Правила округлення і виконання наближених обчислень

Точність обчислень завжди повинна відповідати точності вимірів. Зайва арифметична точність обчислень не позитивна якість, а недолік в роботі. Наприклад, якщо середнє арифметичне значення товщини пластинки після розрахунку було взято рівним 2,2543 мм при абсолютній похибці вимірів 0,03 мм, то при цьому показане лише невміння виконувати арифметичні дії з наближеними числами. Щоб не витрачати даремно часу для одержання сумнівної арифметичної точності, необхідно всі отримані величини перед підстановкою в формули округляти, залишаючи в них на одну значущу цифру більше, ніжу самої з наближених величин (з найменшим числом знаків). При округленні наближеного числа необхідно відкидати останні цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, менша 5, і додавати одиницю до попередньої цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, 5 або більше.

За написаним числом, що виражає результат виміру або обчислення, можна говорити про ступінь точності.

Значущі цифри – це усі цифри, крім нулів, що стоять перед числом, і нулів, поставлених наприкінці записаного результату замість відкинутих цифр при округленні.

Десяткові таки числа – це усі цифри, розміщені праворуч від коми. Наприклад, число 25,002 має п'ять значущих цифр, а десяткових знаків три; число 0,0034 має дві значущі цифри, але чотири десяткових знаки.

Якщо обчислення за наближеними даними проводяться у декілька дій, то в проміжних діях треба зберігати на одну значущу цифру більше в порівнянні з точністю визначуваних величин у даному досліді (тобто дві сумнівні цифри). У всіх арифметичних діях над наближеними числами в остаточному результаті треба уберігати стільки десяткових знаків, скільки їх мають наближені дані з найменшим числом десяткових знаків.

Округлення чисел у процесі обчислення призводить до систематичної похибки. Відносна похибка, яку знаходять в результаті обчислень, має бути приблизно на порядок (тобто у 10 разів) менша за похибку результату непрямих вимірювань.

У записі результату вимірювань залишають одну (максимум дві) сумнівні цифри. Похибку вимірювань округляють до однієї значущої цифри, якщо ця цифра не «1». Якщо ж ця цифра «1», то у похибці залишають дві значущі цифри, в записі результату вимірювань – дві сумнівні цифри. Сумнівними називаються значущі цифри в записі результату вимірювань, десяткові розряди яких збігаються з десятковими розрядами значущих цифр у записі похибки цього результату.

Розряди останніх цифр Δx і x мусять співпадати. Для цього округляють x або приписують до нього невистачаючі нулі справа. Е округляють по тим же правилам, що і Δx. Спочатку округляють Δx, Δx=0,3 мм. Розряд останньої цифри Δx - десяті долі, а – соті долі. Округляємо до десятих долів. Маємо = 73,6 мм.

Знаходимо Е:

Кінцевий результат x = 173,6 ± 0,3 мм, α = 0,7, Е = 0,4 %

 

Похибки прямих вимірювань

 

Похибки прямих вимірювань визначаються за формулою

, n = 1, (18)

якщо деяку величину виміряти один раз.

Якщо вимірювання виконувались n раз, то

, n > 1. (19)

В цих рівняннях t∞ - коефіцієнт Стьюдента для заданого a при необмеженому числі вимірів; d - похибка приладу; ν - похибка відліку, .

Наприклад: довжина тіла була виміряна 3 рази:

 

n	х, мм	∆хi, мм	(Δхi)²
	12,8	0,446	0,217
	13,6	0,334	0,111
	13,4	0,134	0,018
=13,2	∑(Δхi)²=0,3

 

Відносна похибка дорівнює

.

Кінцевий результат: x = (13,3 ± 0,3) мм; α = 0,7; Е = 3,6 %.

 

Похибки непрямих вимірювань

 

Якщо y - величина, що вимірюється посередньо, її розраховують за відомою залежністю y=f(x1,x2,…xn) від змінних x1,x2,,…xn, які вимірюють безпосередньо.

1. Похибки непрямих вимірів визначаються за формулою:

, (20)

якщо функціональна залежність досліджуваної величини є багаточлен.

2. Похибки непрямих вимірів можна визначати

, (21)

.

якщо функціональна залежність досліджуваної величини є одночлен і потім знаходимо Dy як: . Наприклад:

1. Якщо залежність функції , тоді

Тоді

.

2. Якщо залежність функції: ,

Тоді

,

.

У результаті отримуємо

.

 

Контрольні запитання

 

1. Дати визначення прямих і непрямих вимірів. Приклади.

2. За допомогою якої формули знаходять найбільш ймовірне значення виміряної величини?

3. Що таке відносна похибка?

4. Що називається випадковим відхиленням?

5. За якою формулою знаходять середнє квадратичне значення або похибку, викликану випадковими відхиленнями?

6. За якою формулою знаходять похибки засобів виміру.

7. За якою формулою знаходять похибки табличних величин та відліку.

8. Сформулюйте правила округлення.

9. Запишіть формули обчислення похибок при прямих вимірах.

10. Запишіть формули обчислення похибок при непрямих вимірах.

 

Література

 

1. Гончаренко С.У. Фізика: Підруч. для 11 кл. серед. загальноосв. шк..- К.: Освіта, 2002. – 319 с.

2. Гончаренко С.У. Фізика: Підруч. для 10 кл. серед. загальноосв. шк..- К.: Освіта, 2002. – 319 с.

3. Гончаренко С.У. Фізика: Пробн. навчальний посібник для ліцеїв та класів прородничо-наукового профілю. 10 клас.- К.: Освіта,1995.– 430с.

4. Гончаренко С.У. Фізика: Пробн. навч. посібник для 11 кл. ліцеїв та гімназій науково-природничого профілю.- К.: Освіта, 1995. – 448 с.

5. Коршак Є.В., Ляшенко О.І., Савченко В.Ф. Фізика. 11 кл.: Пробний підручник для загальноосвіт. шк. – К.: Ірпінь: ВТФ «Перун», 2000. – 232 с.

6. Коршак Є.В., Ляшенко О.І., Савченко В.Ф. Фізика. 10 кл.: Підруч. для загальноосвіт.навч. закл. – К.: Ірпінь: ВТФ «Перун», 2002. – 296с

7. Кирик Л.А. Фізика – 10. Різнорівневі самостійні та контрольні роботи. Харків: «Гімназія», 2002. – 192 с.