Методические указания для выполнения семестровой работы

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания для выполнения семестровой работы

Волгоград 2011

 

УДК

 

Рецензент

 

А.Е. Годенко

 

 

Издаётся по решению редакционно-издательского отдела

Волгоградского государственного технического университета.

 

Неопределённые интегралы: Методические указания для выполнения семестровой работы / сост. В.И.Шушков, В.Н.Поляков.

 

Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011.-23с.

В пособии представлены рекомендации по изучению темы «Неопределённый интеграл». Изложен в кратком виде теоретический материал, необходимый для нахождения интегралов. Показаны разные методы нахождения интегралов. Дано много решённых примеров нахождения интегралов от различных классов функций. Рассмотрены решения одних и тех же интегралов различными методами.

Предназначено для студентов первого курса всех специальностей и всех форм обучения.

©Волгоградский государственный

Технический университет 2011.

§ 1 введение в интегралы

или подготовка к восприятию интегралов

Прежде чем приступить к изучению интегрального исчисления, необходимо повторить дифференциальное исчисление, ибо действие интегрирования является обратным по отношению к операции дифференцирования, а обратные действия являются более сложными. Так, например, извлечение корня (обратное действие по отношению к возведению в степень) более сложное действие, чем возведение в степень, действия с обратными тригонометрическими функциями также являются более сложными, чем действия с тригонометрическими функциями и т.д.

При интегрировании особо часто будем пользоваться понятием дифференциала функции, поэтому вспомним о том, что дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. дифференциал функции y=f(x) определяется формулой

dy=f^′(x)dx (1)

если у=f(x) сложная функция вида y=f(u(x)), то согласно свойству инвариантности дифференциала (1) можно записать в виде

dy=f^′(u)du (2)

Вспомним дифференциалы основных элементарных функций:

 

Таблица 1

ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНЦИЙ

1. d(u^m)=mu^m-1du. V1. d(ctgu)=- 1X. d(е^u)= е^u du

11. d(lnu)= . V11. d(arcsinu)= X. d(shu)=chudu

(11)^*. d(log _a u)= . (V11)^*. d(arccosu)=- X1. d(chu)=shudu

111. d(sinu)=cosu du V111. d(arctgu)= X11. d(thu)=

1V. d(cosu)=-sinudu (V111)^*. d(arcctgu)= - X111. d(cthu)=-

V. d(tgu)= 1X. d(а^u )= а^u ln а du X1V.

Но в интегральном исчислении чаще всего нам надо будет читать эти формулы справа налево. При этом будет искать такую функцию f(x), дифференциалом которой является выражение вида ψ(x)dx, т.е. чтобы соблюдалось равенство ψ(x)dx=df(x), а это уже действия обратные по отношению к нахождению дифференциала функции и они сложнее. Поэтому потренируемся выполнять такие действия на примерах.

Пример 1. Найти такие функции, дифференциалы которых описываются следующими выражениями: а) x²dx; b) sin(2x)dx; c) sin(x)cos(x)dx; d) ; e) ; f) ;

g) ; h) , t) .

Решение:

а) x²dx; замечаем, что по формуле (1) d(x³)=3x²dx, следовательно, x²dx= d( x³);

b) sin(2x)dx; подведём число 2 под знак дифференциала и, соответственно разделим на 2, получим sin(2x)dx= sin(2x)d(2x)=

=- dcos(2x) (смотри формулу 1V. табл.1), здесь функция u=2x.

c) sin(x)cos(x)dx; решим этот пример различными способами. В начале представим произведение sin(x)cos(x) по формуле двойного угла для синуса - получим sin(x)cos(x)dx= sin(2x)dx=- dcos(2x). Т.е. мы пришли к предыдущему примеру. Подведём теперь под знак дифференциа-

ла cos(x) получим sin(x)cos(x)dx= sin(x)dsin(x)= dsin²(x). Теперь функция u=sin(x). Можно подвести под знак дифференциала sin(x) получим sin(x)cos(x)dx= - cos(x)dcos(x)= - dcos²(x).Здесь мы, как и в предыдущем варианте воспользовались формулой 1. табл.1 только теперь u=cos(x). Проанализировав результат, мы видим интересный факт sin(x)cos(x)dx=

