Тема 2. Анализ резистивных цепей

ТЕМА 2. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

 

2.1. Основные принципы, теоремы и преобразования линейных электрических цепей

2.2. Методы анализа резистивных цепей по уравнениям

2.2.1. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока

2.2.2. Метод непосредственно применения законов Кирхгофа

2.2.3. Метод контурных токов

2.2.4. Метод узловых потенциалов

2.2.5. Метод суперпозиции (наложения)

2.2.6. Метод эквивалентного генератора

2.3. Матричные методы анализа электрических цепей

2.3.1. Матрично-топологический метод анализа электрических цепей

2.3.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа в матрично-топологической форме

2.3.3. Матрично-топологическая форма метода контурных токов

2.3.4. Матрично-топологическая форма метода узловых потенциалов

 

2.1. Основные принципы, теоремы и преобразования линейных электрических цепей

Принципы (свойства)

1. Принцип наложения (суперпозиции) – ток в каждой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждым из источников (э.д.с. и токов) схемы в отдельности.

Принцип справедлив для всех линейных электрических цепей

2. Принцип взаимности (Максвелла) – ток в каждой ветви I_k вызванный единственным источником э.д.с. e, включенным в i-ю ветвь, равен току в i-ой ветви при включении этого же источника в каждую ветвь.

e

e

Цепи, для которых выполняется принцип взаимности называются взаимными, обратимыми.

Нелинейные цепи – необратимые.

3. Принцип линейности – две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейным соотношением вида y=a+bx независимо от изменения э.д.с. (тока) источника или сопротивления в какой-либо одной ветви.

Линейное соотношение между двумя любыми величинами двух любых ветвей не зависит от изменения э.д.с., тока источника тока или сопротивления в какой-либо третьей ветви.

I₁=a+b·I₂,

 

Теоремы

1. Теорема компенсации – токораспределение в электрической цепи не изменится, если любой пассивный элемент цепи заменить источником э.д.с., величина э.д.с. которого равна напряжению на этом элементе, а направление противоположно току в этом элементе.

2. Теорема об эквивалентном источнике (теорема об активном двухполюснике) – активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источником, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода двухполюсника, а внутреннее сопротивление – входному сопротивлению двухполюсника.

Активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником тока, ток которого равен току короткого замыкания двухполюсника, а внутренняя проводимость – входной проводимости двухполюсника.

 

 

3. Теорема вариации (теорема о взаимных приращениях)

Изменение токов в ветвях, обусловленное изменением сопротивления какой-либо ветви электрической цепи на величину ±DR, будет таким же как при действии в этой ветви э.д.с., направленной противоположно первоначальному току этой ветви и равной по величине и знаку ±DR (I+DI).

I-й вариант II-й вариант

Эквивалентные преобразования

1. Преобразование звезда - треугольник YÞÑ и треугольник – звезда ÑÞΥ.

2. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники э.д.с. и источники тока, одной эквивалентной.

 

 

3. Преобразования источников электрической энергии.

Методы анализа резистивных цепей по уравнениям

Линейные цепи – параметры (R, L, C, M) элементов схемы замещения не зависят от величины и направления протекающих к ним напряжений.

Задачи теории электрических цепей делятся на задачи анализа и задачи синтеза.

Анализ – расчет электрических процессов в заданных электрических цепях, т.е. с заданной структурой и заданными характеристиками всех элементов цепи.

Синтез – отыскание структуры цепи и характеристика ее элементов при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданным закономерностям.

 

Алгоритм расчета

1. Путем последовательных упрощений с помощью эквивалентных преобразований рассчитывают эквивалентное сопротивление цепи.

В результате получают неразветвленную электрическую цепь с одним источником и эквивалентным сопротивлением цепи.

2. Определяют ток через источник при помощи закона Ома для полной цепи

.

3. Используя полученное значение тока через источник питания определяют токи во всех ветвях цепи.

4. Для проверки правильности расчета цепи составляют энергетический баланс цепи (или строят потенциальную диаграмму для любого контура).

Примечание.

1. Если цепь питается от источника тока, то расчет ведут по п.3, 4.

2. В случае сложно разветвленной цепи необходимо воспользоваться

эквивалентным преобразованием:

ÑÞΥ и YÞÑ.

Преобразование YÞÑ

Преобразование ÑÞΥ

 

Пример 1

Проверка:

 

Пример 2

Проверка:

 

Пример 3

Используется преобразование звезда – треугольник YÞÑ.

 

Алгоритм расчета

1. Выбирают произвольное положительное направление искомых токов в ветвях и обозначают их на схеме.

