Класифікація подій ,класичне означення ймовірності випадкової події ,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики ;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.

Предмет курсу.

Класифікація подій,класичне означення ймовірності випадкової події,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V. Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, …

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0 m n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!

Комбінаціями з n елементів по m

(0 m n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1.

2. із того, що , випливає, що: , ,

Числова функція P, що визначена на системі подій Q, називається ймовірністю, якщо:

1. Q є алгеброю подій;

2. для будь-якого A Ì Q існує P(A)³0;

3. P(W)= 1;

4. якщо А і В є несумісними (АÇВ)=Æ, то P(AÈB)=P(A)+P(B);

5. для будь-якої спадної послідовності подій із Q, такої, що

випливає рівність

Q,

 

Трійка (Q,W,R), де Q є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5, називається простором імовірностей.

Наслідки аксіом:

1. якщо випадкові події є несумісними попарно, то

2. якщо випадкові події утворюють повну групу, то

3. формула додавання для n сумісних

4. якщо випадкова подія А сприяє появі В(АÌВ), то P(A)£P(B)

Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей.

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними. Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С несумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C);

б) якщо події В і С сумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C)-P(BÇC).

 

Умовна ймовірність та її властивості.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(A B) / P(B), P(B) 0. Властивості умовної ймовірності:

1. P(A/B)=0, якщо AÇB=Æ

2. P(A/B)=1, якщо AÇB=B

3. у решті випадків 0<P(A/B)<1.

Формули множення ймовірностей для залежних та незалежних випадкових подій.

Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С незалежні, то P(A)=P(BÇC)=P(B)*P(C);

б) якщо події В і С залежні, то P(A)=P(BÇC)=P(B)*P(C/B).

Формула повної ймовірності та формула Байеса.

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

Закон розподілу Пуассона

Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини значень з імовірностями Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл Пуассона розглядається як статистична модель для кількості альфа-частинок, що їх випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу; кількості викликів, які надходять на телефонну станцію за певний період доби; кількості вимог щодо виплати страхових сум за рік; кількості дефектів на однакових пробах речовини і т. ін. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового обслуговування. Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень (0,1 – 20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності

Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли

Ймовірна твірна

25. Числові характеристики розподілу Біноміального закону розподілу:

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

Пуасонівський закон: M(X)=a=np; D(X)=a; P(X)=a.

Рівномірний закон розподілу

Якщо ймовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон розподілу. Щільність такого розподілу:

Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Числові характеристики розподілу:

27. Нормальний закон розподілу задається щільністю Параметри , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа:

Часто застосовується також формула:

Теорема Чебишова

Нехай послідовність незалежних випадкових величин,які задовольняють умовам:

1.M(X_і)>= a_і

2.D(X_і )<= с Для всіх і=1,2,3…..n

Якщо випадкові величини у послідовності незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел. Це означає що середне арифметичне достатньо великої кількості незалежних випадкових величин дуже мало відрізняється від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань,взятого за абсолютним значенням.

Ця теорема є законом великих чисел,так само як і центральна гранична теорема

Теорема Бернулі

Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність настання події А дорівнює р.Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з незалежних випробувань n є величиною сталою і дорівнює P,то при необмеженому збільшенні числа експериментів n→∞

Імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності p,взятої за абсолютною величиною на ε(ε>0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n,що можна записати так:

де — частота події А у даних випробуваннях. Таким чином при необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань за схемою Бернулі відносна частота дуже мало відрізняється від ймовірності.

Наведена теорема є законом великих чисел,так само як і центральна гранична теорема

37) Центральна гранична теорема. Для послідовності випадкових величин розглянемо:

Теорема. Якщо випадкові величини в послідовності незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то

тобто граничним розподілом для є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Теорема Ляпунова. Якщо для незалежних випадкових величин, які утворюють послідовність , існують моменти третього порядку і виконується умова

то для виконується співвідношен-
ня (2).

Наслідком розглянутих теорем є інтегральна теорема Лапласа.

У схемі незалежних повторних випробувань

де Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.

Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:

де m — частота події А у n випробуваннях.

38) Випадковим процесом називається процес, значення якого за будь-якого значення аргументу t є випадковою величиною.

Реалізацією випадкового процесу називається детермінована функція , на яку перетворюється випадковий процес внаслідок випробування, тобто його траєкторія.

Кілька реалізацій певного випадкового процесу зображено на рис. 4.1. Нехай переріз цього процесу при даному t є неперервною випадковою величиною. Тоді випадковий процес при даному t визначається щільністю ймовірності

Очевидно, що щільність імовірності не є вичерпним заданням випадкового процесу , оскільки вона не виражає залежності між його перерізами в різні моменти часу.

Випадковий процес являє собою сукупність усіх перерізів за всіх можливих значень t, тому для його задання необхідно розглядати багатовимірну випадкову величину утворену з усіх перерізів цього процесу.

Таких перерізів нескінченно багато, але для задання випадкового процесу вдається обмежитись порівняльно невеликою кількістю перерізів.

Випадковий процес має порядок п, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу п довільних перерізів процесу, тобто щільністю п -вимірної випадкової величини де — переріз випадкового процесу у момент часу

Випадковий процес може бути заданий числовими характеристиками.

Математичним сподіванням випадкового процесу називається детермінована функція яка за будь-якого значення змінної t дорівнює математичному сподіванню відповідного перерізу випадкового процесу , тобто

Дисперсією випадкового процесу називається детермінована функція , яка за будь-якого значення змінної t дорівнює дисперсії відповідного перерізу випадкового процесу , тобто

Середнім квадратичним відхиленням випадкового процесу називається арифметичне значення квадратного кореня з його дисперсії, тобто

Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення

— розкид реалізацій відносно середньої траєкторії

 

Предмет курсу.

Класифікація подій,класичне означення ймовірності випадкової події,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V. Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, …

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0 m n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!

Комбінаціями з n елементів по m

(0 m n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1.

2. із того, що , випливає, що: , ,

Числова функція P, що визначена на системі подій Q, називається ймовірністю, якщо:

1. Q є алгеброю подій;

2. для будь-якого A Ì Q існує P(A)³0;

3. P(W)= 1;

4. якщо А і В є несумісними (АÇВ)=Æ, то P(AÈB)=P(A)+P(B);

5. для будь-якої спадної послідовності подій із Q, такої, що

випливає рівність

Q,

 

Трійка (Q,W,R), де Q є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5, називається простором імовірностей.

Наслідки аксіом:

1. якщо випадкові події є несумісними попарно, то

2. якщо випадкові події утворюють повну групу, то

3. формула додавання для n сумісних

4. якщо випадкова подія А сприяє появі В(АÌВ), то P(A)£P(B)