Определение отношения теплоемкости газа при постоянном давлении к его теплоемкости при постоянном объеме по адиабатному расширению газа

Цель работы – определение коэффициента Пуассона методом Клемана и Дезорма.

Приборы и принадлежности: стеклянный баллон, U -образный жидкостной манометр, ручной нагнетательный насос.

Краткие сведения из теории

 

Рассмотрим изменение состояния идеального газа при его адиабатном расширении и выясним смысл коэффициента адиабаты. Изменение состояния системы тел связано с изменением ее параметров. Внутренней энергией системы тел U называется сумма потенциальных энергий взаимодействия и кинетических энергий микрочастиц этой системы. Для идеального газа – это только кинетическая энергия частиц

где m - масса газа; μ – молярная масса вещества; ν = m / μ – число молей газа; R = 8,314 Дж/моль· К – универсальная газовая постоянная; i – сумма числа поступательных (i_пост), вращательных (i_вр) и удвоенного числа колебательных степеней свободы (i_кол) молекул:

i = i_{пост +} i_{вр +} 2 i_кол

В дальнейших рассуждениях мы будем пренебрегать колебательными степенями свободы, ограничиваясь рассмотрением молекул только с жёсткой связью. Таким образом, для одноатомных молекул i = i_пост = 3, для двухатомных жёстких молекул i = i_{пост +} i_вр = 3+2 = 5.

При нагревании определенной массы идеального газа на dТ градусов изменение ее внутренней энергии равно:

. (11.1)

При циклическом (круговом) процессе система в результате всех изменений возвращается в исходное состояние (Т₁=Т₂). Внутренняя энергия в результате кругового процесса примет первоначальное значение. Следовательно,

.

Дифференциал функции, удовлетворяющий такому тождеству, является полным дифференциалом, а сама функция - функцией состояния. Следовательно, внутренняя энергия U является функцией состояния.

Элементарная работа газа в термодинамике определяется как

= pdV. (11.2)

Тогда работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2:

Внутреннюю энергию системы можно изменить, либо совершив работу, либо в процессе теплообмена. Или, иначе, количество теплоты , сообщённой системе в процессе теплообмена, идёт на изменение её внутренней энергии dU и на совершение системной работы против внешних сил:

= dU + . (11.3)

Этот закон сохранения и превращения энергии есть первое начало термодинамики. и не являются полными дифференциалами, чем и вызвано различие в написании , и dU.

Количество теплоты представляет собой энергию, которая передаётся от одного тела к другому при их контакте или путём излучения.

После подстановки (11.1) и (11.2) в уравнение (11.3), имеем:

= ν (i /2)RdT + pdV (11.4)

Количество теплоты, необходимое для нагревания газа, зависит от количества нагреваемого газа и от того, на сколько градусов изменяется его температура. Чем больше то и другое, тем больше необходимое количество теплоты. Поэтому для характеристики тепловых свойств тел используют теплоёмкость.

Теплоёмкостью вещества (тела), имеющего массу m, называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один Кельвин.

Величина C_тела = /dT есть теплоёмкость данного тела.

Теплоёмкость единицы массы вещества – удельная теплоемкость, равна:

c = .

Теплоёмкость одного моля вещества – молярная теплоёмкость, равна:

C = μc. (11.5)

У газов различают теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении.

Молярную теплоёмкость при постоянном объёме (изохорный процесс, V = const, dV =0) обозначим C_V. Подставив в (11.5) выражение (11.4), получим

C_V = (i / 2)R. (11.6)

Аналогично вычислим молярную теплоёмкость при постоянном давлении (изобарный процесс, p = const) – C_p, предварительно рассчитав pdV.

Для изобарного процесса из уравнения Клапейрона-Менделеева имеем

pdV = ν RdT. (11.7)

Следовательно, из формулы (11.5), с учетом (11.4) и (11.7) получим

C_p = (i / 2)R + R. (11.8)

Сопоставляя уравнения (11.6) и (11.8), получим уравнение Роберта Майера:

C_p = C_V + R.

Выразим отношение C_p / C_V, которое называется коэффициентом Пуассона

γ = C_p / C_V = (i + 2)/i. (11.9)

Например, для идеального газа, состоящего из одноатомных молекул, i = 3 и γ = 5/3 = 1,66; для газа из двухатомных жёстких молекул i = 5 и γ = 7/5 = 1,4.

Адиабатным процессом называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой ( =0). При этом первое начало термодинамики примет вид

.

Газ при адиабатном расширении и сжатии совершает работу за счёт внутренней энергии. Следовательно, при расширении газ охлаждается, а при сжатии нагревается.

Соотношение между давлением и объёмом идеального газа при адиабатном процессе представляет уравнение Пуассона или уравнение адиабаты,

= const. (11.10)

Так как γ > 1, то кривая p=f(V) адиабаты круче изотермы (pV = const), (рис.11.1).

Рис. 11.1

Более крутое падение давления с увеличением объёма при адиабатном процессе объясняется тем, что при адиабатном расширении идеального газа его давление уменьшается не только за счёт увеличения объёма, но и вследствие происходящего при этом понижения температуры газа. Чем меньше коэффициент Пуассона γ, тем адиабата ближе к изотерме. В пределе, когда γ стремится к единице, адиабата переходит в изотерму. Рассмотренные выше изотермический и адиабатный процессы являются идеализированными.

В частности, для обеспечения адиабатности процесса необходима либо хорошая теплоизоляция системы, либо достаточно быстрое протекание процесса так, чтобы не успел произойти теплообмен с окружающей средой. Оба эти процесса можно рассматривать как частные случаи более общего процесса, называемого политропическим, при котором теплоёмкость остаётся постоянной.

Уравнение политропы имеет вид pVⁿ = const. Показатель политропы n в этом уравнении равен:

(C – C_P)/(C – C_V) = n.

Для адиабатного процесса C = 0 ( = 0), показатель n = C_p/C_V = γ. Для изотермического процесса C = (dT = 0), n = 1.