Основні поняття зонної теорії

Поряд із дозволеною та забороненою енергетичними зонами введемо поняття валентної зони та зони провідності (вільної зони). Перша утворюється з енергетичних рівнів електронів заповнених зовнішніх оболонок атомів, а друга - або частково заповнена валентними електронами, або вільна й утворюється енергетичними рівнями вільних, відірвавшихся від атомів електронів. В залежності від співвідношення між ширинами заборонених зон та наявністю зон провідності кристалічні тіла поділяються на три групи: метали, діелектрики та напівпровідники.

Метали. Кристали металу мають частково заповнену зону провідності. Наприклад, розглянемо кристал натрію. Цей атом має 11 електронів у таких станах . Усі оболонки, крім 3s, заповнені, а в останній знаходиться один електрон. При утворенні кристала з відповідних оболонок утворюються енергетичні зони. З них - зона, що відповідає валентній оболонці, заповнена наполовину, і є зоною провідності. На відміну від Na, в атомі магнію Mg, який має 12 електронів, оболонка 3s заповнена, але кристал є хорошим провідником. Це пов'язано з тим, що при утворенні кристала магнію, його кристалічне поле деформує зони так, що в результаті існує перекриття сусідніх 3s та 3p зон. У зв'язку з цим у Mg 3p зона є зоною провідності.

Діелектрикиабо ізолятори. У випадку, коли валентна зона заповнена повністю при T K, а зона провідності не має електронів і відстань DЕ між цими зонами (ширина забороненої зони) становить декілька еВ (> 5 еВ), то кристал відноситься до діелектриків. Під дією електричного або теплового поля електрони з валентної зони не можуть перейти у зону провідності. Виключення становить електричний пробій діелектрика - електрична іонізація атомів криcтала. До таких кристалів відносяться, наприклад, NaCl із DЕ= 6 еВ, вуглець С із DЕ= 5,2 еВ та інші.

Напівпровідники(н/п). До класу н/п відносять кристали з вільною зоною провідності і повністю заповненою валентною зоною при T K, як і у випадку діелектриків, але у них ширина забороненої зони DЕ < 3 еВ (див. Таблицю 1). Наприклад, кремній Sі має D Е = 1,1 еВ, германій Ge - DE = 0,72 еВ, As - DE=1,2 еВ, Se має DЕ=0,1 еВ, Те має DЕ=0,3 еВ і т.п. Для таких кристалів достатньо теплових енергій, щоб перевести електрон із валентної зони до зони провідності.

Під дією зовнішнього електричного поля на напівпровідник, в ньому поряд із направленим рухом вільних електронів у зоні виникає направлений рух валентних електронів по вакансіям у валентній зоні (якщо вони є), тобто без відриву від атомів.

Цікавим є утворення зон у кристалах елементів четвертої групи, наприклад, кремнію. Ці елементи мають 4 валентних електронів і їх кристали мали б бути металами, так як валентна р-зона містить два електрони на атом і заповнена лише на 1/3. Але експеримент показує, що 3р-зона розчіплюється на дві зони, одна з яких об’єднується з 3s-зоною, а друга виступає як валентна і повністю заповнена при температурі T K, тобто кремній є напівпровідником. На сьогоднішній день утворено багато бінарних сплавів, що виявляють властивості напівпровідників. Наприклад, Mg₂Sn із DЕ= 0,3 еВ, Ag₂Te із DЕ=0,17 еВ, GaAs із DЕ=1,4 еВ та багато інших.

 

Таблиця 1. Характеристики діелектриків та напівпровідників.

Елемент	Z	DE,еВ	Енергія іонізації атома
Бор B		1,1	8,4
Вуглець C		5,2	11.22
Кремній Sі		1,1	7.39
Фосфор P		1,5	10.3
Сірка S		2,5	10,31
Германій Ge		0,72	7,85
Миш¢як As		1,2	9,4
Селен Se		1,7	9.75
Олово Sn		0,1	7,37
Сурма Sb		0,12	8,5
Телур Te		0,36	9,1
Йод J		1,25	10,44

Електропровідність металів

а). Рівняння динаміки руху електронів. Метод ефективної маси

Для дослідження руху електронів у періодичному полі кристала достатньо записати та розв'язати рівняння другого закону Ньютона

_, (1)

де m-класична маса електрона, - сила створена зовнішнім електричним, а - кристалічним полями. Але для цього потрібно описати у явному вигляді , що ми зробити не в змозі. З огляду на це, було запропоновано досліджувати рух електрона у кристалі методом ефективної маси . В основі методу лежить корпускулярно-хвильовий дуалізм електрона: псі-функція електрона у кристалі являє собою хвильовий пакет з несучою частотою , яка є функцією хвильового вектора . У такому випадку покладаємо, що швидкість електрона V співпадає із груповою швидкістю V_гр хвильового пакета

(2)

і може бути визначена через його енергію наступним чином

. (3)

Під дією зовнішньої сили електрон придбаває імпульс , який зв’язаний з нею другим законом Ньютона

. ( 4)

Величину прискорення електрона можна визначити з (3) таким чином

. (5)

Враховуючи (4), маємо

. (6)

Вираз (6) можна представити у вигляді рівняння другого закону Ньютона для електрона

,

де

(7)

так звана ефективна маса електрона. Цю масу можна тлумачити як міру інертності електрона до дії зовнішньої сили , у просторі періодичного потенціального поля кристала. У такому випадку властивості криcталічного поля закладаються у залежність енергії Е від хвильового вектора . Ця залежність визначається розв'язком відповідного рівняння Шредінгера. Підсумовуючи розглянуте, можна стверджувати, що метод ефективної маси дає можливість розглянути рух електрона у кристалічному полі під дією зовнішнього електричного поля, як рух вільного електрона, згідно рівняння (6).

Знаючи залежність Е від k, можна визначити та характер руху електрона. Наприклад, для одновимірного кристала біля дна першої дозволеної зони (точка А) залежність Е від k квадратична (див.на Мал.227) і співпадає з такою для вільного електрона, тобто:

» m.

У точках перегину кривої (точка В) друга похідна від Е(k)

Це означає, що електрони, які знаходяться посередині енергетичної зони, беруть обмежену участь в електропровідності. На верхніх енергетичних рівнях, під стелею першої зони Брилюєна (точка С), Е має максимум:

Це означає, що під дією сили електрони набувають прискорення, протилежного напрямкові цієї сили.

б). Квантова теорія електропровідності металів

 

Як показують квантово-механічні розрахунки величина провідності s металів з уведенням ефективної маси , по вигляду, співпадає із класичною провідністю

, (8)

де n- концентрація вільних електронів із зарядом e, t - час релаксації (фактично час вільного пробігу).

Щодо температурної залежності s, то до Т=50 К вона та співпадає з дослідними даними, на відміну від класичної теорії, де .

Зазначимо, що опір направленому рухові електронів під дією зовнішнього електричного поля пов'язаний з розсіюванням їх на тепловому коливальному русі вузлів кристалічної решітки (фононах) та її дефектах, домішках, вакансіях і механічних неоднорідностях.