=- dcos(2x)= dsin²(x)=- dcos²(x), а именно дифференциалы различных функций одинаковые, однако если воспользуемся основным тригоно- метрическим тождеством и формулами понижения степени для синуса или косинуса, то увидим, что все эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

d) . Подведём под знак дифференциала подкоренное выражение. d(1-x²) =-2xdx, следовательно, xdx= - d(1-x²) получим = =- d . Здесь мы воспользовались формулой X1V. табл. 1 при этом учли, что u=(1-x²).

e) . Заметим, что =d(arcsinx), получим =dln(arcsinx). В этом примере сработала формула X1. табл.1, где u=(arcsinx).

f) = =(arcsin^-2x)d(arcsinx)=-d(arcsinx)^-1=-d .

Мы привели решение без пояснений оно на начальном этапе похоже на решение в предыдущем примере, лишь в конце воспользовались формулой 11. табл.1.

g) . Найдём дифференциал знаменателя d(cos²x + sinx)=

=(-2(cosx)(sinx)+cosx)dx=(cosx-sin2x)dx, следовательно, в числителе стоит дифференциал знаменателя, тогда имеем = = =dln(cos²x+sinx). (u=cos²x+sinx, формула 11. табл.1).

h) . Решение приведём без пояснений. d(5+3lnx)= , следовательно, = d(5+3lnx), тогда = =

=dln(5+3lnx). Здесь u=5+3lnx.

t) = =2 .

Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос дифференциалы, каких функций описывают данные ниже выражения?

1) ; 2) tgxdx; 3) ctgxdx; 4) ; 5) xsin(x2)dx; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Правильность решения проверьте дифференцированием.

 

§2 Первообразная функция и неопределённый интеграл

Потренировались немного, а теперь пeрейдём непосредственно к неопределённым интегралам. Во-первых, вспомним, что неопределённый интеграл от функции f(x) есть совокупность первообразных этой функции, а первообразной функции f(x) называется такая функция F(x) производная которой равна f(x), т.е. выполняется условие F′(x)= f(x). Это определение неопределённого интеграла. И ещё вспомним, что функция f(x) имеет множество первообразных, и все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое (теорема 1), поэтому в определении и фигурирует слово «совокупность». В справедливости теоремы мы уже убедились, решив пример 1с) на стр.5.

Перейдём теперь к теоремам, которые непосредственно указывают на взаимную обратимость действий интегрирования и дифференцирования.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен дифференцируемой функции F(x) плюс произвольная постоянная. Или-в символической записи теорема записывается так:

= F(x)+С. (3)

Очень полезная теорема. С помощью этой теоремы можно находить некоторые интегралы методом подведения под знак дифференциала. Далее мы в этом убедимся на примерах.

Теорема 3. Производная от интеграла по переменной интегрирования равна интегрируемой функции. В символической записи терема примет вид:

. (4)

Эта теорема позволяет нам проверять правильность нахождения интегралов, т.е. нахождения первообразных.

Осталось вспомнить свойства интегралов, которые определяются следующими двумя теоремами:

Теорема 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. Или в символах:

. (5)

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Таблица 2

1. , m# -1. 1X. .

11. (1X.)^*

111. X.

1V. X1.

V. X11.

V1. Х111.

V11. = -arccosu+C X1V.

(V11.)^* XV.

V111. =- arcctgu+C XV1.

(V111.)^* = - +C

Здесь переменная u может быть независимой переменной или некоторой функцией от другой переменной, например, u=u(x). Формулы 1.-Х1V. непосредственно следуют после применения теоремы (2) к аналогичным номерам таблицы 1.

При применении табличных интегралов иногда бывает полезной формула . (7)

Метод замены переменной.

