Магнетне поле у вакуумі і середовищі

Основні формули

1. Закон Біо-Савара-Лапласа

 

,

 

де dB – індукція магнетного поля, яку створює елемент провідника зі струмом;

– магнетна проникність;

– магнетна стала ( ₀= 4 Гн/м);

– вектор, який дорівнює за модулем довжині dl провідника і збігається за напрямком зі струмом у провіднику);

I – сила струму;

– радіус-вектор, проведений від середини елемента провідника до точки, в якій визначається магнетна індукція.

2. Модуль вектора виражається формулою

,

де φ – кут між векторами і .

3. Магнетна індукція поля довгого прямого провідника з струмом

 

,

 

де r₀ – відстань від осі провідника до точки, у якій визначається магнетна індукція (рис.21).

При симетричному розміщенні кінців провідника відносно точки, в якій визначається магнетна індукція (рис.22 а,б), – cos = cos = cos , а тому

.

4. Магнетна індукція поля безмежно довгого провідника з струмом виражається формулою

 

Рисунок 21 Рисунок 22

 

Позначення зрозумілі з рис. 21. Напрямок вектора збігається з дотичною до силової лінії, напрям якої визначається правилом правого гвинта.

 

5. Магнетна індукція В пов'язана з напруженістю H магнетного поля співвідношенням

або у вакуумі

 

.

 

6. Магнетна індукція у центрі колового провідника зі струмом

 

,

 

де R – радіус кривизни провідника.

 

 

7. Магнетна індукція поля, яку створює соленоїд у середній його частині (або на осі тороїда)

 

,

 

де n – кількість витків, які припадають на одиницю довжини соленоїда або тороїда;

I – сила струму в одному витку.

8. Принцип суперпозиції магнетних полів. Магнетна індукція В результуючого поля дорівнює векторній сумі магнетних індукцій B₁, В₂,_...., В_n полів, що існують у даній точці, тобто

 

.

 

У випадку накладання двох полів

 

 

а абсолютне значення вектора магнетної ідукції

 

 

де а – кут між векторами В₁ і В₂.

9. Закон Ампера. Сила, яка діє на провідник зі струмом в магнетному полі

 

,

 

де I – сила струму; – вектор, який дорівнює за модулем довжині l провідника і збігається за напрямком зі струмом.

Модуль вектора F визначається такою формулою:

 

,

 

де а – кут між векторами і .

Сила взаємодії двох прямих нескінченно довгих паралельних провідників зі струмами І₁ і І₂, розміщених на відстані d один від одного, що діють на відрізок провідника довжиною l, виражається формулою

 

.

 

10. Магнетний момент контуру зі струмом

 

,

 

де – вектор, який дорівнює за модулем площі S, яку охоплює контур, і збігається за напрямком з нормаллю до його площини.

11. Механічний момент, який діє на контур зі струмом, розміщений в однорідному магнетному полі

 

.

 

Модуль механічного моменту

 

,

 

де а – кут між векторами і .

 

12. Сила, що діє на контур зі струмом в магнетному полі (змінному вздовж осі х),

,

 

де – зміна магнетної індукції вздовж осі х, розрахована на одиницю довжини;

а – кут між напрямками векторів і .

13. Закон повного струму для струму провідності: циркуляція вектора напруженості Н магнетного поля вздовж замкненого контуру, що охоплюється струмом І, виражається формулою

,

 

де Н_l – проекція вектора Н на напрямок дотичної до контуру, що містить елемент dl;

І – сила струму, яка охоплюється контуром.

Якщо контур охоплює n струмів, то

 

де – алгебраїчна сума струмів, які охоплює контур.

14. Магнетний потік Ф через плоский контур площею S:

- увипадку однорідного поля

 

або

 

де а – кут між вектором нормалі до площини контуру і вектором магнетної індукції ;

В_n – проекція вектора на нормаль (В_n =Bcosa);

- увипадку неоднорідного поля

 

,

де інтегрування ведеться через всію площу S.

15. Потокозчеплення, тобто повний магнітний потік, зчеплений зі всіма витками соленоїда або тороїда

 

,

 

де Ф – магнетний потік через один виток;

N – кількість витків соленоїда або тороїда.

