Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів

Короткі теоретичні відомості

Аналітичним конструюванням регуляторів (АКР) називається методика синтезу оптимального регулятора для заданого об’єкта при заданих обмеженнях і критерію оптимальності, що задається у квадратичній інтегральній формі вигляду:

. (4.1)

Ця методика вперше була запропонована у роботах О.М.Льотова і Р.Калмана. Кожний з підходів має свої особливості, однак обидва розв’язання приводять до аналогічних результатів.

Суть задачі АКР полягає у визначенні варіаційними методами керуючої дії, яка мінімізує функціонал, що характеризує відхилення траєкторії справжнього руху системи від бажаної. У процесі аналітичного конструювання регуляторів знаходять закон керування у його аналітичній формі як деяку функцію фазових координат початкової системи. Таким чином, спочатку для заданого об’єкта керування за існуючих обмежень знаходять оптимальну траєкторію руху системи, а потім шляхом АКР визначають диференціальне рівняння (алгоритм керування) регулятора, що гарантує мінімальне відхилення траєкторії руху об’єкта керування від знайденої оптимальної траєкторії.

Узагалі, рівняннями, що описують поведінку керуючого пристрою, можуть бути рівняння Ейлера, але вони не завжди виявляються такими, що реалізуються. Крім того, ці рівняння мають неприємну властивість: якщо час процесу керування у безперервній системі є скінченним, то рівняння Ейлера, що розглядають разом з рівняннями об’єкта, відповідають нестійкій системі регулювання. Так, у разі лінійного об’єкта і квадратичного функціоналу рівняння Ейлера є лінійними, причому серед коренів характеристичного рівняння обов’язково є як ліві, так і праві корені.

Якщо приєднання регулятора робить систему нестійкою, то це приєднання не може бути тривалим, і необхідно вжити заходів щодо забезпечення стійкості системи. Цю задачу можна розв’язати шляхом відкидання у розв’язку рівняння складових, що відповідають додатним кореням. При цьому час керування стає нескінченно великим, проте функціонал набуває найменшого з усіх можливих значення для різних Т.

Нехай критерієм якості роботи системи слугує функціонал вигляду:

(4.2)

Для знаходження екстремалі складаємо рівняння Ейлера. У даному випадку , а значить:

(4.3)

Характеристичне рівняння має вигляд:

(4.4)

Для знаходження екстремалі необхідно враховувати тільки корені рівняння: інакше система буде нестійкою. Таким чином, розв’язок рівняння (4.3) для стійкої системи має вигляд:

Сталу С визначають із початкових умов: при t = 0, y = y₀, тоді

(4.5)

Рівняння (4.5) є рівнянням екстремалі, яка відповідає розв’язку диференціального рівняння першого порядку: з характеристичним рівнянням де Т – стала часу. Вагову константу r₁ можна подати через цю сталу часу Т, якщо дорівняти поліноми:

Звідси r₁ = Т², і тоді рівняння екстремалі матиме вигляд:

(4.6)

Таким чином, при мінімізації функціоналу вигляду (4.2) структуру або параметри системи слід підбирати так, щоб перехідний процес у системі наближався до аперіодичного (4.6). Оскільки величина Т може бути взята різною, то маємо поле екстремалей, з яких вибираємо екстремаль, яка найбільш повно відповідає вимогам до системи.

При Т=0 отримуємо звичайний квадратичний інтегральний критерій:

(4.7)

У цьому випадку рівняння екстремалі: у = 0. Фізично це означає, що при ступінчастому змінюванні керуючої дії вихідна координата у повинна змінитися стрибком від значення у₀ до у=0. Зрозуміло, що в інерційній системі такий режим не можна реалізувати. Зазначимо також, що прагнення прискорити змінювання вихідної координати призводить до різкого збільшення коефіцієнта підсилення у ланцюзі зворотного зв’язку, що, у свою чергу, сприяє збільшенню коливальності процесу.

Завдання до задачі

Слідкуюча система заданої структури (рис. 4.1) описується диференціальним рівнянням другого порядку. Для поліпшення якості перехідного процесу виконавчий механізм охоплений жорстким від’ємним зворотним зв’язком за швидкістю. Необхідно визначити оптимальне значення коефіцієнта зворотного зв’язку k_з.з., при якому критерій І₁ (4.2) набуває мінімального значення.

Вихідні дані наведено у таблиці 4.1.

 

 

Таблиця 4.1

№ вар.	r1	k1	k2	T	№ вар.	r1	k1	k2	T
	0,1					0,1			0,1
	0,3			0,3		0,3			0,2
	0,6			0,2		0,2			0,3
	0,8			0,4		0,4			0,1
	0,2			0,5		0,5			0,2
	0,5			0,1		0,3			0,5
	0,7			0,2		0,6			0,4
	0,1			0,3		0,7			0,3
	0,9			0,7		0,9			0,2
	0,4			0,6		0,8			0,1
	0,7			0,5		0,1			0,5
	0,2			0,2		0,3			0,4
	0,5			0,3		0,2			0,3
	0,9			0,4		0,5			0,6
	0,1			0,1		0,7			0,5

 

Приклад 4 Розв’язати задачу за умови: r₁=0,01с²; k₁=200; k₂=0,25; Т=0,5 с.

Передавальна функція замкнутої системи має вигляд:

а диференціальне рівняння буде:

(4.8)

Нехай вхідний сигнал змінюється стрибком від u до 0, тоді, вважаючи у(0)=1; і позначивши:

отримуємо:

(4.9)

Визначимо величину І₁ через коефіцієнти диференціального рівняння. Для цього помножимо (4.9) почергово на у і . Тоді отримаємо:

(4.10)

Врахуємо, що і обчислимо такі інтеграли:

(інтегрування частинами);

Тоді після інтегрування системи (4.10) отримаємо:

Звідси

або

Для знаходження k_з.з., що відповідає І₁= min, запишемо:

Звідси оптимальне значення k_з.з.:

Для заданих значень: Т = 0,5 с; k₁ = 200; k₂ = 0,25 c^-1; r₁ = 0,01с²,

маємо: k₀ = k₁k₂ = 50 c^-1; a₀ = T/k₀ = 0,5/50 = 0,01 c².

Тоді коефіцієнт зворотного зв’язку має значення:

 

Контрольні запитання

1. Що таке аналітичне конструювання регуляторів?

2. Поясніть суть методу АКР.

3. У якій послідовності виконують аналітичне конструювання регуляторів?

 

Література: [3, с. 49-60], [6, с. 89-98].