Часть VI. Элементы теории графов.

Часть VI. Элементы теории графов.

Основные понятия теории графов.

Определение 1. Графом называется совокупность 2-х множеств Х и У. Х - это множество точек, называемых вершинами графа, а У - это множество линий попарно соединяющие вершины и называемые ребрами или дугами.

 

Это определение можно сформулировать иначе: графом называется непустое множество точек (вершин) и отрезков (ребер), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек.

В дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A, B, C, D. Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.

Определение 2. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

 

Определение 3. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль – графом.

 

Определение 4. Если рассматривается упорядоченное множество точек, т.е. на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным; в противном случае граф называется неориентированным.

 

Определение 5. Сетью называется граф, в каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое число (или несколько чисел), которое называется весом дуги или ребра (). Например, расстояние между городами, стоимость прокладки дороги, потоки (пропускная способность дуги и т.д.).

 

Свойства вершин и ребер графа.

 

Определение 1. Ребра, имеющие одинаковые концевые точки называется параллельными .

 

Определение 2. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей .

 

Определение 3. Вершина и ребро называются инцидентным друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой .

Определение 4. Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными .

 

Определение 5. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине называется смежными ребрами .

 

Определение 6. Степенью вершины называется число ребер, инцидентных ей: , причем, если , то вершина называется висячей , если , то вершина называется изолированной .

Пример:

Теорема. В графе G сумма степеней всех его вершин - число четное, равное удвоенному числу ребер.

Пример:

Определение 7. Граф называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром, и он не содержит параллельных ребер.

 

Определение 8. Дополнением графа G называется граф с теми же вершинами, что и граф G и содержащий только те ребра, которые надо добавить графу G, чтобы получился полный граф.

Пример:

Построить полный граф для пяти вершин (n=5), число ребер равно .

1.

2.

Пути и циклы графа.

Определение 1. Путем в графе называется такая последовательность ребер (дуг), ведущей от начала вершины в конечную вершину , в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается два раза, т.е. такая последовательность дуг, при которой конец одной дуги является началом другой.

Например, на графе :

от до

 

Определение 2. Циклом называется путь, начало, и конец которого совпадают:

 

 

Определение 3. Цикл называется простым, если он не проходит ни через одну вершину графа более одного раза.

 

Теорема. Для того чтобы граф представлял собой простой цикл, необходимо и достаточно, чтобы каждая его вершина имела степень равную двум, т.е. .

 

Определение 4. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует соединяющий их путь, в противном случае граф - не связный: , .

 

Определение 5. В общем случае несвязный граф является совокупностью связных графов, называемых компонентами.

 

 

, , - компоненты графа G.

 

§4. Способы задания графа.

 

Существует ряд способов задания графов. Для решения конкретной задачи можно выбрать тот или иной способ, в зависимости от удобства его применения.

Граф может быть задан:

Рисунком.

2. Перечислением вершин и ребер:

.

Матрицей.

Пример: Пусть граф G имеет 4 вершины и 4 ребра, т.е. и . Задать граф можно:

1) Рисунком:

2) Перечислением вершин и ребер:

 

3 ) Матрицей:

a) для неориентированного графа обычно задают матрицу смежности, элементы которой находятся по формуле:

b) для ориентированных графов задается матрица инцидентности, элементы которой находят по формуле:

 

 

Пример: Построить матрицу инцидентности для графа:

 

 

Замечание: Граф может быть задан и матрицей с весами на ребрах:

- если матрица симметричная, то граф неориентированный,

- если матрица несимметричная, то граф ориентированный.

 

Деревья.

 

Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т.п. Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели пользуются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.

1. Задача коммивояжера (бродячий торговец, торговый агент): состоит в отыскании лучшего маршрута для коммивояжера, который должен объехать все порученные ему города и вернуться назад в кратчайший срок или с наименьшими затратами на проезд. Строго математически эта задача может быть сформулирована так: дана матрица расстояний между городами и , причем . Среди замкнутых маршрутов , проходящих через каждый город только один раз, найти кратчайший путь, т.е. мы имеем задачу на экстремум:

Матрица С может быть симметричной для любых и ( для ) и может быть не симметричной, когда существуют и , такие что .

Алгоритм задачи коммивояжера используется:

1) для выбора кратчайшего маршрута почтальона;

2) для составления проекта строительства дорог по минимальной стоимости, которую нужно проложить между «n» - городами;

3) для выбора маршрутов автотранспорта при кольцевой доставке товара;

4) для планирования производства на конвейерах;

Часть VI. Элементы теории графов.

Основные понятия теории графов.

Определение 1. Графом называется совокупность 2-х множеств Х и У. Х - это множество точек, называемых вершинами графа, а У - это множество линий попарно соединяющие вершины и называемые ребрами или дугами.

 

Это определение можно сформулировать иначе: графом называется непустое множество точек (вершин) и отрезков (ребер), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек.

В дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A, B, C, D. Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.

Определение 2. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

 

Определение 3. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль – графом.

 

Определение 4. Если рассматривается упорядоченное множество точек, т.е. на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным; в противном случае граф называется неориентированным.

 

Определение 5. Сетью называется граф, в каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое число (или несколько чисел), которое называется весом дуги или ребра (). Например, расстояние между городами, стоимость прокладки дороги, потоки (пропускная способность дуги и т.д.).