Элементы теории операционного исчисления

Элементы теории операционного исчисления

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Пусть функция f (t)обладает следующими свойствами: 1⁰ f (t) 0при t < 0; 2⁰ | f (t)| < M при t > 0, где М > 0, т.е. f (t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s ₀ – показатель роста функции; 3⁰ На любом промежутке [ a, b ]положительной полуосивыполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.

Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл

= F (p)(1)

 

где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F (p) 0. При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F (p) наз. изображением оригинала. Переход от f (t) к F (p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f (t) =: F (p) или F (p) =: f (t). Для значения f (t) в точке разрыва t ₀ выбирают f (t ₀) = ½ [ f (t ₀ - 0) + f (t ₀ + 0)]. При этих условиях между f (t) и F (p) существует взаимно – однозначное соответствие.

Смысл преобразования – многим операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.

Нахождение изображений

Вычислим изображение единичной функции и экспоненты

Пр.1 ( t ) = , ( t ) =: = = ,

Re p > 0

Пр.2 = , =: = = ,

Re p > a = s ₀

 

Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.

С ₁ f ₁(t) + С ₂ f ₂(t) =: С ₁ F ₁(p) + С ₂ F ₂(p)

Из формулы Эйлера e^it = cos t + i sin t имеем соs t = ½(e^it + e^-it), sin t = ½ i (e^it - e^-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения

Пр.3 f (t) = cos t = ½(e^it + e^-it) =: ½ [ ] =

Пр.4 f (t) = sin t = ½ i (e^it - e^-it) =: 1/2 i [ ] =

Пр.5 f (t) = t =: = = + = = . f (t) = t ² =: = = + + = = . Аналогично имеем t ³ =: ,

t ⁴ =: ,... и получаем tⁿ =: .

Теоремы подобия, смещения, запаздывания

Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения,

f (аt) =: F (). (2)

Доказательство.

f (аt) =: = = =

= = = F ()

Пр.6 sin at =: = ; cos at =: =

Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s ₀, приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e^-zt

F (p + z) =: e^-zt f (t) (3)

Доказательство.

e^-zt f (t) =: = = F (p + z)

Пр.7 e^zt sin at =: ; e^zt cos at =:

Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту

f (t - ) ( t- ) =: F (p) (4)

Доказательство.

f (t - ) ( t- ) =: = +

+

Первый интеграл равен 0, т.к. ( t- ) = 0 при t < , во втором интеграле ( t- ) = 1 при

f (t - ) ( t- ) =: = =

= = F (p)

Пр.8 (t - ) =: и (t – a) (t - а) =: с учетом Пр. 5.

 

Поиск изображения по графику оригинала

Пр.9 По данному графику оригинала найти изображение.

Построим аналитическое выражение для данной функции,

на основе общего уравнения прямой, проходящей через

две точки (t ₁, y ₁), (t ₂, y ₂) = (5)

и свойств единичной функции (t - а) =

 

(t) (t) - (t - а)

 

Решение. Функцию на интервале [0, a] описывает разность двух единичных функций (t) - (t - а). Первую наклонную определим из (5) по точкам (2 а, 0), (а, 1): y =- (t – 2 a). Для перехода от бесконечной прямой к отрезку на интервале [ a, 3 a ] умножим уравнение на разность (t -а) - (t -3 а) Вторую наклонную определим из (5) по точкам (4 а,0), (3 а,-1): y = (t – 4 a), и умножим уравнение на (t - 3 а). Сумма этих трех выражений определит аналитический вид функции

f (t) = (t) - (t - а) - (t – 2 a) [ (t - а) - (t - 3 а)] + (t – 4 a) [ (t - 3 а)]

Представим f (t) в виде суммы слагаемых двух типов (t - b) и (t – b) (t - b)

f (t) = (t) - (t - а) - (t – a) (t - а) + (t - а) + (t – 3 a) (t - 3 а) + (t - 3 а)+

+ (t – 3 a) (t - 3 а) - (t - 3 а) = (t) - (t – a) (t - а) + (t – 3 a) (t - 3 а)

С помощью соотношений Пр.8 совершим переход к искомому изображению

F (t) =: - + .

 

Таблица изображений

№	f (t) при t >0	F (p)	№	f (t) при t>0	F (p)
				t cos at
				t sin at
	eat
	cos at
	sin at
	ezt cos at
	ezt sin at
	eat

Свертка функций

Опр. Сверткой функций f ₁(t) и f ₂(t) наз. интеграл от произведения этих функций f ₁(t)* f ₂(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.

Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f ₁(t) =: F ₁(p), f ₂(t) =: F ₂(p), то

 

f ₁(t)* f ₂(t) =: F ₁(p) F ₂(p)(14)

 

Доказательство.Обе части формулы преобразований Лапласа F ₁(p) = умножим на F ₂(p): F ₁(p) F ₂(p) = . По теореме запаздывания (4) =: f ₂(t - ) или = = , где t > . Тогда F ₁(p) F ₂(p) = = =: , т.к. при > t f ₂(t - ) = 0 по 1⁰ свойству оригинала.

 

Пр.18 Найти оригинал изображения F (p) = .

Решение 1. Имеем произведение изображений двух функций t и e^at. Поэтому оригинал равен свертке этих функций f (t) = t* e^at = = t - = J ₁ - J _2,

J ₁ = t = t - ; J ₂ = = =

= - = t - + . Ответ f (t) = - - .

 

Решение 2. Представим изображение в виде суммы простейших дробей: F (p) = = + + , тогда Ap (p – a) + B (p – a) + Cp ² = 1

p ² | A + C = 0 A = - 1/ a ²

p ¹ | - aA + B = 0 B = -1/ a По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал

p ⁰ | - aB = 1 C = 1/ a ² f (t) = - - +

 

Элементы теории операционного исчисления

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Пусть функция f (t)обладает следующими свойствами: 1⁰ f (t) 0при t < 0; 2⁰ | f (t)| < M при t > 0, где М > 0, т.е. f (t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s ₀ – показатель роста функции; 3⁰ На любом промежутке [ a, b ]положительной полуосивыполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.

Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл

= F (p)(1)

 

где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F (p) 0. При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F (p) наз. изображением оригинала. Переход от f (t) к F (p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f (t) =: F (p) или F (p) =: f (t). Для значения f (t) в точке разрыва t ₀ выбирают f (t ₀) = ½ [ f (t ₀ - 0) + f (t ₀ + 0)]. При этих условиях между f (t) и F (p) существует взаимно – однозначное соответствие.

Смысл преобразования – многим операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.

Нахождение изображений

Вычислим изображение единичной функции и экспоненты

Пр.1 ( t ) = , ( t ) =: = = ,

Re p > 0

Пр.2 = , =: = = ,

Re p > a = s ₀

 

Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.

С ₁ f ₁(t) + С ₂ f ₂(t) =: С ₁ F ₁(p) + С ₂ F ₂(p)

Из формулы Эйлера e^it = cos t + i sin t имеем соs t = ½(e^it + e^-it), sin t = ½ i (e^it - e^-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения

Пр.3 f (t) = cos t = ½(e^it + e^-it) =: ½ [ ] =

Пр.4 f (t) = sin t = ½ i (e^it - e^-it) =: 1/2 i [ ] =

Пр.5 f (t) = t =: = = + = = . f (t) = t ² =: = = + + = = . Аналогично имеем t ³ =: ,

t ⁴ =: ,... и получаем tⁿ =: .