Расчета сложных электрических цепей»

Литература: [1, С.60-67], [2, С.199-225], конспект

лекций.

Домашнее задание

Изучить по конспекту лекций и литературе материал по следующим пунктам:

1. Эквивалентные соединения.

2. Эквивалентные источники напряжения и тока.

3. Метод наложения.

4. Расчет электрических цепей с помощью теоремы об эквивалентном источнике напряжения.

5. Общий метод расчета сложных электрических цепей.

6. Метод контурных токов.

7. Метод узловых напряжений.

Решить задачи

3.1. Сопротивление R=2 Ом и емкость С = 0,191 мкФ соеденены параллельно. Найти эквивалентную схему с последовательным соединением R и C при частоте f = 1 Мгц.

Ответ: R = 0,296 Ом; C = 0,224 мкФ.

3.2. Два генератора, имеющих одинаковую частоту, соеденены параллельно по схеме

 

 

Рис. 3.1

Используя эквивалентное преобразование источника напряжения в источник тока, напряжение на параллельно соединенных генераторах.

Ответ: .

 

3.3. В схеме Ė₁=120 В, Ė₂=110 В, Z₁ = Z₂ = Z₃=0,4+j0,6 Ом.

 

Рис. 3.2

Определить напряжение используя:

а) метод наложения,

б) теорему об эквивалентном источнике напряжения,

в) метод контурных токов.

 

Составить систему уравнений для определения токов в ветвях общим методом и методом узловых потенциалов.

 

Подготовиться к ответам на вопросы:

1. Сформулируйте условия, которые необходимо выполнить при замене одного участка цепи другим, эквивалентным первому.

2. Как перейти от последнего соединения элементов к эквивалентному параллельному соединению?

3. Как перейти от параллельного соединения элементов к эквивалентному последовательному соединению?

4. Объясните, почему эквивалентный переход от параллельного соединения к последовательному и наоборот верен только для одной и той же частоты f?

5. Объясните, что такое напряжение холостого хода и сопротивление короткого замыкания Zкз при определении тока в ветви по теореме об эквивалентном источнике напряжения?

6. Сформулируйте теорему об эквивалентном источнике напряжения.

7. Какой принцип теории электрических линейных цепей используется при расчете методом наложения?

8. Сформулируйте порядок определения тока в ветви при расчете методом наложения.

9. Дайте определения понятиям: ветвь, узел, контур, граф.

10. Сформулируйте определение для первого и второго законов Кирхгофа.

11. Как определить число независимых узлов и контуров для расчета цепи по общему методу?

12. Поясните порядок составления уравнений по общему методу расчета электрической цепи.

13. Чем отличается метод контурных токов от общего метода?

14. Поясните порядок составления уравнений по методу контурных токов.

15. Какой закон Кирхгофа используется в методе узловых потенциалов?

 

Примеры решения задач

 

3.4. В схеме, имеющей C=10 мкФ, R=10 Ом, L= 100 мГн, вычислить комплексное сопротивление цепи для ω = 377 рад/с, используя правило эквивалентных преобразований.

 

Рис. 3.3

 

Решение

 

Цепь, состоящую из последовательно соединенных R и L, представим эквивалентной цепью из параллельно соединенных элементов и определим g и b этой цепи

 

Определим теперь общую проводимость цепи

Комплексное сопротивление цепи находим как

 

 

Ответ: Ż =13,5 + j43,4 Ом.

 

3.5. Сопротивление R=10 Ом и индуктивность L=10 мГн

соединены параллельно. Найти эквивалентную схему с последовательным соединением R и L при частоте f= 1000 Гц.

 

Решение

 

Записываем выражение для комплексного сопротивления, т.е.

 

Таким образом, мы получим, что R=10 Ом и ωL =1,56 Ом.

 

Определяем, что

В итоге получаем, что эквивалентная схема с последовательным соединением состоит из R=9,75 Ом и L=2,48·10^-4 Гн= =0,248 мГн.

Ответ: R=9,75 Ом, L=0,248 мГн.

3.6. В схеме изменить источники напряжения на эквивалентные источники тока, если Е₁=10 В, Е₂=30 В, Z₁ = 20+j10 Ом, Z₂ = 5+j4 Ом.

 

Рис. 3.4

Решение

Произведем замену источников напряжения на эквивалентные источники тока, перечертив схему

 

 

Рис. 3.5

Значения величин токов İ₁ и İ₂ определим как

İ₁ = 18

İ₂ =

Для обратного перехода от источника тока к эквивалентным источникам напряжения необходимо, перечертив схему, вычислить значения E по формуле

Ė = İ·Z.

3.7. Используя теорему об эквивалентном источнике напряжения, определить ток I в сопротивлении Z₅ для схемы (рис. 3.6.)

 

Рис. 3.6

Решение

Определим напряжение холостого хода U_хх между точками 1 и 2, разорвав ветвь

Сопротивление короткого замыкания Z_кз между точками 1 и 2, определим из схем (рис. 3.7, рис. 3.8.), т.е.

