Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения или системы таких уравнений часто используются для построения математических моделей динамических процессов, т. е. процессов перехода физических систем из одного со- стояния в другое, бесконечно близкое. Однако классы решений, для которых разработаны точные решения, довольно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач. В силу этого важное значение имеют приближенные численные методы решения, ориентированные на широкий класс встречающихся на практике дифференциальных уравнений. Известно, что заменой переменных дифференциальное уравнение n -го порядка всегда может быть сведено к эквивалентной системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка. Среди таких систем выделим класс систем, разрешенных относительно производной неизвестных функций. Обычно требуется найти решение системы для значений x из заданного интервала.для выделения одного нужного решения, надо наложить дополнительно m условий на функции. В зависимости от способа постановки дополнительных условий можно выделить два основных типа задач/ краевая (граничная) задача, когда часть условий задается на границе a (при x=a), остальные условия – на границе b (при x=b). Обычно это значения искомых функций на границах; задача Коши (задача с начальными условиями), когда все условия заданы в начале отрезка в виде .

 

ОСНОВНАЯ Ф_ЛА

Основные положения метода сеток для решения задачи Коши

Чаще всего задача Коши решается методом сеток. Суть метода сеток состоит в следующем. В области интегрирования выбирается упорядоченная система точек называемая сеткой. Точки называют узлами, а h – шагом сетки. Если h=b-a/2, сетка называется равномерной. Также существует неравномерная сетка. Решение ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки, для чего дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах. Такая система называется конечно-разностной схемой (интегро-интерполяционный метод). Согласно этому методу для получения конечно-разностной схемы проинтегрируем дифференциальное уравнение на каждом интервале для k=1,2,...,n. получаем, что значение искомой функции в к -ом узле определяется через значение в предшествующем узле с поправкой, выраженной в форме интеграла. Аппроксимируя интеграл одной из квадратурных формул, получаем те или иные формулы относительно приближенных неизвестных значений искомой функции. Структура конечно-разностной схемы для задачи Коши такова, что она устанавливает закон рекуррентной последовательности для искомого решения. При замене интеграла приближенной квадратурной формулой вносится погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным.Таким образом, если имеется аппроксимация и схема устойчива, то, выбрав достаточно малый шаг h, можно получить решение с заданной точностью при этом затраты на вычисления резко уменьшаются с увеличени- ем порядка аппроксимации p.

Явная схема 1-го порядка (метод Эйлера)

Вычисляя интеграл в (23.4) по формуле левых прямоугольников получим: . Погрешность аппроксимации psi (h) и соответственно точность ε(h) имеют первый порядок в силу того, что формула левых прямоугольников на интервале имеет погрешность первого порядка, а схема устойчива.

 

 

Неявная схема 1-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле правых прямоугольников получим . Эта схема явно не разрешена относительно , поэтому для получения требуется использовать итерационную процедуру решения уравнения. За начальное приближение можно взять значение из предыдущего узла. Обычно, если h выбрано удачно, достаточно сделать 2 – 3 итерации для достижения заданной погрешности. Эффективность неявной схемы заключается в том, что у нее константа устойчивости С0 значительно меньше, чем у явной схемы.

 

Неявная схема 2-го порядка

Вычисляя интеграл по формуле трапеций. Так как формула трапеций имеет второй порядок точности, то и погрешность метода имеет второй порядок. Схема явно не разрешена относительно, поэтому требуется итерационная процедура.Обычно, если h выбрано удачно, достаточно сделать 2 – 3 итерации для достижения заданной погрешности. Эффективность неявной схемы заключается в том, что у нее константа устойчивости С0 значительно меньше, чем у явной схемы.