Космологический принцип. Космологические модели. Масштабный фактор. Критическая плотность Вселенной.

Космологический принцип

• Космология занимается изучением физических свойств и эволюции Вселенной как целого.

• Современные космологические модели основаны на принципах общей теории относительности, дополненных т. н. космологическим принципом, который для расширяющейся Вселенной гласит: Вселенная однородна и изотропна в каждый момент времени, прошедший после Большого Взрыва.

• Наша Галактика не является избранной, центральной во Вселенной, точно так же, как не являются избранными другие галактики.

• Однородная и изотропная Вселенная не может находиться в стационарном состоянии, из-за наличия сил тяготения, т. е. Такая Вселенная должна или сжиматься или расширяться.

• Однородный шар массы M = V ρ = (4/3)π r 3ρ под действием силы гравитации будет сжиматься к центру с ускорением

• Т. о., даже если бы в начальный момент времени некоторая галактика А была неподвижной, то она стала бы двигаться внутрь шара. То же самое касается и других галактик. Поскольку Вселенная однородна и изотропна, такова же будет судьба любого мысленно выделенного объёма, независимо от его размера и местоположения.

• Из-за наличия сил тяготения Вселенная, не обладающая ни центром, ни осью вращения (т. е. однородная и изотропная) не может вечно находиться в одном и том же состоянии, она неизбежно должна эволюционировать.

• При разных начальных условиях эта эволюция может быть разной: Вселенная будет либо расширяться (возможно, с замедлением или ускорением), либо сжиматься (возможно, с ускорением или замедлением).

• Нестационарность Вселенной в принципе могла быть предсказана уже триста лет назад, сразу после открытия закона всемирного тяготения. Этому помешали предубежденность в вечности и неизменности Вселенной.

• В настоящее время Вселенная расширяется, при этом в силу космологического принципа каждая точка пространства Вселенной удаляется от всех остальных её точек.

Уравнения ОТО

• Космологические модели, описывающие состояние и эволюцию Вселенной, основаны на решении уравнений тяготения Эйнштейна (по одинаковым верхним и нижним индексам производится суммирование):

 

 

• g μν – метрический тензор; • R = R νρ g νρ – скалярная кривизна (след тензора Риччи); • T μν – тензор энергии-импульса материи; • μ, ν = 0, 1, 2, 3, где x 1, x 2, x 3 – произвольные пространственные координаты, x 0 = ct – временная координата.

• Компоненты метрического тензора g μν определяют квадрат четырёхмерного «расстояния» в пространстве-времени (интервала) ds между двумя бесконечно близкими событиями: ds 2 g dx μ dx ν

• В сферической системе координат интервал имеет вид:

• Параметр k определяет кривизну пространства (–1, 0, +1).

• Тензор энергии-импульса в приближении идеальной жидкости:

где u ν—4-вектор скорости жидкости; p —давление жидкости;

ρ— плотность энергии (материи).

• Уравнения Эйнштейна – это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных

относительно метрического тензора.

• Зная g μν как функции четырёх координат, можно определить все геометрические свойства пространства-

времени.

• С помощью метрического тензора вычисляется темп течения времени в различных точках системы отсчёта и

расстояния между точками в трёхмерном пространстве.

• Уравнения тяготения Эйнштейна связывают компоненты метрического тензора g μν с величинами,

характеризующими материю, создающую поле: плотностью, потоками импульса и т.п.

Космологические модели

• Первое (стационарное) решение уравнений тяготения было найдено самим Эйнштейном. Впоследствии выяснилось, что такое решение неустойчиво относительно малых возмущений.

• В 1922 году А. Фридман нашёл нестационарное решение уравнений тяготения: А. Фридман. О кривизне пространства, 1922. А. Фридман. О возможности мира с постоянной отрицательной кривизной пространства, 1924.

• Решение Фридмана (в совокупности с современными наблюдательными фактами) утверждает, что в настоящее время Вселенная расширяется.

• Т.о., в прошлом Вселенная была более плотной (более того, бесконечно плотной!). Сценарий будущего Вселенной не настолько однозначен.

Уравнения ОТО

• При ограничениях, накладываемых космологическим принципом, уравнения Эйнштейна сводятся к уравнениям Фридмана относительно масштабного фактора:

• Т.к. , то после деления второго уравнения на H 2:

• Величина называется параметром плотности.

• При Ω < 1 кривизна пространства отрицательна (k = –1 м–2). • При Ω > 1 кривизна пространства положительна (k = +1 м–2). • При Ω = 1 кривизна пространства равна нулю (k = 0).

• Значение плотности энергии, при котором Ω = 1 называется критической плотностью:

Критическая плотность Вселенной

• Выводы из теории Фридмана относительно будущего существенно зависят от соотношения между сегодняшними значениями постоянной Хаббла и средней плотности вещества во Вселенной.

• Существует определённая критическая величина плотности, которая и будет определять дальнейший сценарий эволюции.

• Эта плотность определяется величиной скорости убегания u II (второй космической скорости) с поверхности однородного шара:

• Если при этом исходная скорость объекта (галактики) v = u II, то на бесконечности эта скорость стремится к нулю, а если v > u II, то — к некоторой ненулевой величине.

Космологические модели

Сценарий будущего и параметры Вселенной при ρ < ρ _c

• Если фактическая плотность меньше критического значения ρ с: ρ < ρ c (т. е. v > u II),

то тяготение не сможет остановить расширение.

• Хотя расширение и будет замедляться, но оно не сменится сжатием.

• При этом пространство бесконечно, а при однородной плотности бесконечно и общее количество

вещества во Вселенной.

• Геометрия пространства неевклидова, а кривизна отрицательна.

Сценарий будущего и параметры Вселенной при ρ = ρ _c

• При средней плотности, равной критической ρ = ρ c (т. е. v = u II), скорость расширения стремится к нулю (происходит замедление расширения), кривизна пространства равна нулю, и

пространство в среднем обладает евклидовой геометрией.

Сценарий будущего и параметры Вселенной при ρ > ρ _c

• Если же плотность больше критической ρ с: ρ > ρ c (т. е. v < u II), то притяжение велико и

наблюдаемое в настоящее время расширение должно в будущем смениться остановкой и сжатием.

• В этом случае Вселенная представляет собой замкнутое, но неограниченное трёхмерное

пространство. Его объём в каждый момент конечен, количество вещества во всей Вселенной имеет

вполне определённое значение, не изменяющееся с течением времени.

• Геометрия пространства неевклидова, а кривизна положительна.

Масштабный фактор

• Масштабный фактор показывает, как с течением времени изменяется расстояние между фиксированными частицами в деформирующейся Вселенной, т.е. изменение масштабного фактора с течением времени описывает расширение или сжатие пространства.

• Для изотропного расширения Вселенной (линейное приближение к величине космологического красного смещения) масштабный фактор определяется из уравнения:

где H (t) – «постоянная» Хаббла.

• При u << c космологическое красное смещение сводится к доплеровскому, а при u = 0 – к гравитационному.

• Конкретный вид функции R (t) определяется уравнениями гравитационного поля ОТО.

• Форма функции R (t) зависит от средней плотности вещества во Вселенной. На рисунке показан вид функции R (t) для случая Λ = 0.