Число неизвестных токов равно числу всех ветвей схемы без учета ветвей содержащих источники тока, т.к. токи в ветвях, содержащих источники тока, известны – (в – в_ит).

Ветвей в = 5; Ветвей с источниками тока вит = 1; Узлов у = 3.

2. Составляют уравнение по 1-му закону Кирхгофа для (y-1) узлов схемы, с учетом токов от источников тока, где y – число узлов схемы. Уравнение для последнего узла не составляют, т.к. оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для предыдущих узлов (т.е. линейно-независимых уравнений – (y-1)). При составлении уравнений следуют правилу: если ток выходит из узла, то его записывают со знаком (+), если входит – то со знаком (-).

В рассматриваемом примере:

+I₁ – I₂ – I₃ = 0 (для узла 1);

-I₁ + I₂ –I₄+J = 0 (для узла 3).

3. Составляют [(в - в_ит) - (у - 1)] уравнений по 2 закону Кирхгофа для независимых контуров.

3.1. Выбирают независимые контуры.

а) Их число равно [(в - в_ит) - (у - 1)];

б) Независимый контур – контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры.

Эффективно использовать метод ячеек, по которому каждый независимый контур – это ячейка сети (рыбацкой) – внутри отсутствуют ветви.

в) При выборе контуров ветви с источником тока исключаются (в противном случае при составлении уравнений в них вошли бы бесконечно большие слагаемые и они не имели бы смысла (E=∞; R=∞)).

3.2. Выбирают положительное направление обхода контуров (обычно по часовой стрелке).

3.3. При составлении уравнений следуют правилу: если направление тока и э.д.с. на элементе совпадает с направлением обхода, то падение напряжения и э.д.с. записывают со знаком (+), если не совпадает, то со знаком (–).

В рассматриваемом примере:

-I₁R₁ – I₂R₂. = E₁ - E₂. (для независимого контура E₁® R₁® R₂®E₂);

+I₂R₂-I₃R₃ + I₄R₄ = E₂ (для независимого контура E₂® R₂® R₃® R₄).

4. Решают тем или иным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений.

В рассматриваемом примере:

5. На основании полученного решения проставляют на схеме реальное положительное направление токов в ветвях.

6. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы:

В рассматриваемом примере: .

Метод контурных токов

Метод основан на введении промежуточной неизвестной величины – контурного тока и использовании 2 закона Кирхгофа.

Контурный ток – собственный ток каждого независимого контура.

Реальный ток в ветвях определяется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа, т.е. числу независимых контуров [(в - в_ит) - (у - 1)].

Алгоритм расчета (после вывода расчетных уравнений по 2 закону Кирхгофа):

1. Проставляют направления контурных токов на расчетной схеме. Для единообразия в знаках сопротивлений все контурные токи направляют в одну и туже сторону (например, по часовой стрелке).

2. Для каждого независимого контура (ячейки) составляют расчетное контурное уравнение согласно правилу: левая часть равна сумме произведений контурного тока на собственное сопротивление этого контура, взятое со знаком плюс, и контурных токов прилегающих контуров на сопротивления смежных ветвей, взятых со знаком минус: правая часть равна алгебраической сумме э.д.с. этого контура – контурной э.д.с.

Примечание:

При наличии ветвей с источниками тока либо источники тока преобразуют в эквивалентные источники э.д.с.; либо рассматривают контурный ток контура, в который входит ветвь с источником тока, как известный и равный току этого источника тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами.

Напряжение на элементе от тока источника тока записывается в правой части уравнения со знаком (+), если направление обхода совпадает с направлением этого контурного тока (противоположно направлению этого тока на элементе).

В рассматриваемом примере: (для контуров E₁ ® R₁ ® R₂ ® E₂ и E₂ ®R₂ ® R₃ ®R₄).

3. Решают тем или иным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений.

4. На основании полученного решения определяют величину и направление реальных токов в ветвях, для чего:

- в расчетной схеме изменяют на противоположное направление контурного тока полученного со знаком минус;

- в ветвях внешнего контура расчетной схемы найденный контурный ток является действительным током ветви;

- в смежных ветвях реальный ток ветви определяют алгебраической суммой контурных токов смежных контуров, в том числе и от источников токов: при этом направление тока в ветви совпадает по направлению с общим по величине контурным током.

В рассматриваемом примере:

I₁ = -I₁₁; I₂ = -I₁₁ + I₂₂; I₃ = -I₂₂; I₄ = I₂₂ + J.

5. Рисуют электрическую цепь с положительными направлениями сил тока в ветвях.

6. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы.

