Изменение поля по радиусу принято характеризовать показателем спада поля

.

Таким образом, для устойчивости движения в вертикальном (аксиальном) направлении необходимо выполнение условия n > 0, т.е. чтобы поле убывало с увеличением радиуса. Движение в радиальном направлении определяется соотношением между силой действия на частицу магнитного поля eBu /c и центростремительной силой m u² /R, соответствующей радиусу R. На равновесной орбите обе эти величины равны. Если частица с той же скоростью случайно оказалась на большем радиусе, то для обеспечения устойчивости в радиальном направлении нужно, чтобы сила действия магнитного поля на этом радиусе eB u /c была больше, чем m u² /R, т. е. чтобы магнитное поле уменьшалось медленнее, чем 1/ R. Тот же вывод получается, если рассмотреть случайное отклонение частицы в сторону меньших радиусов. Следовательно, условие устойчивости в радиальном направлении налагает ограничение на скорость убывания магнитного поля: показатель спада поля n должен быть меньше 1 (n < 1). Для одновременной устойчивости в радиальном и вертикальном направлениях должно выполняться условие:

0 < n < 1. (4)

Можно показать, что силы фокусировки, действующие по радиусу и по вертикали, получаются при этом равными:

FR--=-----(1-n)--m--w2DR,

------------FZ--=-----n--mЧw2Dz, --(5)

где m -- масса, w -- угловая скорость обращения частицы, D R и D z -- отклонения частицы от равновесной орбиты по радиусу и по вертикали. Под действием этих фокусирующих сил частицы совершают колебания (т.н. бетатронные колебания) вокруг равновесной орбиты с частотами:

, (6)

Эти частоты меньше частоты обращения w, т.е. за оборот частица совершает меньше одного бетатронного колебания. Фокусирующие силы ограничены предельно допустимыми значениями n. Такая фокусировка называется однородной, или слабой.

Для того чтобы увеличить фокусирующую силу по вертикали, надо применить сильно спадающее поле (n > 1). Напротив, для получения большой фокусирующей силы по радиусу надо применить поле с большими отрицательными значениями n (т.е. сильно возрастающее по радиусу). Эти требования одновременно несовместимы. Однако оказывается, что при определённых ограничениях их можно реализовать поочерёдно, обеспечив тем самым сильную фокусировку и по радиусу, и по вертикали. На этом основан принцип знакопеременной фокусировки (рис. 3). Вся длина равновесной орбиты разбивается на большое число одинаковых периодов, в которых устанавливаются магниты, сильно фокусирующие попеременно то по радиусу, то по вертикали. При определённом соотношении между значениями показателя спада магнитного поля, длиной магнитов и числом периодов такая система обладает сильным фокусирующим действием по обоим поперечным направлениям. Физически это объясняется тем, что в фокусирующих магнитах частица оказывается дальше от равновесного положения, чем в дефокусирующих (т.к. предшествующий дефокусирующий магнит отклонил её от орбиты), поэтому действие фокусирующих магнитов сильнее действия дефокусирующих. Частота колебаний частиц при такой фокусировке получается существенно выше частоты обращения, так что за один оборот частица совершает несколько колебаний. Увеличение фокусирующей силы приводит к уменьшению амплитуды колебаний частиц под действием различных раскачивающих факторов, что позволяет уменьшить поперечные размеры вакуумной камеры и магнитов, а, следовательно, существенно уменьшить вес и стоимость установки. Поэтому во всех крупных циклических ускорителях на большие энергии применяется знакопеременная (сильная) фокусировка. Неприятная особенность сильной фокусировки -- наличие многочисленных резонансов, обусловленных большой частотой колебаний частиц: если число колебаний частицы по вертикали или по радиусу за один полный оборот частицы или их сумма или разность оказываются целыми или полуцелыми числами, то происходит резонансная раскачка колебаний. В связи с этим необходимо предъявлять большие требования к точности изготовления магнитов.

