Статистическая теория распознавания образов

В условиях воздействия внешних и внутренних помех, имеющих случайный характер, синтез структурной схемы оптико-электронной системы (ОЭС) базируется на статистической теории приема и обработки сигналов, объединяющей и использующей основные научные и практические достижения теории вероятностей, математической статистики, теории связи и управления. При этом рассматривается некоторое пространство предметов, характеризуемое пространственным яркостным полем оптического диапазона спектра, имеющем в самом общем случае случайный характер. С определенной вероятностью в этом поле может находиться излучающий объект, представляющий для нас интерес. ОЭС, имеющая возможность обозревать часть предметного пространства, должна вполне обоснованно дать ответ на вопрос, находится ли объект в угловом поле или нет, т.е. решить задачу обнаружения объекта. При решении этой задачи полезным сигналом является лишь излучение объекта. Излучение остальной части предметного пространства является мешающим фоновым излучением (помехой). Т.о. обработка оптического излучения, поступающего на вход ОЭС, связана с определенным улучшением соотношения между полезным сигналом и помехой и носит название фильтрации полезного сигнала.

Рассматриваемая в проекте задача распознавания объектов решается путем корреляционного сравнения анализируемого изображения с эталонным и по формальному описанию близка к задаче оптимального обнаружения известного сигна­ла в смеси сигнала с шумом.

Как известно, оптимальное обнаружение сигналов можно осуществить методом линейной фильтрации. Сущность линейной фильтрации в приложении к задачам автоматической обработки изображений состоит в следующем.

Пусть функция двух переменных f(x,y) представляет анализируемое изображение, функция s(x,y) описывает опознаваемый объект, а функция s(x,y) является случайной функцией, представляющей аддитивный шум, искажающий изображение объекта. Предполагается, что случайная функция v(x,y) принадлежит к классу стационарных гауссовых процессов. Распознающее устройство должно принять решение о наличии или отсутствии объекта в анализируемом изображении. По аналогии с оптимальным обнаружением в радиотехнике такое устройство может быть линейным фильтром, имеющим передаточную функцию вида:

, (3.1)

 

где S*(ω_x,ω_y) - комплексно-сопряженный спектр функции s(x,y);

|V(w_x,w_y)|² – спектральная плотность мощности функции s(x,y);

с – постоянный нормирующий множитель.

Пространственно-частотный фильтр с передаточной функцией вида (3.1) является оптимальным в том смысле, что в классе линейных систем он обеспечива­ет наилучшее обнаружение опознаваемого объекта. Известно, что при нормальном законе распределения шума такой фильтр обеспечивает минимум ошибок распо­знавания по сравнению с любыми другими фильтрами, в том числе и нелинейны­ми.

При белом шуме (|V(ω_x,ω_y)|² = V_o = const) фильтр этого типа будем называть согласованным фильтром, т.е. фильтром, согласованным с полезным сигналом s(x,y). Легко видеть, что в случае белого шума корреляционный метод распознава­ния по выходному эффекту полностью эквивалентен согласованной фильтрации, т.к. фильтр с передаточной функцией вида:

,

(3.2)

по существу, формирует на выходе взаимную корреляционную функцию входного и эталонного сигналов.

Модель реальных изображений, встречающихся в задачах распознавания, является более сложной, чем простейшая радиотехническая модель аддитивного сложения сигнала и шума вида:

f(x,y) = s(x,y) + v(x,y). (3.3)

 

Рассмотрим решение задачи оптимальной фильтрации в этом случае. Примем следующие обозначения функций анализируемого изображения, объекта, фона и шума:

f(x,y) - функция анализируемого изображения;

s(x,y) - функция объекта;

g(x,y) - функция окружающего объект фона;

v(x,y) - функция случайного шума.

Будем считать случайный шум v(x,y) стационарным нормальным белым шумом с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности V_o. Функцию фона g(x,y) будем считать детерминированной функцией или реализацией случайного неоднородного поля. Тогда реальная нестационарная помеха р(х,у) может быть представлена в виде:

(3.4)

 

Модель анализируемого изображения, содержащего объект, фон, шум и постоянную составляющую g₀, обеспечивающую не отрицательность функции f(x,y), будет иметь вид:

 

, (3.5)

 

где х,у - координаты центра области определения сигнала в области определения функции анализируемого изображения А.

Теперь задачу фильтрации можно сформулировать следующим образом. Распознающее устройство, осуществляя анализ функции f(x,y), должно произвести выбор одной из двух гипотез:

- гипотеза Г₁: f(x,y) = g₀ + g(x,y) • v(x,y) + s(x,y);

- гипотеза Г₂: .

В соответствии с теорией статистических решений выбор той или иной гипотезы должен основываться на вычислении линейного интегрального выражения вида:

 

L (f) = f(ξ,η) • h(ξ,η)dξdη,

 

где h(ξ,η) - весовая функция, которая должна быть определена, исходя из выбранного условия оптимальности решения. В качестве условия оптимальности в рассматриваемой задаче выберем условие максимизации отношения:

 

т.к. максимум величины µ соответствует максимально возможному превышению выходного сигнала при истинности гипотезы Г₁ над выходным сигналом при истинности гипотезы Г₂.