 

Метод узловых потенциалов

Метод основан на введении промежуточной неизвестной величины – потенциала узла и использовании 1-го закона Кирхгофа. Если будут известны потенциалы узлов схемы, то ток в любой ветви можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с., т.к. любая точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней (т.е. её потенциал можно принять равным нулю). В этом случае число неизвестных составляет (y-1) (т.е. равно числу независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа).

Алгоритм расчета

(после вывода расчетных уравнений по 1-му закону Кирхгофа):

1. Принимают потенциал одного из узлов равным 0.

2. Составляют уравнение для каждого из оставшихся (y-1) узлов согласно правилу: левая часть уравнения равна сумме произведений потенциала рассматриваемого узла на сумму проводимостей всех ветвей, сходящихся в этом узле, взятое со знаком плюс, и потенциалов остальных узлов на сумму проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы с рассматриваемым узлом, взятые со знаком минус; правая часть уравнения равна алгебраической сумме произведений э.д.с. ветвей, сходящихся в рассматриваемом узле на проводимости этих ветвей (так называемый узловой ток рассматриваемого узла). При этом произведения берутся со знаком плюс, если э.д.с. направлены к рассматриваемому узлу.

Примечание

При наличии ветвей с источником тока необходимо учесть следующее:

- проводимость ветви с источником тока равна нулю;

- в правую часть уравнения добавляется алгебраическая сумма токов от источников тока в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом ток источника тока берется со знаком плюс, если он направлен к рассматриваемому узлу.

В рассматриваемом примере:

(для узлов 1 и 2).

3. Решают тем или иным способом полученную систему линейных алгебраических уравнений.

4. На основании полученного решения определяют величину и направление токов в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.

В рассматриваемом примере:

5. Проверяют правильность полученного решения с помощью баланса мощностей или (и) потенциальной диаграммы.

 

Метод двух узлов

 

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов.

Алгоритм расчета

1. Принимают потенциал одного из узлов равным нулю. Проставляют условно-положительные направления напряжения между узлами и токов в ветвях.

2. Определяют величину и реальное положительное направление напряжения между узлами по формуле

.

При этом узловые токи ΣE_kG_k и ΣJ_k берутся со знаком плюс, если э.д.с. и ток источника тока направлены к узлу с условно взятым большим потенциалом.

3. Определяют величины и направления токов в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.

4. Рисуют электрическую цепь с положительными направлениями сил тока в ветвях.

5. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы.

 

Замена нескольких параллельных ветвей с источниками на одну эквивалентную

 

Использую формулу для определения напряжения между 2-мя узлами получают

где действует правило знаков: если э.д.с. и ток источника тока направлены к узлу с большим потенциалом, то берут (+), если нет, то (–).

При этом

 

Алгоритм расчета

1. Для данной электрической цепи рисуют расчетные схемы каждого из источников в отдельности при удалении в цепи всех остальных источников (э.д.с. и токов). При этом в расчетной схеме остаются внутреннее сопротивление удаленных источников э.д.с. Ветви с внутренним сопротивлением источника тока из схемы исключаются, т.к. их внутреннее сопротивление равно бесконечности. В каждой расчетной схеме проставляем направление токов, которое обусловлено оставшимся источником э.д.с. или тока.

2. Рассчитывают токи расчетных схем с применением правил параллельного и последовательного соединения и закона Ома.

3. Находят величины и направления токов в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов с учетом направления каждого тока в расчетной схеме. Если ток в расчетной схеме противоположно направлен с условно положительным направлением, то в алгебраической сумме такой ток берется с минусом.

В рассматриваемом примере:

4. Рисуют электрическую цепь с положительными направлениями сил тока в ветвях.

5. Проверяют правильность полученного решения с помощью энергобаланса или (и) потенциальной диаграммы.

 

Алгоритм расчета

1. Выделяют двухполюсник по отношению к ветви, для которой рассчитывается ток.

2. Тем или иным методом рассчитывают величину и полярность напряжения на зажимах двухполюсника при отключенной рассчитываемой ветви – напряжение холостого хода двухполюсника (э.д.с. эквивалентного генератора).

3. Определяют входное (внутреннее) сопротивление двухполюсника при закороченных источниках э.д.с. и разомкнутых ветвях с источниками тока (т.к. внутреннее сопротивление источников тока равно бесконечности) как эквивалентное сопротивление внутренней схемы двухполюсника по отношению к его выходным зажимам.

4. Рассчитывают искомый ток ветви

Метод эквивалентного генератора эффективен при опытном определении входного внутреннего сопротивления активного двухполюсника.

1. Измеряют U_xx при разомкнутой ветви U_xx = E_экв.

