.

Электрическая энергия от источника к .

Емкость

.

заряд (положительная полусфера).

разряд (отрицательная полусфера).

То же с .

 

Амплитуда реактивной мощности

;

.

 

Электрические цепи

1) с постоянными параметрами (параметры неизменны во времени);

2) с переменными параметрами (параметры изменяются по какому-либо закону);

3) с распределенными параметрами и сосредоточенными.

Линейная цепь – это цепь, параметры которой не зависят от режима работы цепи.

Свойства линейных электрических цепей:

1) физические процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями;

2) ВАХ (вольт-амперная характеристика) такой цепи прямолинейна;

3) к линейным цепям применим принцип суперпозиции;

4) каждая практическая линейная цепь искажает форму сигнала;

5) линейная цепь не изменяет спектра сигнала в смысле добавления частот;

Нелинейная цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, параметры которого зависят от приложенного напряжения (тока). (Лампы, транзисторы, диоды…)

 

О переходных процессах

Процессы в ЭВМ протекают с относительно большой скоростью. В основном это переходные процессы, так как они кратковременны.

Накопление энергии в цепи идет с определенной скоростью в зависимости от параметров . Наиболее часто речь идет о заряде (или разряде) паразитной емкости .

Очень важно знать скорость протекания переходного процесса. Переходной процесс характеризуют временной постоянной цепи .

Постоянная времени цепи

Она служит для характеристики режима в цепи, продолжительности переходного процесса.

Постоянная времени – время, в течение которого амплитуда сигнала уменьшится в раз.

Изменение напряжения на одном участке цепи равно изменению напряжения на другом (по модулю), противоположны по знаку. При входном сигнале равном , изменение напряжения на емкости равно изменению напряжения на сопротивлении.

(1)

(2)

(3)

Перепишем с учетом (2) и (3):

Значение найдем из начальных условий. Если заряд происходит от источника , то

 

Напряжение на сопротивлении

 

 

 

Напряжение на емкости

 

 

 

Напряжение на сопротивлении и напряжение на емкости изменяются по закону экспоненты.

Касательная к экспоненте отсекает на оси абсцисс отрезок, численно равный значению временной постоянной цепи .

Длительность переходного процесса определяют на заданном уровне .

или

Если , то ; если , то .

На практике принимают ; переходный процесс длится (3-5) .

Методы анализа цепей

В зависимости от решаемых задач используют

- классический,

- операционный (операторный),

- суперпозиционный,

- дискретных преобразований Лапласа и другие методы.

Наиболее часто – первые три.

Классический метод

Соотношения между напряжением и током в цепи записываются в виде дифференциальных уравнений. При составлении дифференциальных уравнений используют ряд законов и теорем, определяющих связь между i и u в элементах схем. Основные из них

1. Закон Ома

(1)

2. Первый закон коммутации

(2) или (2а)

U_c0 – начальное напряжение на конденсаторе в момент t=0.

2а – говорит, что при любом токе в цепи напряжение на емкости изменяется постепенно, по мере заряда (разряда) емкости, но не скачком.

3. Второй закон коммутации

или

Связывает ток через индуктивность и напряжение на индуктивности. Ток через индуктивность не изменяется скачком.

 

4. Первый закон Кирхгофа

5. Второй закон Кирхгофа

6. Теорема об эквивалентном генераторе

 

Суперпозиционный метод

Трудности анализа наиболее часто определяются не сложностью цепи, а сложностью входного сигнала.

При анализе линейных цепей можно применить принцип суперпозиции. Входной сигнал представляют в виде суммы более простых воздействий, находят отклик системы на каждое воздействие, а потом суммируют все отклики и получают выходной сигнал.

Входной сигнал представляют суммой единичных функций - /интеграл Дюамеля/, - суммой единичных импульсов - метод -функций или функций Дирака. Если используют гармонические функции, то – спектральный анализ.

Единичная функция U(t) = 0 при t<0 и U(t) = 1 при t 0.

Запаздывание

 

 

Перепад на входе составляет 1 В.

Если входной сигнал не равен 1В, то берут или в случае
запаздывания - .

Реакция 4^х –полюсника на 1(t) известна и определяется формой переходной характеристики h(t), которую находят экспериментально или расчётным путём. h(t) отличается от U_вых(t) только размерностью.

1(t) h(t); U_вх(t) U_вых(t)

Сигнал U_вх аппроксимируют ступенчатой функцией вида

(1)

На выходе получаем

(2)

Если , то получаем малые ступеньки, но их число n растет ().

Находим U_вых(t) как

Интеграл Дюамеля.

Операторный метод

Назначение. Для описания переходных процессов в электрических цепях.

Выполняют

1. Переход от действительного переменного t к комплексному переменному , где -действительная часть, -мнимая часть переменной . ()

2. Переход от функции времени U(t) /оригинала/ к функции комплексного переменного U(p) с помощью преобразования Лапласа

Для импульсного сигнала, существующего на отрезке времени

3. Достигают при нулевых начальных условиях U(0)=0 следующего.

Замена операций дифференцирования и интегрирования операциями умножения и деления.

 

Электрическая цепь описывается алгебраическими уравнениями n^го порядка относительно оператора . Эл. Цепь характеризуется операторным коэффициентом К(р).

Находят U_вых(p) как U_вх(р) К(р).

4. переход от изображения U_вых(р) к оригиналу U_вых(t) с помощью обратного преобразования Лапласа.

Часто от U(p) U(t) по таблицам.