Если в можно найти такую функцию x=x(t) и dx= (t)dt, что после замены переменной = в правой части получаем более простой интеграл или табличный, то имеет смысл воспользоваться такой заменой.

Пример 1. Найти . Решение. Положим x=t²+1, тогда dx=2tdt, x-1=t² =t. Получаем = +С. Перейдём к старой переменной х. Имеем t= , тогда = +С.

Пример 2. Найти . Решение. Пусть x=asint, тогда dx=acostdt, = . Эта подстановка позволяет нам освободиться от корня. Получаем = = Здесь мы воспользовались формулой понижения для косинуса: cos²t= (1+cos2t). Выполним обратную замену. Так как x= a sint, следовательно, sint= , t=arcsin , sin2t=2costsint, cost= , sin2t=2 =2 . Окончательно имеем = (arcsin + )+C.

В некоторых интеграла лучше найти такую функцию t=t(x), чтобы под знаком интеграла было выражение .

Пример 3. Найти . Решение. Возьмём функцию t=sinx, dt=cosxdx. Выполним замену переменной, получим = = = +С. Выполним обратную замену, получим =

Успех при интегрировании методом замены переменной во многом зависит от того, насколько мы удачно выбрали функцию.

 

Интегрирование по частям.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные, то справедлива формула

, (8)

которая называется формулой интегрирования по частям. При этом в левом интеграле за u и v выбираются такие функции, чтобы в правой части получился интеграл, либо табличный, либо более простой, чем в левой части. С помощью этой формулы находятся, например, интегралы вида:

1. e^mxdx, sin(mx)dx, cos(mx)dx.

11. lnxdx, arcsinxdx, arccosxdx, arctgxdx, arcctgxdx.

111. cos(bx)dx, sin(bx)dx, где Р(х) во всех интегралах – многочлен степени n относительно переменной х. В интегралах 1 вида принимают u=P(x) за dv всё остальное. В интегралах 11 вида за dv принимают P(х)dx за функцию u оставшийся множитель. В интегралах 111 вида формулу придётся применять дважды. За функцию u принимается либо е^ах тогда за dv оставшееся выражение, либо принимают dv=e^axdx тогда за u оставшийся множитель.

. Найти следующие интегралы:

Пример 1. Найти . Решение. Интеграл 1. вида, следовательно, u=x²+3x, dv=sin dx, тогда du=(2x+3)dx, v= -2 cos и по формуле (8) имеем =(x²+3x)(- 2 cos )- .

В правой части получили интеграл опять вида 1., но степень многочлена уменьшилась. Применим к нему опять формулу интегрирования по частям полагая за u=2x+3 за dv=cos dx, тогда du=2dx, v=2sin . Вынесем -2 за знак интеграла получим: =-2(x²+3x)cos +2(2x+3)2sin -

- ). К последнему интегралу применим формулы (6), (7) и 1. таблицы 2. Получим окончательный результат =

=-2(x²+3x)cos +2((2x+3)2sin +8cos )+C=-2(x²+3x)cos +4(2x+3)sin +

+16cos +C.

Пример 2. Найти . Решение. Имеем интеграл вида 11., поэтому положим u=arcsinx, dv=xdx, тогда du= , v= по формуле (8) по-лучим: = arcsinx- .(*) Найдём последний интеграл отдельно. К нему можно также применить формулу интегрирования по частям, хотя он и не похож ни на один из трёх видов интегралов, указанных выше. Положим за u=x, а за dv= , тогда du=dx, v= =- =- .Следовательно =x + + dx. Под знаком интеграла, в правой части равенства, умножим и разделим на , а затем числитель почленно разделим на этот же корень получим: = -x + dx= -x + - = -x +arcsinx- . В правой части получили тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его в левую часть, сложим и разделим на 2 обе части равенства_, получим: = (-x +arcsinx)+C₁. Подставим полученный интеграл в (*) положим С=- С₁ получим окончательный результат. = arcsinx- (-x +arcsinx)+C.

