Основи теорії подібності і моделювання

Теорія подібності дає можливість із диференціальних рівнянь і крайових обмежуючих умов отримати ряд узагальнених висновків і дати теоретичну основу для того, щоб поставити експеримент задачі конвективного теплообміну і обробити отримані дані.

Застосування математичних методів до явищ конвективного теплообміну дозволяє отримати диференціальні рівняння (систему), що описують весь клас явищ, а не конкретну задачу. А недоліком експериментальних досліджень є неможливість узагальнення результатів експерименту на клас явищ. Таким чином теорія подібностей поєднує математичні методи і результати експерименту для їх використання у подібних задачах.

Вперше подібність була використана в геометрії. В елементах конструкцій теплотехнічного обладнання теорія використовується для подібних фізичних явищ (подібній фізичній моделі тепловіддачі), тобто конкретне критеріальне рівняння для конкретної фізичної моделі можна використати лише на подібній моделі (коли змінюються лише числові величини коефіцієнтів).

На прикладі отриманого вище критерія Нуссельта отримано ряд наступних визначаючих критеріїв. Наприклад,

,

де швидкість руху середовища, м/с; лінійний розмір, м; коефіцієнт кінематичної в’язкості середовища, м²/с.

Це критерій, що вказує на співвідношення сил інерції і сил в’язкості рухомого середовища.

Критерій Прандтля описує співвідношення молекулярних властивостей переносу кількості руху середовища і теплоти

,

де коефіцієнт температуропровідності, м²/с.

Критерій Грасгофа вказує на відношення підіймальної сили, що виникає внаслідок різниці густин холодної і нагрітої частин середовища до сил в’язкості

,

де м/с², прискорення вільного падіння; лінійний розмір (еквівалентний діаметр, довжина, діаметр), м; коефіцієнт об’ємного розширення, К^-1; середній температурний напір між гарячою стінкою і омиваючим середовищем, К.

Основні положення теорії подібності формулюються у вигляді трьох теорем. Перша і друга теореми формулюють основні властивості подібних між собою явищ. Третя теорема встановлює признаки за якими можна визначити чи подібні явища, що розглядаються. В подібних явищах всі однойменні критерії подібності повинні бути чисельно однаковими або знаходитись у конкретних числових межах.

Моделювання – метод штучного вивчення явища на моделі замість натурального зразка, що подібні між собою. Для кожного моделювання натурних явищ необхідно виконати наступні умови:

1. Моделювати можна лише якісно однакові процеси, що мають однакову фізичну природу і описуються однаковими диференціальними рівняннями;

2. Умови однозначності повинні бути однаковими в усьому, крім числових значень сталих величин;

3. Однойменні критерії подібності для моделі і зразка повинні мати однакові числові значення.

Найбільш широко розповсюджені наступні критеріальні співвідношення, що описують відповідні фізичні задачі:

1. Тепловіддача при вільній конвекції середовища навколо вертикальної і горизонтальної труб (в обмеженому і необмеженому об’ємах).

2. Тепловіддача при вимушеній конвекції навколо труб а також всередині них.

3. Тепловіддача при поперечному обтіканні під різними кутами а також тіла або групи тіл.

4. Тепловіддача при фазовій зміні омиваючого середовища навколо тіла або групи тіл від зміни його температури (кипіння, конденсація і т.д.).

 

Лекція 16

Теплообмін випромінюванням. Загальні поняття і визначення. Закони теплового випромінювання Планка, Стефана-Больцмана, Кірхгофа. Теплообмін випромінюванням між тілами. Теплопередача. Теплопередача через плоску і циліндричну багатошарові стінки. Коефіцієнт теплопередачі К. Коефіцієнт термічного опору R.

Теплове випромінювання

Теплове випромінювання—складне явище, що поєднує в собі випромінювання теплової енергії шляхом електромагнітних хвиль у повному спектрі інфрачервоних невидимих хвиль і довгохвильового випромінювання частково зліва у спектрі ультрафіолетового випромінювання, і частково справа у спектрі видимого випромінювання (короткохвильового). Поглинання цієї енергії іншим тілом і пропускання крізь себе деякими тілами.

Будь-яке тіло можна характеризувати випромінювальною здатністю, поглинальною здатністю і пропускною здатністю. В тепловому випромінюванні розрізняють монохроматичне, в дуже вузькому інтервалі довжин хвиль, інтегральне, при зміні довжини хвилі від нуля до нескінченності. Розрізняють абсолютно чорне тіло, яке позначається індексом „0” і сірі тіла.

Поглинаюча здатність—відношення поглинутої кількості теплоти до кількості падаючої теплової енергії випромінювання

.

Відбиваюча здатність—відношення кількості теплової відбитої енергії до кількості падаючої теплової енергії випромінювання

.

Пропускаючи здатність тіла—відношення пропущеної кількості теплової енергії тілом до кількості падаючої теплової енергії

.

Абсолютно чорне тіло для якого А=1, R і D рівні нулю. В природі не існує абсолютно чорних тіл, тому це поняття використовується для порівнянь.

