Задача 3. Розрахунок валів при крученні

На міцність і жорсткість

Теоретична довідка

1. Зовнішні моменти, що закручують вал називають закручуючими моментами. При рівномірному обертанні вала сума закручуючих моментів дорівнює нулеві. Цю умову використовують, коли один з моментів, що діють на вал, невідомий.

2. При дії на вал закручуючих моментів М _і на ділянках вала виникають крутні моменти М _кр, які знаходять за правилом, що випливає з методу перерізів: крутний момент М _кру довільному перерізі вала дорівнює алгебраїчній сумі закручуючих моментів М, які розміщені з одного боку від перерізу. Додатними при цьому вважають моменти, що обертають проти ходу стрілки годинника, якщо дивитись вздовж зовнішньої нормалі до перерізу.

Графік зміни М _кр по довжині вала називають епюрою крутних моментів М _кр.

3. Умова міцності при крученнімає вигляд

.

Звідси

,

де - допустиме дотичне напруження; - полярний момент опору перерізу.

4. Кут закручування ділянки вала довжиною l, на якій виникає крутний момент М _кр, визначають за формулою:

(радіан),

або

(градусів),

де G - модуль зсуву матеріалу вала; I_p - полярний момент інерції перерізу.

Формули для визначення полярного моменту опору W_p і полярного моменту інерції I_p:

для круглого перерізу з діаметром d:

; ; ;

для кільцевого перерізу з зовнішнім діаметром D і внутрішнім d ():

; ; .

Умова жорсткості при крученні має вигляд:

,

де - відносний кут закручування.

Послідовність розв’язування задачі

1. Визначаємо невідомий закручуючий момент М ₀.

2. Знаходимо крутні моменти М _кр на ділянках вала та будуємо епюру крутних моментів.

3. З умови міцності визначаємо діаметр d круглого вала та діаметри D, d кільцевого вала та порівнюємо їх матеріалоємність.

4. Визначаємо кути закручування окремих ділянок вала круглого перерізу та будуємо епюру кутів повороту перерізів вала відносно лівого перерізу, вважаючи, що у цьому перерізі кут повороту дорівнює нулеві.

5. Перевіряємо вал на жорсткість.

Приклад 3

До вала (рис. 10, а), що рівномірно обертається, прикладені відомі закручуючі моменти , , та невідомий момент . Потрібно: визначити величину моменту ; побудувати епюру крутних моментів М _кр; підібрати з умови міцності діаметр d круглого вала та діаметри D, d (d/D=α= 0,6) кільцевого вала і порівняти їх матеріалоємність; знайти кути закручування φ окремих ділянок вала круглого перерізу та побудувати епюру кутів повороту перерізів вала відносно лівого перерізу, якщо модуль пружності матеріалу вала G= 80000 МПа; перевірити жорсткість вала, якщо допустимий відносний кут закручування .

Розв’язування

1. Знаходимо значення невідомого моменту з умови рівноваги, вибравши початково для нього довільний напрям, наприклад проти ходу годинникової стрілки:

,

.

Знак «-» вказує, що початково напрям моменту вибрано невірно. Його слід змінити на протилежний і далі знак «-» не враховувати.

 

Рис. 10

2. Визначаємо крутні моменти на ділянках вала:

За цими даними будуємо епюру М _кр (рис. 10, б).

3. Підбираємо діаметри круглого та кільцевого перерізів вала з умови міцності

.

Звідси

.

З епюри М _крзнаходимо .

Допустиме напруження .

Для круглого перерізу з діаметром d полярний момент опорувизначають за залежністю . Тоді

.

Для кільцевого перерізу з діаметрами D, d (d/D =α =0,6)

.

Тоді

; .

Порівняємо матеріалоємність круглого та кільцевого валів, яка пропорційна площам їх поперечних перерізів. Знаходимо

Обчислюємо відношення Тобто, матеріалоємність круглого вала більша від матеріалоємності кільцевого вала в 1,41 рази.

4. Визначаємо кути закручування ділянок круглого вала (в градусах) за формулою

.

Урахувавши, що: = , та ввівши коефіцієнт , знаходимо

.

Знайдемо кути повороту перерізів вала відносно його лівого кінця:

За цими даними будуємо епюру кутів повороту вала (рис.10,в).

5. Перевіряємо жорсткість вала за умовою жорсткості . Для цього визначаємо відносні кути закручування ділянок вала за формулою

.

, ,

,

.

Умова жорсткості виконується.

 

 

Задача 4. Розрахунок на міцність балок при прямому згині

Теоретична довідка

1. Під час дії на закріплену балку вертикального навантаження в її опорах виникають опорні реакції. Для їх визначення в балках з шарнірними опорами доцільно використати рівняння статики

,

де через А, В позначені опори балки.

Визначені реакції слід обов’язково перевірити, використавши рівняння

,

де – вертикальна вісь, перпендикулярна до осі балки.

Для балок з защемленим краєм (консольних балок) визначати опорні реакції не обов’язково, оскільки при розв’язуванні задачі можна обійтись без них.

2. Унаслідок дії на балку зовнішнього навантаження в її поперечних перерізах виникають внутрішні сили: поперечна сила Q (x)та згинальний момент М (х). Їх визначають методом перерізів за такими правилами: поперечна сила Q (x)в довільному перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі сил, які розміщені з одного боку від перерізу. Додатними при цьому вважають сили, що направлені угору (коли брати суму лівих сил), або вниз (коли брати суму правих сил); згинальний момент М (х) у довільному перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі моментів лівих або правих сил відносно центра перерізу. Додатними при цьому вважають моменти, які прогинають балку випуклістю вниз.

Правила знаків для Q (x)та М (х)показані на рис. 11.

 

Рис. 11

 

Графіки зміни Q (x) та М (х) по довжині балки називають епюрами Q (x) і М (х).

3. Основні правила для перевірки епюр:

а) якщо в якісь точці балки діє зовнішня сила, то в цій точці епюра Q (x)має розрив, який дорівнює величині цієї сили, а якщо зовнішній момент - розрив має епюра М (х) на величину цього моменту;

б) якщо на ділянці балки немає розподіленого навантаження q, то на цій ділянці Q (x)= const, а М (х)- лінійна функція;

в) якщо на ділянці балки діє рівномірно розподілене навантаження q, то на цій ділянці Q (x)- лінійна функція, а М (х) – парабола. У даному випадку в тій точці, де Q (x) = 0, М (х) = М _max.

4. Умова міцності при згині балки має вигляд

.

Звідси

,

де - момент опору перерізу відносно горизонтальної осі z.

Для деяких основних видів перерізів балок величину визначають за формулами:

а) круглий переріз з діаметром d: ;

б) прямокутний переріз з шириною b і висотою h: ;

в) кільцевий переріз з зовнішнім діаметром D і внутрішнім d:

,

де ;

г) прокатні профілі - двотавр, швелер та інші: величину знаходять за номером профілю з таблиць сортаменту.

5. Матеріалоємність профілів балок (вага одиниці довжини) пропорційна площам поперечних перерізів.