Ток через Z₅ определим в соответствии с теоремой об эквивалентном источнике напряжения по формуле

 

Рис. 3.7 Рис. 3.8

3.8. Методом наложения определить напряжение на ветви Z₃ в схеме

 

 

Рис. 3.9

Решение

Z2

İ3^’

Разрываем цепь источника тока I₂ и определяем частичный ток в Z₃ от источника тока İ₁ (рис. 3.10), преобразовав его в эквивалентный источник напряжения Ė₁ (рис. 3.11).

 

Рис. 3.10 Рис. 3.11

Разрываем цепь источника İ₁ и определим частичный ток в Z₃ от источника İ₂ (рис. 3.12), преобразовав его в эквивалентный источник напряжения Ė₂ (рис. 3.13), т.е.

 

 

Рис. 3.12 Рис. 3.13

 

Определим ток İ₃ в Z₃ с учетом направлений э.д.с. Ė₁ и Ė₂ как

3.9. Используя метод контурных токов, определить токи

в ветвях схемы (рис. 3.14).

Рис. 3.14

Ė₁= 10 В, Ė₂ = 20 В, L₁ = 10 мГн, C₁= C₂ =100 мкФ,

ω =10 рад/сек, R₁= 50 Ом, R₂= 5 Ом, R₃=10 Ом.

Решение

Представим ветви в схеме (рис. 3.14) в виде комплексных сопротивлений Z₁, Z₂, Z₃ (рис. 3.15).

 

Рис. 3.15

Определим значения комплексных сопротивлений Z_1,.Z_2, Z₃:

 

Z₁ = R₁ + jωL₁ = 50 + j10³ ∙ 10 ∙ 10^-3 = 60 + j10,

Z₂ = R₂ +

Z₃ = R₃ +

Составим систему уравнений по методу контурных токов, приняв за контурные токи: İ₁ в контуре Ė₁, Z₁, Z₂ и İ₂ в контуре Е₂, Z₂, Z₃ (рис. 3.16).

 

Рис. 3.16

 

İ₁ (Z₁ + Z₂) - İ₂ Z₂ = Ė₁

İ₂ (Z₂ + Z₃) – İ₁ Z₂ = Ė₂.

 

Перепишем систему уравнений в виде

İ₁(Z₁ + Z₂) - İ₂ Z₂ = Ė₁

- I₁ Z₂ + I₂ (Z₂ + Z₁) = Ė₂.

 

Решим эту систему уравнений, используя метод Крамера, записав матрицу сопротивлений в виде

Подставляя значения сопротивлений Z₁, Z₂, Z₃ в матрицу, получим

(65) (-5 + j10)

(-5 +j10) (15 - j20).

 

Найдем определитель матрицы ∆

(65) (-5 + j10)

∆ = = 1050 – j1200.

(-5 +j10) (15 – j20)

 

Находим определители ∆ İ₁ и ∆ İ₂

Ė₁ (-Z₂ ) (10) (-5 + j10)

∆ İ₁ = = =250-j400,

Ė₂ (Z₂ + Z₃) (20) (15 – j20)

(Z₁ + Z₂ ) Ė₁ (65) (10)

∆ İ₂ = = =1350-j100.

(-Z₂) Ė₂ (-5 + j10) (20)

 

В соответствии с формулами Крамера находим контурные токи İ₁ и İ₂, т.е.

İ₁ = = 0,292 – j0,047 A,

İ₂ = = 1,258 + j0,144 A.

Ток в ветви Z₂ найдем как алгебраическую сумму токов İ₁ и I₂, т.е.

 

İZ₃ = İ₂ - İ₁ = 1,258 + j0,144 – 0,292 + j0,047 =0,966 +j0,191 А.

 

Таким образом получаем, что

 

İZ₁ = İ₁ = 0,292 – j0,047 A,

İZ₂ = İ₂ = 1,258 + j0,144 A,

IZ₂ = İ₂ – I₁ = 0,966 + j0,191 A.

 

3.10. Составить систему уравнений по методу узловых напряжений для схемы

 

Рис. 3.17

 

Для составления системы уравнений пор методу узловых напряжений используется только первый закон Кирхгофа. В схеме должны присутствовать только источники тока. Преобразуем схему с содержанием только источников тока, т.е.

 

Рис. 3.18

Величины токов определим из выражений

Зададимся также направлениями токов в ветвях, ориентируясь направлениями источников токов İ₁ и İ₂ (стрелки на схеме). Из трех узлов схемы узел 3 выберем за базовый (^) и относительно его зададимся узловыми напряжениями , стрелки которых показывают их направление от узлов 1 и 2 к узлу 3. Задача расчета цепи состоит в определении , по которым можно найти токи во всех ветвях. Применяя первый закон Кирхгофа, составим два уравнения для узлов 1 и 2, используя понятие проводимости ветвей Y=1/Z

İ₁ =

-İ₂ +

После преобразования (раскроем скобки и приведем подобные члены) получим

Для решения системы уравнений можно использовать формулу Крамера, как в задаче 3.9, и далее, например, применить программу для вычисления определителей на основе прикладного пакета Mathcad.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4