2. Измеряют I_кз при закороченной ветви

3. Определяют

Метод эквивалентного генератора называют также методом ХХ и КЗ (холостого хода и короткого замыкания).

 

Примечание

Топологические матрицы

 

Структура графа может быть описана в алгебраической форме, в виде таблиц чисел – топологических матриц.

Используют матрицы соединений, контурную матрицу, матрицу главных сечений – топологические матрицы.

Зная матрицы графа можно легко построить сам граф цепи, а, следовательно, и саму цепь.

Такое построение графа цепи и, соответственно, определение её структуры может быть произведено с помощью ЭВМ, в память которой заложены топологические матрицы.

Если при этом машинное описание цепи содержит такие параметры элементов цепи, то по заданной программе ЭВМ может производить любые расчеты для цепи заданной структуры.

 

Контурная матрица

Независимые контуры – контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи.

Нумерация и направления обхода независимых контуров соответствуют нумерации и направлению входящих в них ветвей связи.

Контурные матрицы контуров составляют для независимых контуров выбранного дерева.

Число строк контурной матрицы [С] равно числу [в–(у–1)] независимых контуров.

Число столбцов контурной матрицы [С] равно числу ветвей [в].

При составлении матрицы [С] независимые контуры обходят в направлении ветви связи, входящей в этот контур.

При обходе контура в ячейках матрицы [С]:

– ставят (+1), если направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура;

– ставят (-1), если направление стрелки на какой-либо ветви этого контура не совпадает с направлением обхода контура;

– ставят 0, ветвь не входит в этот контур.

Контурная матрица – таблица коэффициентов уравнений, составленных по 2-му закону Кирхгофа.

 

ТЕМА 2. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

 

2.1. Основные принципы, теоремы и преобразования линейных электрических цепей

2.2. Методы анализа резистивных цепей по уравнениям

2.2.1. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока

2.2.2. Метод непосредственно применения законов Кирхгофа

2.2.3. Метод контурных токов

2.2.4. Метод узловых потенциалов

2.2.5. Метод суперпозиции (наложения)

2.2.6. Метод эквивалентного генератора

2.3. Матричные методы анализа электрических цепей

2.3.1. Матрично-топологический метод анализа электрических цепей

2.3.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа в матрично-топологической форме

2.3.3. Матрично-топологическая форма метода контурных токов

2.3.4. Матрично-топологическая форма метода узловых потенциалов

 

2.1. Основные принципы, теоремы и преобразования линейных электрических цепей

Принципы (свойства)

1. Принцип наложения (суперпозиции) – ток в каждой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждым из источников (э.д.с. и токов) схемы в отдельности.

Принцип справедлив для всех линейных электрических цепей

2. Принцип взаимности (Максвелла) – ток в каждой ветви I_k вызванный единственным источником э.д.с. e, включенным в i-ю ветвь, равен току в i-ой ветви при включении этого же источника в каждую ветвь.

e

e

Цепи, для которых выполняется принцип взаимности называются взаимными, обратимыми.

Нелинейные цепи – необратимые.

3. Принцип линейности – две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейным соотношением вида y=a+bx независимо от изменения э.д.с. (тока) источника или сопротивления в какой-либо одной ветви.

Линейное соотношение между двумя любыми величинами двух любых ветвей не зависит от изменения э.д.с., тока источника тока или сопротивления в какой-либо третьей ветви.

I₁=a+b·I₂,

 

Теоремы

1. Теорема компенсации – токораспределение в электрической цепи не изменится, если любой пассивный элемент цепи заменить источником э.д.с., величина э.д.с. которого равна напряжению на этом элементе, а направление противоположно току в этом элементе.

2. Теорема об эквивалентном источнике (теорема об активном двухполюснике) – активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источником, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода двухполюсника, а внутреннее сопротивление – входному сопротивлению двухполюсника.

Активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником тока, ток которого равен току короткого замыкания двухполюсника, а внутренняя проводимость – входной проводимости двухполюсника.

 

 

3. Теорема вариации (теорема о взаимных приращениях)

Изменение токов в ветвях, обусловленное изменением сопротивления какой-либо ветви электрической цепи на величину ±DR, будет таким же как при действии в этой ветви э.д.с., направленной противоположно первоначальному току этой ветви и равной по величине и знаку ±DR (I+DI).

I-й вариант II-й вариант

Эквивалентные преобразования

1. Преобразование звезда - треугольник YÞÑ и треугольник – звезда ÑÞΥ.

2. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники э.д.с. и источники тока, одной эквивалентной.

 

 

3. Преобразования источников электрической энергии.