Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения

 

Закон нормального распределения характеризуется дифференциальной (функцией плотностей вероятностей) и интегральной (функцией распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной функции - симметричное рассеивание частных показателей надежности относительно среднего значения.

Дифференциальная функция описывается уравнением

 

 

Если =0 и , то получим уравнение для центрированной, нормированной дифференциальной функции.

 

 

Для определения дифференциальной функции через центрированную нормируемую дифференциальную функцию, используют уравнение:

 

f(t) = ,

 

где А - длина интервала,

- среднее квадратичное отклонение,

t_ci - значение середины i-го интервала,

t - среднее значение показателя надежности.

Кроме того, следует пользоваться уравнением

 

 

Определим значения дифференциальной функции во всех интервалах статистического ряда

Интегральная функция (функция распределения) ЗНР определяем по уравнению:

 

При t_i=0 и =1,00,то получим выражение для центрированной нормированной интегральной функции.

 

 

Для определения интегральной функции через центрированную нормированную функцию, используют уравнение

 

где - значение конца i-го интервала.

При этом используют уравнение

 

 

Рассчитаем значения интегральной функции для всех интервалов статистического ряда

Рассчитанные значения функций сводим в таблицу

 

Таблица - Значения дифференциальной и интегральной функций при ЗНР

Интервал мотто-ч	1200-1484	1484-1768	1768-2052	2052-2336	2336-2620	2620-2904
f(t)	0,14	0,26	0,28	0,18	0,064	0,014
F(t)	0,21	0,46	0,74	0,91	0,98	1,00

 

На основании полученных дифференциальных и интегральных функций могут быть построены интегральные и дифференциальные кривые.

Дифференциальная кривая заменяет полигон, интегральная кривая заменяет кривую накопленных опытных вероятностей.

При построении дифференциальной кривой (рисунок 4) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значение дифференциальной функции. Точки пересечения образуются значением дифференциальной функции по оси ординат и значением середины i-го интервала по оси абсцисс.

 

 

 

При построении интегральной кривой (рисунок 5) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значением интегральной функции.

 

 

Определим число двигателей, потребующих ремонта в интервале наработки от 1700 - 2200 мото-ч.

Решение:

по дифференциальной функции:

.

= 0,47∙29≈ 14 двиг.

по интегральной функции

= 0,44∙29≈ 13 двиг.

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона распределения Вейбулла

 

Дифференциальную функцию или функцию плотностей вероятностей ЗРВ описывают уравнение

 

,

 

где a,b - параметры ЗРВ.

Параметр b определяют по таблице 3. Из таблицы выписывают параметр b коэффициенты k_b и c_b, предварительно посчитав коэффициент вариации.

При V=0,54; b= 1,4; k_b=0,91; С_b=0,66.

Параметр a рассчитывают по одному из уравнений

 

 

или ,

 

Отсюда получаем

мото-ч

Дифференциальную функцию при ЗРВ определяют по таблице 5, используя уравнение

 

 

где А - длина интервала статистического ряда;

- середина интервала статистического ряда;

С - смещение начала рассеяния.

Рассчитаем значения функции во всех интервалах статистического ряда

Интегральную функцию или функцию ЗРВ определяют по уравнению

 

 

 

Интегральная функция приведена в таблице 6. При этом используют уравнение

 

 

Определяем значения интегральной функции во всех интервалах статистического ряда

Рассчитанные значения функций сводим в таблицу

 

Таблица - Значения дифференциальной и интегральной функций при ЗРВ

Интервал мотто-ч	1200-1484	1484-1768	1768-2052	2052-2336	2336-2620	2620-2904
f(t)	0,21	0,28	0,23	0,14	0,078	0,026
F(t)	0,25	0,53	0,75	0,9	0,96	0,99

 

 

На основании полученных значений f(t) и F(t) могут быть построен графики дифференциальных и интегральных функций закона распределения Вейбулла.

При построении дифференциальной кривой (рисунок 6) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значение дифференциальной функции. Точки пересечения образуются значением дифференциальной функции по сои ординат и значением середины i-го интервала по оси абсцисс.

 

Рисунок 6. Дифференциальная кривая

 

При построении интегральной кривой (рисунок 7) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значением интегральной функции.

 

 

Рисунок 7. Интегральная кривая

 

Определим число двигателей, требующих ремонта в интервале наработки от 1700 - 2200 мото-ч.

Решение:

по дифференциальной функции:

.

= 0,4∙29≈ 12 двиг.

по интегральной функции

= 0,38∙29≈ 12 двиг.