Пример 3. Найти . Решение. Интеграл вида 111.. Полагая u=e^3x, dv=cos dx тогда du=3e^3xdx, v=2sin , применим формулу (8), вынесем постоянные множители за знак интеграла, получим: =e^3x2sin -6 . В правой части интеграл того же вида. Положим опять u=e^3x, за dv=sin dx, имеем du=3e^3xdx, v=-2cos , следовательно, получаем: =2e^3xsin -6(e^3x(-2cos ) +6 ) =2e^3xsin + +12e^3xcos -36 . В правой части имеем тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его, вместе с коэффициентом, в левую часть сложим с левым интегралом, разделим на полученный коэффициент обе части равенства, предварительно вынесем общие множители за скобку, получим окончательный результат. = e^3x(sin +6cos )+С.

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания для выполнения семестровой работы

Волгоград 2011

 

УДК

 

Рецензент

 

А.Е. Годенко

 

 

Издаётся по решению редакционно-издательского отдела

Волгоградского государственного технического университета.

 

Неопределённые интегралы: Методические указания для выполнения семестровой работы / сост. В.И.Шушков, В.Н.Поляков.

 

Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011.-23с.

В пособии представлены рекомендации по изучению темы «Неопределённый интеграл». Изложен в кратком виде теоретический материал, необходимый для нахождения интегралов. Показаны разные методы нахождения интегралов. Дано много решённых примеров нахождения интегралов от различных классов функций. Рассмотрены решения одних и тех же интегралов различными методами.

Предназначено для студентов первого курса всех специальностей и всех форм обучения.

©Волгоградский государственный

Технический университет 2011.

§ 1 введение в интегралы

или подготовка к восприятию интегралов

Прежде чем приступить к изучению интегрального исчисления, необходимо повторить дифференциальное исчисление, ибо действие интегрирования является обратным по отношению к операции дифференцирования, а обратные действия являются более сложными. Так, например, извлечение корня (обратное действие по отношению к возведению в степень) более сложное действие, чем возведение в степень, действия с обратными тригонометрическими функциями также являются более сложными, чем действия с тригонометрическими функциями и т.д.

При интегрировании особо часто будем пользоваться понятием дифференциала функции, поэтому вспомним о том, что дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. дифференциал функции y=f(x) определяется формулой

dy=f^′(x)dx (1)

если у=f(x) сложная функция вида y=f(u(x)), то согласно свойству инвариантности дифференциала (1) можно записать в виде

dy=f^′(u)du (2)

Вспомним дифференциалы основных элементарных функций:

 

Таблица 1

ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНЦИЙ

1. d(u^m)=mu^m-1du. V1. d(ctgu)=- 1X. d(е^u)= е^u du

11. d(lnu)= . V11. d(arcsinu)= X. d(shu)=chudu

(11)^*. d(log _a u)= . (V11)^*. d(arccosu)=- X1. d(chu)=shudu

111. d(sinu)=cosu du V111. d(arctgu)= X11. d(thu)=

1V. d(cosu)=-sinudu (V111)^*. d(arcctgu)= - X111. d(cthu)=-

V. d(tgu)= 1X. d(а^u )= а^u ln а du X1V.

Но в интегральном исчислении чаще всего нам надо будет читать эти формулы справа налево. При этом будет искать такую функцию f(x), дифференциалом которой является выражение вида ψ(x)dx, т.е. чтобы соблюдалось равенство ψ(x)dx=df(x), а это уже действия обратные по отношению к нахождению дифференциала функции и они сложнее. Поэтому потренируемся выполнять такие действия на примерах.

Пример 1. Найти такие функции, дифференциалы которых описываются следующими выражениями: а) x²dx; b) sin(2x)dx; c) sin(x)cos(x)dx; d) ; e) ; f) ;

g) ; h) , t) .

