Схема Рунге – Кутта 2-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле средних прямоугольников. Уравнение разрешено явно, однако в правой части присутствует неизвестное значение в середине отрезка. Для решения этого уравнения используют следующий способ. Вначале по явной схеме рассчитывают предиктор. После этого рассчитывают корректор. В результате схема оказывается явной и имеет второй порядок.

 

Схема Рунге – Кутта 4-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле Симпсона. Ввиду того, что формула Симпсона имеет четвертый порядок, погрешность метода тоже имеет четвертый порядок. Можно по-разному реализовать расчет неявного уравнения, однако наибольшее распространение получил следующий способ. Вычисляют предикторпо формулам, затем корректор.

Многошаговые схемы Адамса

При построении всех предыдущих схем для вычисления интеграла в правой частииспользовались лишь точки в диапазоне одного шага. Поэтому при реализации таких схем для вычисления следующего значения требуется знать только одно предыдущее значение. Такие схемы называют одношаговыми. Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать уже вычисленные на предыдущих шагах значения в нескольких предыдущих узлах. После интегрирования на интервале [х_к__х, х_к] получим явную экстраполяци­онную схему Адамса. (Экстраполяцией называется получение значений ин­терполяционного многочлена в точках, выходящих за крайние узлы сетки).

 

Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка

Заменив подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона получим новую формулу. Схема двухшаговая, поэтому для начала расчетов необходимо, сделав один шаг, найти по методу Рунге – Кутта 2-го порядка , после чего вычислять оставшиеся значения.

 

Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка

Заменив подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона получим формулу. Схема трехшаговая, поэтому для начала расчетов необходимо, сделав два шага, найти по методу Рунге – Кутта 4-го порядка , , после чего вычислить оставшиеся значения.

 

Неявная схема Адамса 3-го порядка

Заменив подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона получим формулу. Так как схема двухшаговая, то для начала расчетов необходимо, сделав одиншаг, найти y(1) по методу Рунге – Кутта 4-го порядка, после чего y 2, y 3,...вычисляются. Эта формула явно не разрешена относительно y(k),поэтому для получения y(k) требуется использовать итерационную процедурурешения уравнения.Значение y(k,0)следует рассчитать по формуле.

 

Краевая (граничная) задача

Рассмотрим граничную задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами y//+p(x) y/ + q(x) y = f(x) на отрезке [ a, b ] с граничнымиусловиями общего вида. В тех случаях, когда невозможно получить решение этой задачи аналитическим методом, используются приближенные или численные методы. Суть приближенных методов.Выбирается система линейно-независимых дважды дифференцируемых функций, при этом функция должна удовлетворять граничным условиям, Искомое решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций.

 

Метод стрельбы

Сущность метода стрельбы заключается в сведении решения граничной задачи к многократному решению задачи Коши. Введя замену переменных y1(x)=dy/dx, заменим дифференциальное уравнение второго порядка системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: dy/dx = y1,dy1/dx = f(x) – p(x)y1 – q(x)y с граничными условиями общего вида. Задавшись произвольным начальным условием для y(x) из первого уравнения получаем начальное условие для y1(x): y1(a)=(A-1 y0)/1 Система уравнений представляет собой задачу Коши, которая решается одним из ранее рассмотренных методов. Получив в результате решения задачи Коши значения y(b), y1(b) на правом конце отрезка [ a, b ], проверяют, выполнилось ли второе условие, которое может быть представлено в виде F(y0)=2 y(b)+2 y1(b)–B=0. Таким образом граничная задача в итоге сводится к нахождению корня уравнения F(y0)=0 для вычисления правой части которого необходимо решить задачу Коши. Описанный алгоритм называется методом стрельбы, поскольку в нем как бы проводится «пристрелка» по углу наклона интегральной кривой в начальной точке.

 

 

Метод конечных разностей

Сущность метода в том, что он сводит решение граничной задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциальное уравнение их конечно – разностными аппроксимациями.Граничные условия также должны представляться в разностном виде путем аппроксимации производных y/(a), y/(b) помощью конечно-разностных соотношений.предпочтительнее аппроксимировать первые производные со вторым порядком точности. В итоге полученные выражения образуют систему линейных алгебраических уравнений (n+1)- го порядка, решив которую, получают решение граничной задачи в виде значений искомой функции y(x) в узловых точках.