16. Магнетна індукція на осьовій лінії тороїда

 

,

 

де І – сила струму в обмотці тороїда;

N – кількість витків в тороїді;

l – довжина середньої лінії сердечника тороїда;

– магнетна проникність речовини тороїда;

– магнетна стала;

17. Напруженість магнетного поля на осьовій лінії сердечника тороїда

;

 

- магнетний потік в сердечнику тороїда

 

;

 

- магнетний опір ділянки кола

 

.

 

18. Магнетна проникність феромагнетика, пов'язана з магнетною індукцією В поля в ньому і напруженістю H намагнечувального зовнішнього магнетного поля співвідношенням:

 

.

 

19. Зв’язок між магнетною індукцією поля В феромагнетика і напруженістю зовнішнього магнетного поля H, яке викликає намагнечування, виражається таким графіком.

 

 

 

Графік залежності магнетної індукції поля

у магнетику від напруженості зовнішнього магнетного поля

Приклади розв’язання задач

 

Приклад 1. По двох нескінченно довгих паралельних провідниках у повітрі течуть в однаковому напрямку струми I₁ й I₂ (рис.23). Провідники розташовані на відстані 5 см один від одного. Знайти величину струму I₁, якщо індукція магнетного поля у точці, рівновіддаленій від обох проводів на 3,5 см, дорівнює 3^.10^-5 Тл, а сила струму I₂ дорівнює 2 А.

 

Рисунок 23

Дано:

l = 5 см = 5^.10^{-2 м}

I₂ = 2 А

r₁ = r₂ = 3,5 см = 3,5^.10^{-2 м}

В = 3^.10^-5 Тл

___________________

I₁ –?

Розв’язування. Використаємо принцип суперпозиції

,

де

, .

 

Для розрахунку результуючого магнетного поля використаємо теорему косинусів

 

, (1)

 

де a – кут між векторами і .

Вектори і спрямовані по дотичних до силових ліній у точках, що відстоять від струмів I₁ і I₂ на відстані r₁ і r₂, відповідно.

Оскільки кут a між векторами і дорівнює такому ж куту між сторонами трикутника (рис.22), то

 

cos =

або

cos = .

 

Підставляючи в (1) вирази для В₁ і В₂ з врахуванням того, що r₁=r₂, одержимо

 

( cos )^1/2.

Звідки

сos =

і

= 0

 

Підставляючи дані з умови задачі, одержимо квадратне рівняння відносно І₁

- 0,0816^.I₁ - 23,56 = 0.

 

Звідки

.

 

Оскільки від’ємне значення струму I₁ відповідає протилежному відносно I₂ напрямку протікання, то воно не може бути розв’язком задачі.

Таким чином

 

I₁ = (9,79/2) А = 4,895 А.

 

Відповідь: I₁ = 4,895 А.

 

Приклад 2. Напруженість магнетного поля у центрі квадратної рамки з струмом дорівнює 30 А/м. Знайти силу струму, що протікає по рамці, якщо довжина її сторін 10 см.

Дано:

квадратна рамка

Н = 30 А/м

а = 10 см = 10^{-1 м}

________________

I –?

Розв’язування. Відомо, що напруженість магнетного поля пов'язана з вектором магнетної індукції співвідношенням

 

.

 

Звідки

В = Тл.

 

У центрі рамки всі вектори магнетної індукції, що відповідають магнетному полю струмів, які протікають по різних сторонах рамки, однакові за величиною й напрямком. Тому В = 4В₁, де В₁ – магнетна індукція магнетного поля, створеного струмом однієї із сторін

 

 

де r₀ – відстань від центра рамки до кожної із сторін;

 

r₀ = a/2 = 5 см = 0,05 м.

Кут a для квадратної рамки дорівнює 45^о і сos45^о .

Тому

або .

 

Виконаємо необхідні розрахунки, підставивши всі дані в системі СІ,

В = 3,77^.10^-5 Тл; a = 0,1 м; m = 1; m₀ = 4p^.10^-7 Гн/м.

Приклад 3. Індукція магнетного поля у центрі мідного дротяного кільця з струмом дорівнює 10^-5 Тл. Який переріз має дріт цього кільця, якщо після увімкнення до його кінців різниці потенціалів в 0,2 В, по кільцю тече струм силою 2 А. Питомий опір міді = 1,7^.10^-8 Ом^.м.

