Основні поняття теорії похибок

 

Числове значення будь-якої фізичної величини знаходять шляхом виміру, або розрахунку. Вимірювання це процес відшукання значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів. Виміряти безпосередньо якусь фізичну величину цс означає порівняти її з деякою іншою однорідною з нею величи­ною, взятою за одиницю виміру. Отримане число показує, у скі­льки разів величина, що вимірюється, більше або менше обраної одиниці виміру. Отриманому числу приписується таке ж на­йменування, як і обраній одиниці.

Прямі виміри здійснюються або шляхом безпосереднього порівняння фізичної величини, що вимірюється, з одиницями міри, як це має місце при вимірах довжини лінійкою, штанген­циркулем, мікрометром і т.п., або приладами, градуйованими у визначених одиницях, наприклад амперметрами, вольтметрами і т.п.

В багатьох випадках значення фізичної величини визначають за допомогою обчислень, використовуючи при цьому значення безпосередньо виміряних величин. Це трапляється тоді, коли відома функціональна залежність даної величини від безпосередньо виміряних величин. Наприклад, для визначення об’єму циліндра використовують функціональну залежність від діаметра d та висоти h:

.

При непрямих вимірах, величину y знаходять по відомій функціональній залежності y = f(x1, x2,...,xn) від величин x1, x2, … xn, значення котрих знаходять прямими вимірами.

Виміряне значення фізичної величини завжди відрізняється від істинного тому, що при вимірюваннях завжди виникають похибки. При вимірюваннях необхідно знайти не тільки наближене значення фізичної величини, але й обчислити відхилення цього значення від істинного. Цим питанням займається теорія похибок.

Всі вимірювання можуть бути виконані тільки з визначеним ступенем точності. Похибка вимірювань визначається як відхилення результату виміру від істинного значення величини.

Як показує теорія і практика, до істинного значення вимірюваної ве­личини найближче підходить середнє арифметичне значення ба­гатьох вимірювань. Якщо якусь величину х виміряли n раз і отримали ряд значень х1, х2... хn, то найбільш ймовірне значення виміряної величини х знаходять як середнє арифметичне результатів окремих вимірів:

. (1)

Похибки вимірів бувають систематичними, випадковими і промахами.

Систематична похибка – це складова частина похибки виміру, що залишається сталою, або такою, що закономірно змінюється при повторних вимірах однієї та тієї ж величини.

Випадкова похибка – це складова частина похибки вимірювань, що змінюється випадково при повторних вимірах однієї та тієї ж величини.

Промах – це такий результат виміру, значення якого набагато відрізняється від очікуваної похибки в даних умовах. Наприклад, ці похибки можуть бути отримані, якщо прилад несправний або якщо експериментатор неуважний.

Похибки вимірювань бувають абсолютними і відносними. Абсолютною похибкою вимірювання називається похибка, виражена в одиницях величини, що вимірюється, вона визначається формулою

, (2)

де х – значення, здобуте при вимірюванні; Х – справжнє значення величини, що вимірюється (найбільш ймовірне).

Середня арифметична абсолютна похибка n вимірювань дорівнює

. (3)

Величина визначає інтервал, у межах якого з певною ймовірністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини. За визначенням

., (4)

де Δx – абсолютна похибка вимірювань x. Чим більша ширина інтервалу 2Δx, тим більшою буде ймовірність того, що точне значення вимірюваної величини належить цьому інтервалу.

Відносною похибкою вимірювання називається відношення абсолютної похибки вимірювання до справжнього значення величини що вимірюється

, (5)

як правило, визначається у відсотках

. (6)

Знайти істинне значення фізичної величини х неможливо. Можна тільки вказати на інтервал (хmin, хmax), в якому з ймовірністю a знаходиться значення досліджуваної величини.

Приклад: поглядом вимірюють зріст студента в сантиметрах. Ми можемо припустити, що зріст студента може бути визначений між 1,5 м і 2,0 м з ймовірністю 0,9. Тоді ми можемо стверджувати, що зріст студента може бути визначений між 1,6 м і 1,8 м з меншою ймовірністю 0,6 і так далі. Цей інтервал називають довірчим інтервалом. На рис.1.1 зображено довірчий інтервал досліджуваної величини x, де – найбільш ймовірне значення виміряної величини; Δх – півширина довірчого інтервалу для заданого a. Тому, істинне значення вимірюваної величини може бути визначене як

, (7)

з ймовірністю a, або

. (8)

 

Рисунок 1

Ймовірність знаходження істинного значення вимірюваної величини в інтервалі Dx залежить від кількості вимірювань n. Якщо , то ймовірність наближається до 1. Якщо ж n дорівнює кільком одиницям, то ймовірність не досягає й 0,6. Тому для малої кількості вимірювань згаданий інтервал розширюють, збільшуючи Δx. Для цього знаходять середньоквадратичну похибку середнього арифметичного

, (9)

і збільшують її в t раз (t – так званий коефіцієнт Ст`юдента. Цей коефіцієнт було введено в 1908 році англійським математиком та хіміком В.С. Госсетом). Величину

, (10)

називають випадковим відхиленням. Середнє квадратичне похибка результату серії вимірювань, викликана випадковими відхиленнями Dxi, визначається як

. (11)

Множимо знайдене значення коефіцієнта Стьюдента t (коефіцієнт Стьюдента, залежить від a і кількості вимірів n) на середню квадратичну похибку середнього значення, знаходимо випадкову похибку Δхвип результатів прямих вимірювань

. (12)

Таблиця 1

n\α	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,73	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3
	0,62	0,82	1,06	1,4	1,9	2,9
	0,58	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4
	0,57	0,74	0,99	1,2	1,5	2,1
	0,56	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0
	0,55	0,72	0,91	1,1	1,4	1,9
	0,55	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9
	0,54	0,71	0,89	1,1	1,4	1,9
	0,54	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8
	0,58	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7
∞	0,52	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6

Похибки засобів вимірювання

 

До засобів вимірювань належать вимірювальні прилади та установки. Кожен прилад дає похибку, так як його неможливо зробити ідеальним. Похибка засобів вимірювання не перевищує деякої величини. Цю величину називають межею основної допустимої похибки вимірювального приладу (МОДП). МОДП на засоби вимірювання встановлюється державними стандартами і визначається у вигляді абсолютних, відносних та приведених похибок.

Абсолютна похибка приладу d – це є різниця

, (13)

де a – показання приладу, X – справжнє значення вимірюваної величини. Взагалі d дорівнює ціні найменшої поділки інструмента. Наприклад: для лінійки d =1 мм. Відносна похибка вимірів – це відношення

. (14)

Як правило, вона визначається у відсотках

. (15)

Приведена похибка вимірювання або клас точності визначається відношенням

, (16)

і визначається у відсотках. D – максимальне значення шкали інструмента. Наприклад: сила струму вимірюється амперметром з діапазоном 0 ÷ 1 А, клас точності 0,5. Це означає, що Хн = 1 А; γ = 0,5 % і

.

Якщо амперметр показує 0,3 А, тоді

.

 

Похибки табличних величин

 

1. Похибка табличної величини визначається за формулою

, (17)

де a - довірча ймовірність; ν - половина ціни розряду останньої залишеної цифри табличної величини. Наприклад: величина π дорівнює 3,14. В цьому випадку ν = 0,005 і

.

Якщо величина π дорівнює 3,141 і ν = 0,0005, то

.

2. При користуванні вимірювальними приладами виникають похибки відліку. Типово, похибка відліку дорівнює половині ціни поділки шкали приладу. Наприклад: лінійка має похибку відліку ν = 0,5 мм.