В такой постановке задачи весовая функция h(x,y), которая максимизирует условие оптимальности, может быть найдена из решения интегрального уравнения:

 

. (3.6)

 

Беря преобразование Фурье от обеих частей (3.6) при бесконечных пределах интегрирования, с точностью до постоянного множителя получим:

или

(3.7)

 

где H(ω_x,ω_y) – преобразование Фурье весовой функции h(x,y);

- энергетический спектр функции фона g(x,y).

Таким образом, оптимальное устройство должно являться фильтром пространственных частот с передаточной функцией вида (3.7).

Оптимальный фильтр можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров. Первый из них является фоноподавляющим фильтром с пере­даточной функцией:

(3.8)

 

Второй является фильтром, согласованным с опознаваемым объектом:

. (3.9)

 

Физика работы фильтра, согласованного с опознаваемым объектом, состоит в относительном ослаблении спектральных составляющих полезного сигнала и шума, соответствующих менее интенсивным участкам пространственно-частотного спектра сигнала. При этом все спектральные составляющие сигнала на выходе согласованного фильтра в точке х_о,у_о имеют одну и ту же нулевую фазу. Действительно, если представить комплексный пространственно-частотный спектр сигнала и передаточную функцию согласованного фильтра в показательной форме:

 

то гармоническая составляющая некоторой пространственной частоты ω_x, ω_y на выходе фильтра в точке х,у будет иметь фазу:

, (3.10)

 

которая обращается в нуль при х = х_о ,у = у₀ независимо от частоты.

Таким образом, спектральные составляющие сигнала на всех пространственных частотах складываются в фазе и образуют на выходе согласованного фильтра пиковый выброс в точке х_о,у₀. Величина и форма пикового выброса выходного сигнала согласованного фильтра повторяют автокорреляционную функцию опознаваемого объекта, а отношение величины пикового выброса к среднему квадратическому значению шума на выходе (отношение сигнал-шум) пропорционально отношению энергии сигнала к спектральной мощности шума.

Для белого шума поворот фаз спектральных составляющих согласованным фильтром не изменяет их беспорядочного характера и значит возможность сложения составляющих шума в фазе и образования большого пикового выброса от шума маловероятна. Более того, если через согласованный фильтр проходит некоторый ложный сигнал:

 

причем то гармоническая составляющая на выходе фильтра, согласованного с сигналом S(ω_x,ω_y) в точке х,у будет согласно (3.10) иметь фазу:

 

зависящую от пространственной частоты в любой точке х,у. Поэтому большой пиковый выброс от ложного сигнала также маловероятен.

Так как фазовая часть комплексного пространственно-частотного спектра сигнала в большой степени определяет форму сигнала, следует ожидать высокой избирательности оптимального фильтра по отношению к конфигурации объекта, с которым он согласован.

Метод линейной оптимальной фильтрации дает возможность сформировать корреляционное поле сравнения анализируемого и эталонного изображений путем перемножения Фурье-спектров функций f(x,y) и s(x,y) и последующего обратного преобразования Фурье от полученного произведения.

Для реализации операции типа свертки с произвольным ядром, требуемой для формирования корреляционных функционалов, используемых для принятия решений в задачах распознавания образов, могут применяться различные оптические устройства, называемые оптическими корреляторами (рисунок 3.1).

 

 

 

Рисунок 3.1 - Обобщенная схема оптического коррелятора

На этой схеме имеются две линзы Л₁ и Л₂, с одинаковыми фокусными расстояниями f '.

Пусть расстояния между плоскостями равны .

Положим, что z₂=z₄=f ', 0 < z₁ <f ', 0 < z₃ < f'.

Тогда оптическая система (рисунок3.1) может рассматриваться как два последовательно установленных Фурье-анализатора и будет обладать свойством "переноса" функций, заданных в плоскости Р₁, в плоскость Р₅, так как эти плоскости сопряжены относительно линзы Л₂.

Поле в плоскости Р₃ равно пространственно-частотному спектру F(ω_x,ω_y) функции f(ω_x,ω_y) комплексного пропускания транспаранта, установленного в плоскости Р₁:

(3.11)

где,

Если установить в плоскости Р₃ пространственно-частотный фильтр-транспарант, комплексное пропускание которого S(w_x,w_y) равно преобразованию Фурье от функции s(x,h), то в результате действия Фурье-анализатора, расположенного справа от плоскости Р₃, поле в плоскости Р₅ будет равно:

,

 

где z - операция масштабного преобразования Фурье.

При δ z_l = δz₃ = 0, что соответствует условию:

, (3.12)

квадратичные экспоненциальные множители в (3.11) исчезают и в соответствии с теоремой о свертке поле в плоскости Р₅ пропорционально свертке f и s:

. (3.13)

 

Для получения функции корреляции в плоскости Р₃ устанавливается фильтр-транспарант S*(ω_x,ω_y).

Фотоприемник, установленный в плоскости Р₅, будет регистрировать квадрат модуля выражения (3.13). Поэтому влияние квадратичных экспоненциальных множителей в (3.11) не ощущается и при несоблюдении условия (3.12).