В задании III требуется найти интеграл от рациональной функции. Опишем указанную процедуру, приведя основную теорему.

1. Рациональной дробью называется выражение вида , где и многочлены от переменной х степени n и m соответственно.

Например, дроби , , являются рациональными дробями относительно переменной х.

2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

В предыдущих примерах первая дробь будет правильной, а две последние неправильными.

3. Простейшими дробями будем называть дроби вида , , и , где дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателях двух последних дробей, строго меньше нуля, то есть эти знаменатели нельзя разложить на вещественные простые множители.

Если дробь неправильная, то из нее можно выделить целую часть, то есть представить дробь в виде , где многочлен степени n-m, а - многочлен степени , то есть дробь - правильная. Чтобы получить такое представление дроби, надо разделить числитель на знаменатель с остатком. Тогда многочленом будет неполное частное, а остаток от деления.

Правильную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших дробей.

 

Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Пусть дробь - правильная, несократимая и многочлен разложен на множители в области вещественных чисел, то есть , где все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней. Тогда

.

Замечание. Теорема утверждает, что каждая правильная дробь раскладывается на сумму простейших дробей в соответствии с разложением на множители знаменателя. Каждому множителю вида соответствует k дробей вида , где показатель i меняется от 1 до s, и в числителях стоят некоторые константы , и каждому множителю вида соответствуют m дробей вида , где показатель j меняется от 1 до r, а в числителях стоят линейные функции .

Рассмотрим теперь интеграл .

Чтобы его вычислить, достаточно руководствоваться несколькими правилами:

1) Если дробь неправильная, то из нее надо выделить целую часть. Последняя является многочленом, следовательно, легко интегрируется, поэтому проблема сводится к интегрированию правильной дроби.

2) Правильную дробь надо разложить на сумму простейших дробей. Тогда интеграл от этой дроби сведется к сумме интегралов от простейших дробей.

Как нам известно*, простейшие дроби бывают четырех типов: . Первые две из них интегрируются подведением под знак дифференциала:

.

Интегрирование третьей дроби мы уже рассматривали*.

Рассмотрим интегрирование простейшей дроби четвертого типа. Сначала выделим полный квадрат в знаменателе этой дроби: . Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то , поэтому можно ввести обозначение . Кроме того, введем замену переменной . Тогда ,

где . Первый из полученных интегралов берется подведением под знак дифференциала:

.

Что касается второго интеграла, то к нему применяется прием, называемый понижением степени. Обозначим этот интеграл через . Сначала преобразуем числитель этого интеграла

и разобьем его на два слагаемых .

Последний интеграл проинтегрируем по частям, положив .

Тогда ,

Откуда

.

 

Окончательно получим

Формула называется рекуррентной формулой и ею можно пользоваться при вычислении подобных интегралов, но так как эту формулу трудно выучить наизусть, предпочтительнее при вычислении таких интегралов пользоваться тем приемом, с помощью которого эта формула была получена.

В дальнейшем мы узнаем еще один способ вычисления подобного интеграла.

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: . Чтобы найти коэффициенты разложения, снова приведем сумму этих простейших к общему знаменателю. Тогда . Сравним первую дробь этого равенства с последней. Так как знаменатели этих дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е. . Теперь для нахождения неопределенных коэффициентов можно воспользоваться одним из двух критериев равенства двух многочленов:

1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены. Получится система , решая которую, находим А=3 и В=-2.

Тогда .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящая под интегралом, неправильная, поэтому из нее надо выделить целую часть. Это можно сделать делением числителя на знаменатель уголком

Отсюда

и .

Дробь, стоящую в последнем интеграле, разложим на простейшие: ,

Откуда

и .

Подставляя в первое равенство , получим или . Из второго равенства получаем систему

,

из которой окончательно находим все коэффициенты: .

Вернемся к интегралу от правильной дроби:

В последнем интеграле выделим полный квадрат в знаменателе и сделаем замену переменной . Тогда . Окончательно,