Дано:

В = 10^-5 Тл

U = 0,2 В

I = 2 А

ρ = 1,7^.10^-8 Ом^.м

S –?

Розв’язування. Індукція магнетного поля у центрі кільця з струмом

. (1)

 

Із закону Ома для ділянки кола маємо

 

, (2)

 

де l = 2pr – довжина кільця;

r – радіус кільця;

R – опір дроту кільця.

Підставляючи вираз для l в (2), одержимо

 

.

 

Звідки

і

 

З останньої формули знаходимо переріз

 

.

Підставимо числові дані:

 

= 0,134 мм².

 

Приклад 4. Електрон, пройшовши прискорюючу різницю потенціалів 50 В, влітає в однорідне магнетне поле під кутом 30^о до ліній індукції. Визначити величину вектора магнетної індукції, якщо радіус гвинтової лінії, по якій рухається електрон, дорівнює 10 см.

 

Дано:

U = 50 В

a = 30⁰

R = 10 см = 10^{-1 м}

______________

В –?

Розв’язання. У магнетному полі електрон під дією сили Лоренца бере участь у двох рухах: рівномірному русі в напрямку силових ліній магнетного поля і русі по колу в площині, перпендикулярній до силових ліній.

Рівномірний рух відбувається зі швидкістю сos , а рух по колу характеризується швидкістю sinα. Рух по колу відбувається під дією сили Лоренца, яка є доцентровою

 

,

де R – радіус кола.

З урахуванням того, що сила Лоренца дорівнює , одержуємо співвідношення

 

B = . (1)

 

Величина швидкості електрона визначається пройденою різницею потенціалів

eU = .

 

 

Звідки й .

 

 

Тоді, відповідно до формули (1), знаходимо

 

 

.

 

Підставимо числові дані, переводячи величини в систему СІ

Тл.

Електромагнетна індукція

Основні формули

1. Робота переміщення замкнутого контура зі струмом в магнетному полі

,

 

де – зміна магнетного потоку, який пронизує поверхню, обмежену контуром;

І – сила струму у контурі.

2. Основний закон електромагнетної індукції (закон Фарадея)

 

,

 

де – електрорушійна сила індукції;

N – кількість витків контуру;

– потокозчеплення.

Окремі випадки застосування основного закону електромагнетної індукції:

- різниця потенціалів U на кінцях провідника довжиною l, який рухається зі швидкістю в однорідному магнетному полі

 

,

 

де а – кут між напрямками векторів швидкості та магнетної індукції В;

- електрорушійна сила індукції , яка виникає в рамці, що містить N витків площею S. При обертанні рамки з кутовою швидкістю в однорідному магнетному полі з індукцією В виникає електрорушійна сила

 

,

 

де – миттєве значення кута між вектором і вектором нормалі до площини рамки.

3. Заряд Q, який протікає в контурі

 

 

де R – опір контуру;

– зміна потокозчеплення

4. Електрорушійна сила самоіндукції , яка виникає у замкнутому контурі при зміні сили струму в ньому

 

або

 

де L –індуктивність контуру.

5. Потокозчеплення контуру

,

 

де L – індуктивність контуру.

6. Індуктивність соленоїда (тороїда):

 

 

де – кількість витків, які припадають на одиницю довжини соленоїда;

V – об'єм соленоїда.

У всіх випадках, для знаходження індуктивності соленоїда (тороїда) з сердечником з використанням наведеної формули для визначення магнетної проникності, слід користуватися графіком залежності В від Н, а потім формулою

.

 

7. Миттєве значення сили струму І в колі, що має активний опір R та індуктивність L:

- після замикання кола

,

де – е.р.с. джерела струму;

t – час, що минув після замикання кола.

- після розмикання кола

,

 

де І₀ – значення сили струму в колі при t = 0;

t – час, що минув з моменту розмикання кола.

Приклади розв’язання задач

 

Приклад 1. У центрі плоскої колової дротяної рамки, яка складається з 50 витків радіусом 20 см, перебуває маленька рамка, яка складається з 100 витків площею 1 см². Маленька рамка обертається навколо одного з діаметрів великої рамки з постійною кутовою швидкістю 300 рад/с. Знайти максимальне значення ЕРС індукції, якщо в обмотці рамки тече струм силою 10 А.

