Класс моделей линейных объектов

Линейный объект в векторном формате пространственных данных определяется последовательной цепью отрезков

, (39)

где l_n – отрезки, составляющие полилинию L, n – номера узловых точек (узлов), координаты которых X_n, Y_n задаются в виде последовательного списка.

В свою очередь, текущие отрезки l_n представляют собой множество точечных объектов

, (40)

где X_n и Y_n – множество координат точек, определяемых из выражения для прямой, проведенной через два соседних узла n и n + 1:

. (41)

Из выражений (39) и (40) следует, что модель (функция) влияния линейного объекта f_VL может быть определена как множество функций влияния точечных объектов f_VP

. (42)

Основной задачей при определении моделей влияния линейных объектов является определение кратчайшего расстояния r_ij, которое зависит от взаимного расположения ломаной L и текущей точки P_i. Алгоритм поиска кратчайшего расстояния состоит в последовательном определении расстояний между каждым отрезком, составляющим полилинию L, и точкой прилегающей территории P_i и выбором из этих расстояний минимального r_{i min}. Алгоритм вычисления r_{i min} зависит от взаимного положения отрезка l и отрезков r_in и r_{in +1}, соединяющих i -ю точку территории с узловыми точками n и n +1. Рассмотрим типовые взаимные положения отрезка l_n, заданного узлами P ₁, P ₂, и текущих точек P ₃ – P ₉ (рис. 24). Как видно, точки могут лежать на самом отрезке (P ₃), на линии продолжения этого отрезка (P ₄), на перпендикуляре к l_n, проходящем через узлы (P ₅, P ₆), слева и справа от этих перпендикуляров (P ₇, P ₈) и на участках между перпендикулярами (P ₉). Представим уравнение отрезка (41) в следующем виде:

 

, (43)

где

Тогда взаимоположение отрезков будет однозначно определяться их коэффициентами наклона k.

Рис. 24. Аморитм поиска кратчайшего расстояния r_ij от точки Р_i до ломаной l

 

Для случаев, представленных на рис. 24, имеем:

где i = 3,4,...,7.

Тангенсы углов между l, r_in, r_{in +1} определяются выражением:

Алгоритм вычисления r_{i min} будет следующим:

1. По выражениям (32), (33) вычисляются коэффициенты наклона отрезков и тангенсы углов между ними.

2. Если g _1· g ₂= 0 (случай, когда k_n = k_{n +1} = k _l) и если (X_i - X_n)(X_i - X_{n +1})£0, то текущая точка лежит на отрезке l (точка P ₃) и r _min = 0.

иначе текущая точка лежит на линии продолжения отрезка l (точка P ₄);

,

где

3. Если g ₁· g ₂ = ¥ (случай, когда ), текущая точка лежит на перпендикуляре, проходящем через узел (точки P ₅, P ₆), то определяются длины этих перпендикуляров .

4. Если g ₁· g ₂ > 0, значит оба угла между l и r тупые (точка P ₇) или острые (точка P ₈), следовательно:

или ,

т.е. определяется расстояние до ближайшего узла отрезка l_n.

5. Если g ₁· g ₂ < 0, значит один из углов – острый, а другой – тупой (точка P ₉), тогда r_{i min} равен длине перпендикуляра, опущенного из текущей точки на отрезок l_n (расстояние ).

Координата j -й точки пересечения отрезка l_n и перпендикуляра, проходящего через текущую i -ю точку, для рассматриваемого случая определяется системой уравнений

 

Подставляя выражения для координат X_j, Y_j в формулу для вычисления расстояния между двумя точками, окончательно получаем:

.

6.Переход к следующему отрезку, n ® n + 1, алгоритм вычисления начинается с первого пункта. Из получаемых значений r_{i min} для отрезков l_n и l_{n +1} выбирается меньшее и т.д., до полного перебора всех отрезков, составляющих полилинию.

7. В случае несимметричной модели влияния (R_ij = f_R (a _ij)) определяется угол наклона отрезка r_{i min}

a _ij = arctg k_l – для точки P ₄;

a _ij = arctg k_in – для точки P ₇;

a _ij = arctg k _{in +1} – для точки P ₈;

a _ij + p/2 = arctg k_l – для точек P ₅, P ₆, P ₉;

8. По определенным значениям r_{i min}, a _ij и заданной аналитически или таблично функции f_VT определяется величина влияния объекта в i- й точке S_ij.

Следующей по сложности является модель линейного объекта с переменным вдоль этого объекта коэффициентом веса (максимальным значением влияния) S _j, т.е.

 

S_j = f_S (l_j),

где l_j – расстояние вдоль полилинии от начальной узловой точки до текущей j -й точки этой полилинии.

В общем случае функция влияния f_s может меняться в зависимости от расстояния l. Эта модель отражает, например, распространение загрязнения от некоторого источника вдоль реки с учетом воздействия на прилегающую территорию, изменение величины напряжения в ЛЭП и т.п. Модели, отражающие действие разнородных (противоречивых) факторов, как и в случае точечных объектов, строятся в виде комбинации простых моделей (рис. 25).

 

Простая модель с симметричным законом влияния

 

Сложная модель с симметричным Простая модель с асимметричным

законом влияния законом влияния

Сложная модель с асимметричным законом влияния

 

Рис. 25. Класс моделей пространственного влияния линейных объектов

(на примере функции влияния по нормальному закону распределения)

Примером применения такой модели может служить задача, рассмотренная в § 1 гл. II, при учете противоречивых факторов влияния дороги на выбор участка для строительства.

Рассмотренный класс моделей логично организуется в виде трехуровневой иерархии по принципу «от простого к сложному» (см. рис. 25).

Такая структуризация моделей делает удобной процедуры формирования моделей, описывающих явления самой разнообразной природы, методами объектно-ориентированного проектирования, а также поиска нужных моделей из имеющихся библиотек.