Решение:

а) x²dx; замечаем, что по формуле (1) d(x³)=3x²dx, следовательно, x²dx= d( x³);

b) sin(2x)dx; подведём число 2 под знак дифференциала и, соответственно разделим на 2, получим sin(2x)dx= sin(2x)d(2x)=

=- dcos(2x) (смотри формулу 1V. табл.1), здесь функция u=2x.

c) sin(x)cos(x)dx; решим этот пример различными способами. В начале представим произведение sin(x)cos(x) по формуле двойного угла для синуса - получим sin(x)cos(x)dx= sin(2x)dx=- dcos(2x). Т.е. мы пришли к предыдущему примеру. Подведём теперь под знак дифференциа-

ла cos(x) получим sin(x)cos(x)dx= sin(x)dsin(x)= dsin²(x). Теперь функция u=sin(x). Можно подвести под знак дифференциала sin(x) получим sin(x)cos(x)dx= - cos(x)dcos(x)= - dcos²(x).Здесь мы, как и в предыдущем варианте воспользовались формулой 1. табл.1 только теперь u=cos(x). Проанализировав результат, мы видим интересный факт sin(x)cos(x)dx=

=- dcos(2x)= dsin²(x)=- dcos²(x), а именно дифференциалы различных функций одинаковые, однако если воспользуемся основным тригоно- метрическим тождеством и формулами понижения степени для синуса или косинуса, то увидим, что все эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

d) . Подведём под знак дифференциала подкоренное выражение. d(1-x²) =-2xdx, следовательно, xdx= - d(1-x²) получим = =- d . Здесь мы воспользовались формулой X1V. табл. 1 при этом учли, что u=(1-x²).

e) . Заметим, что =d(arcsinx), получим =dln(arcsinx). В этом примере сработала формула X1. табл.1, где u=(arcsinx).

f) = =(arcsin^-2x)d(arcsinx)=-d(arcsinx)^-1=-d .

Мы привели решение без пояснений оно на начальном этапе похоже на решение в предыдущем примере, лишь в конце воспользовались формулой 11. табл.1.

g) . Найдём дифференциал знаменателя d(cos²x + sinx)=

=(-2(cosx)(sinx)+cosx)dx=(cosx-sin2x)dx, следовательно, в числителе стоит дифференциал знаменателя, тогда имеем = = =dln(cos²x+sinx). (u=cos²x+sinx, формула 11. табл.1).

h) . Решение приведём без пояснений. d(5+3lnx)= , следовательно, = d(5+3lnx), тогда = =

=dln(5+3lnx). Здесь u=5+3lnx.

t) = =2 .

Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос дифференциалы, каких функций описывают данные ниже выражения?

1) ; 2) tgxdx; 3) ctgxdx; 4) ; 5) xsin(x2)dx; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Правильность решения проверьте дифференцированием.

 

§2 Первообразная функция и неопределённый интеграл

Потренировались немного, а теперь пeрейдём непосредственно к неопределённым интегралам. Во-первых, вспомним, что неопределённый интеграл от функции f(x) есть совокупность первообразных этой функции, а первообразной функции f(x) называется такая функция F(x) производная которой равна f(x), т.е. выполняется условие F′(x)= f(x). Это определение неопределённого интеграла. И ещё вспомним, что функция f(x) имеет множество первообразных, и все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое (теорема 1), поэтому в определении и фигурирует слово «совокупность». В справедливости теоремы мы уже убедились, решив пример 1с) на стр.5.

Перейдём теперь к теоремам, которые непосредственно указывают на взаимную обратимость действий интегрирования и дифференцирования.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен дифференцируемой функции F(x) плюс произвольная постоянная. Или-в символической записи теорема записывается так:

= F(x)+С. (3)

Очень полезная теорема. С помощью этой теоремы можно находить некоторые интегралы методом подведения под знак дифференциала. Далее мы в этом убедимся на примерах.

Теорема 3. Производная от интеграла по переменной интегрирования равна интегрируемой функции. В символической записи терема примет вид:

. (4)

Эта теорема позволяет нам проверять правильность нахождения интегралов, т.е. нахождения первообразных.

Осталось вспомнить свойства интегралов, которые определяются следующими двумя теоремами:

Теорема 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. Или в символах:

. (5)