Рис. 3. Схема расположения магнитов в сильнофокусирующем ускорителе: Д -- магниты, дефокусирующие по радиусу (n >> 1), Ф -- фокусирующие по радиусу (n << -1); пунктирная кривая -- орбита неотклонённой частицы (равновесная орбита), сплошная кривая -- орбита отклонённой частицы.

Знакопеременная фокусировка магнитным полем применяется и в линейных ускорителях с той разницей, что на равновесной орбите (прямая) магнитное поле равно нулю. Система фокусировки представляет собой в этом случае набор магнитов (магнитных квадрупольных линз), создающих магнитное поле, равное нулю на оси О системы и линейно нарастающее при отклонении от оси (рис. 4). В одной плоскости магниты фокусируют частицы (сила F направлена к оси), в другой -- дефокусируют (F направлена от оси). Эти плоскости фокусировки чередуются от магнита к магниту, что и приводит к знакопеременной фокусировке.

Рис. 4. Поле магнитной квадрупольной линзы: N, S -- северный и южный полюсы магнита, F -- сила действия магнитного поля на частицу, движущуюся перпендикулярно плоскости рисунка (в центре О F = 0).

При малых энергиях частиц наряду с магнитной фокусировкой применяется (как в циклических, так и в линейных ускорителях) фокусировка электрическим полем, для чего используется ускоряющее электрическое поле установки. Принцип фокусировки пояснён на рис. 5. В обычном ускоряющем зазоре электрическое поле обычно «провисает» внутрь в центре зазора. Поэтому в первой части зазора оно имеет составляющую, направленную к оси зазора (фокусирующую), во второй -- от оси зазора (дефокусирующую). Результирующий фокусирующий эффект получается, если фокусирующее действие оказывается больше дефокусирующего. Поскольку частица, проходя зазор, ускоряется, то во второй части зазора она летит быстрее, т. е. находится там меньшее время, чем в первой, поэтому фокусирующее действие преобладает. Этот эффект, основанный на изменении скорости частицы, называется электростатической фокусировкой. Он имеет заметную величину лишь для малых скоростей частиц, так что его применение в ускорителях ограниченно. Разность действия электрического поля в первой и во второй части зазора может быть обусловлена также изменением электрического поля во времени (электродинамическая фокусировка): если за время пролёта электрическое поле уменьшается, то дефокусирующее действие оказывается меньше фокусирующего. Фокусировка такого типа имеет место в циклотроне и фазотроне как дополнительный фактор к магнитной фокусировке. Однако в линейных ускорителях протонов устойчивой является отрицательная фаза j₀ (см. выше), при которой поле растет со временем. Поэтому в линейных ускорителях электрическое поле дефокусирует и нужны специальные дополнительные меры для фокусировки частиц.

Рис. 5. Распределение электрического поля в ускоряющем зазоре между электродами А и В; Fx, Fy -- продольная и поперечная составляющие силы F, действующей на частицу.

Можно и к электрическому полю применить принцип знакопеременной фокусировки. Например, с помощью электродов сложной формы можно обеспечить изменение знака фокусирующей силы от зазора к зазору или, меняя от зазора к зазору знак равновесной фазы, можно получить систему со знакопеременной фокусировкой и знакопеременной фазировкой. Такие системы были предложены и разработаны, но они имеют весьма ограниченное применение.

При больших интенсивностях ускоряемых пучков начинает сказываться взаимодействие между отдельными частицами пучка; расталкивание по закону Кулона одноимённо заряженных частиц приводит к ослаблению фокусирующих сил. В циклическом ускорителе испускаемое частицами электромагнитное излучение (т.н. синхротронное излучение, см. ниже) также может вызвать неустойчивость движения. В различных ускорителях взаимодействие заряженных частиц сказывается по-разному, но почти всегда именно оно определяет предельно достижимую интенсивность (наряду с ним иногда оказывается определяющей мощность, необходимая для ускорения пучка).