Дано:

N₁ = 50

N₂ = 100

R = 20 см = 0,2 м

S =1 см² = 10^{-4 м2}

= 300 рад/с

I = 10 А

______________

_imax–?

Розв’язання. При обертанні маленької рамки постійно змінюється кут a між вектором і нормаллю до площини рамки й, отже, змінюється магнетний потік Ф, що пронизує маленьку рамку. У рамці виникає е.р.с. індукції, миттєве значення якої, за законом Фарадея, дорівнює

 

(1)

 

де Y = N₂Ф – потокозчеплення.

Оскільки розміри маленької рамки малі в порівнянні з розмірами великої рамки, то поле в межах маленької рамки можна вважати однорідним. Магнетну індукцію В цього поля можна виразити через індукцію поля в центрі рамок

(2)

 

Для однорідного поля магнетний потік, який пронизує маленьку рамку, дорівнює Ф = ВScos . З урахуванням того, що при обертанні рамки з постійною кутовою швидкістю миттєве значення кута = t, одержимо

 

Ф = ВS cos = BS cos t.

 

Підставляючи у формулу (1) вираз для Ф і диференціюючи його за часом, знайдемо миттєве значення ЕРС індукції

 

ξ_i = N₂BSw sinwt.

Максимальне значення ЕРС індукції дорівнює (sinwt=1)

ξ _{i max} = N₂BSw.

З урахуванням (2), одержимо

 

.

 

Виразимо всі величини в одиницях СІ: R = 0,2 м; S = 10^{-4 м2}; I = 10 А; w = 300 рад/с; m₀ = 4p^.10^-7 Гн/м; m = 1.

 

Виконавши обчислення, одержимо

 

 

Приклад 2. Контур у вигляді квадрата (рис.24) зі стороною 10 см перебуває в однорідному магнетному полі з індукцією 0,5 мТл так, що його площина становить кут 30^o з силовими лініями поля. Який заряд протече по контуру при вимиканні магнетного поля? Опір контуру 1 мОм.

 

Дано:

а = 10 см = 10^{-1 м}

В = 0,5 мТл = 5^.10^-4 Тл

α= 30^o

R =1 мОм = 1^.10^-3 Ом.

__________________

q –?

Розв’язання. При вимиканні магнетного поля магнетний потік Ф, що пронизує контур, змінюється. У контурі виникає е.р.с. індукції, миттєве значення якої за законом Фарадея дорівнює Рисунок 24

.

 

Миттєве значення сили індукційного струму визначається за законом Ома

 

За час dt по контуру протече заряд

Інтегруючи цей вираз, знайдемо повний заряд

 

.

 

Для однорідного магнетного поля початковий магнетний потік дорівнює

 

Ф₁ = BS cosa,

де a – кут між вектором магнетної індукції і нормаллю до площини контура;

S = а ² – площа квадрата.

З рисунка 23 видно, що b = 90^o – a. Отже, cosb = sina. Кінцевий магнетний потік Ф₂ = 0. Таким чином,

 

 

Виконавши необхідні обчислення, одержимо

 

Кл.

 

Приклад 3. Соленоїд із сердечником із немагнетного матеріалу містить 1200 витків, які щільно прилягають один до одного. При силі струму 4А магнетний потік, який створюється в соленоїді, дорівнює 4мкВб. Визначити індуктивність соленоїда й енергію його магнетного поля.

Дано:

N = 1200

I = 4 А

Ф = 4 мкВб = 4^.10^-6 Вб

_________________

L –? W –?

 

Розв’язування: Індуктивність соленоїда L пов'язана з потокозчепленням і силою струму I співвідношенням

 

= LI. (1)

 

У свою чергу, потокозчеплення можна знайти через потік Ф и число витків N (якщо витки щільно прилягають один до одного)

= NФ. (2)

 

З формул (1) і (2) знаходимо індуктивність соленоїда

. (3)

Енергія магнетного поля соленоїда

.

Виразивши L згідно з (3), одержимо

.

 

Підставимо у формули значення фізичних величин і зробимо обчислення:

 

Дж = 14,4 мДж.