Абсолютно дзеркальне тіло (біле) в якому енергія відбивається дифузно і для якого R=1, A і D рівні нулю.

Абсолютно прозоре тіло для якого D=1, A і R рівні нулю.

Усі прикладні розрахунки обміну теплового випромінювання між тілами виконуються на основі трьох законів теплового випромінювання—закону Планка, закону Стефана-Больцмана, закону Кірхгофа.

 

Закон Планка

Отримано для абсолютно чорного тіла у монохроматичному діапазоні довжин хвиль при виконанні багатьох експериментальних досліджень, тому майже не підлягає фізичному розумінню процес теплового випромінювання, що описується наступним рівнянням

,

де - теплота випромінювання абсолютно чорного тіла у монохроматичному діапазоні довжин хвиль, Вт;

- довжина хвилі теплового випромінювання, м;

абсолютна температура випромінюючого тіла, К;

- перша стала Планка, с₁=3,74·10^-16, Вт·м²;

друга стала Планка, С₂=1,44·10^-2, м·К.

Отже, для всіх тіл у різному діапазоні довжин хвиль випромінювальна теплота більша, чим більша абсолютна температура випромінюючого тіла.

Закон Стефана-Больцмана

Закон Стефана-Больцмана(рівняння) отримано на основі інтегрування рівняння Планка по зміні довжини хвилі від нуля до нескінченності, тобто

,

де с₀ – коефіцієнт випромінювання абсолютно чорного тіла, С₀=5,67 Вт/(м²К⁴).

Отже, інтегрування теплоти випромінювання абсолютно чорного тіла по усіх довжинах хвиль простору рівне абсолютній температурі тіла в четвертій степені.

Для сірих тіл попереднє рівняння набуде наступного вигляду

,

де поверхнева теплота випромінювання сірого тіла, Вт/м²; степінь чорноти тіла, безрозмірна величина яка береться з таблиці і є фізичним параметром цього тіла, ; с – коефіцієнт випромінювання сірого тіла, Вт/(м²К⁴); Т – абсолютна температура випромінюючого сірого тіла, К.

 

Закон Кірхгофа

Відношення випромінювальної здатності тіла до його поглинаючої здатності при при тепловій рівновазі не залежить від природи тіла і дорівнює енергії випромінювання абсолютно чорного тіла при тій самій температурі. Закон справедливий для абсолютно чорного тіла при тій самій температурі

,

де поглинаюча здатність у вузькому діапазоні довжини хвиль; випромінювальна здатність у вузькому діапазоні довжини хвиль, Вт/м²; енергія випромінювання абсолютно чорного тіла у вузькому діапазоні довжини хвиль, Вт/м².

Із закону Кірхгофа видно, що поглинаюча здатність сірого тіла А рівна степені чорного тіла . Тіло, що випромінює енергію в певному діапазоні довжин хвиль здатне поглинати енергію в цьому ж діапазоні.

На основі розглянутих вище законів випромінювання можна порахувати кількість теплоти, що передається тепловим випромінюванням між тілами. Теплота, що передається тепловим випромінюванням від тіла із значно меншою площею теплового випромінювання і більшою температурою до тіла із більшою площею поверхні поглинання і меншою температурою і випромінююче тіло знаходиться всередині поглинаючого підраховується за формулою

,

де площа поверхні випромінюючого тіла, м² ; площа поверхні поглинаючого тіла, м²; абсолютна температура випромінюючого тіла, К; абсолютна температура поглинаючого тіла, К; коефіцієнт випромінювання випромінюючого тіла, Вт/(м²·К⁴).

Для розрахунків інших задач теплового випромінювання необхідно користуватися рекомендованою літературою з відповідними назвами розділів.

Процеси теплопередачі

Теплопередача—передача теплоти від одного рухомого середовища до іншого через нерухому стінку.

 

Фізична модель теплопередачі через трьохшарову плоску стінку

 

Дано трьохшарову плоску стінку з товщинами в метрах. відповідно коефіцієнти теплопровідності шарів стінки, Вт/(м·К).

В протилежних напрямках вздовж стінки рухаються гарячий теплоносій (гріюче середовище) зліва і справа—нагріваєме середовище.

Густина теплового потоку, направлена по нормалі до повздовжньої осі стінки, Вт/м².

температури гарячого і холодного теплоносіїв, ºС.

коефіцієнти тепловіддачі конвекцією від гарячого теплоносія до стінки і від протилежного боку стінки до холодного теплоносія, Вт/(м²К);

температура кожного шару стінки на їх межах, °С.

Якщо припустити, що в процесі тепловіддачі від гарячого теплоносія до нерухомої стінки рівна кількості теплоти, що передається через перший шар трьохшарової стінки, рівна кількості теплоти через другій шар і рівна кількості теплоти через третій шар, рівна кількості теплоти, що передається тепловіддачею справа від стінки до середовища, яке нагрівається.

То на основі попередніх принципів можна записати наступні рівняння

коефіцієнт теплопередачі. коефіцієнт термічного опору, величина обернена .