Дослідження шумів аналого-цифрового перетворювача

Мета роботи: закріпити на практиці основні поняття, пов’язані з математичними моделями та стохастичними властивостями шумів квантування дискретних сигналів, зокрема, на виході аналого-цифрового перетворювача..

 

Короткі теоретичні відомості

Реальні «первинні» сигнали як правило належать до класу аналогових, тобто неперервні як у часі, так і за своїми значеннями. В той же час цифрові системи обробки сигналів належать до класу дискретних систем. Тому для обробки «первинних» сигналів в цифрових система вони, по-перше, повинні бути дискретизовані у часі. Окрім того, зазначимо, що для зображення відліків дискретних сигналів, наприклад у двійковій системі числення, потрібно мати у загальному випадку необмежену кількість розрядів. В цифрових же системах обробки сигналів застосовуються елементи пам’яті (регістри, комірки пам’яті) та операційні пристрої (суматори, перемножувачі), які мають обмежену розрядність. Тому, по-друге, відліки дискретних сигналів підлягають ще і кватуванню, тобто наближеному їх зображенню з використанням обмеженої кількості розрядів. При цьому виникають похибки, які називають похибками квантування.

По суті квантування, це нелінійне безінерційне перетворення сигналу, тобто

, (5.1)

де - -й відлік дискретного сигналу, який представлений -розрядним числом; - -й відлік квантованого сигналу, який представлений -розрядним числом ; - нелінійна функціональна залежність.

В формулі (5.1) - дискретний сигнал а - цифровий сигнал. Похибка, яка виникає при квантуванні, тобто при переході від дискретного до цифрового сигналу

. (5.2)

Формулу (5.2) можна переписати так: і тоді похибку квантування можна розглядати як адитивний дискретний випадковий процес, який називають шумом квантування. Такий підхід дає можливість розглядати лінійну модель процесу квантування (рис. 5.1) [1].

Рис. 5.1. Лінійна модель процесу квантування

Відносно шуму квантування робляться наступні припущення:

1. представляє собою стаціонарну ергодичну дискретну випадкову послідовність;

2. описується неперервним рівномірним розподілом на інтервалі, довжина якого дорівнює кроку квантування (коли використовується двійкова система числення);

3. Послідовність належить до класу процесів типу дискретного білого шуму у широкому розумінні;

4. Послідовність не корельовано з послідовністю .

Оскільки дискретні відліки сигналів зображуються числами (у певній системі числення, як правило двійковій), то квантування сигналів по суті зводиться до наближеного зображення чисел обмеженою кількістю розрядів .

Квантування чисел виконується двома способами: округлювання чисел і зрізання чисел. У першому випадку число замінюється найближчим до нього -розрядним числом . У цьому випадку шум квантування має рівномірний розподіл на інтервалі з нульовим математичним сподіванням і дисперсією

,

де - оператор математичного сподівання.

При квантуванні методом зрізування у -розрядного числа відкидаються молодших розрядів і у результаті отримують квантоване -розрядне число . За такого методу шум квантування теж має рівномірний розподіл, але на інтервалі . Тоді для математичного сподівання шуму маємо , а дисперсія

.

Дискретизація та квантування сигналів виконується в аналого-цифрових перетворювачах (АЦП). На вході АЦП діє аналоговий сигнал . На виході маємо відгук , тобто дискретний і квантова ний сигнал. Отже в АЦП виконується по суті дві операції, дискретизація і квантування.

Література: [1, стор. 296 - 306].

 

Завдання до лабораторної роботи

1. Дослідити статистичні властивості шуму квантування (побудувати гістограму, знайти оцінки середнього, дисперсії, коефіцієнта кореляції) для АЦП, у якому квантування чисел здійснюється способом округлювання.

2. Дослідити статистичні властивості шуму квантування (побудувати гістограму, знайти оцінки середнього, дисперсії, коефіцієнта кореляції) для АЦП, у якому квантування чисел здійснюється способом зрізування.

 

Порядок виконання роботи

Для виконання роботи необхідно запустити програмне середовище MATCAD та виконати наступні пункти роботи.

1. Отримати реалізацію випадкового дискретного процесу шляхом генерації рівномірно розподілених чисел за допомогою функції rand. Зобразити реалізацію графічно.

2. Обчислити оцінки математичного сподівання, дисперсії, коефіцієнта кореляції та побудувати гістограму отриманої в п. 1 реалізації.

3. За допомогою функції quantize на основі отриманої в п. 1 реалізації дискретного випадкового процесу побудувати реалізацію квантованої послідовності з використанням методу округлювання чисел. Зобразити отриману квантовану послідовність графічно.

4. На основі побудованої в п 3 реалізації квантованої послідовності з використанням методу округлювання чисел знайти оцінки математичного сподівання, дисперсії, коефіцієнта кореляції та побудувати гістограму. Отримані оцінки порівняти з оцінками в п. 2.

5. Порівняти дискретну послідовність, отриману в п. 1, з квантованою послідовністю із п. 3 на основі наступного критерію

,

де - кількість елементів (відліків) у послідовності.

6. За допомогою функції quantize на основі отриманої в п. 1 реалізації дискретного випадкового процесу побудувати реалізацію квантованої послідовності з використанням методу зрізування чисел. Зобразити отриману квантовану послідовність графічно та виконати дослідження, аналогічні пп. 4, 5.

7. Проаналізувати отримані результати за пп. 1 – 6 і зробити висновки.

Контрольні питання

1. Чим визвана необхідність виконувати квантування відліків дискретного сигналу?

2. Що є причиною виникнення шумів квантування?

3. Що таке крок квантування і як він визначається?

4. Дайте означення нелінійної моделі процесу квантування.

5. Сформулюйте поняття лінійної моделі процесу квантування.

6. У чому полягає спосіб округлювання при квантуванні відліків дискретного сигналу?

7. У чому полягає спосіб зрізування при квантуванні відліків дискретного сигналу?

8. Яким розподілом описуються шуми квантування при використанні способу округлювання?

9. Яким розподілом описуються шуми квантування при використанні способу зрізування?

10. Від чого залежить величини дисперсія шуму квантування?

11. Запишіть вирази для математичних сподівань шумів квантування при використанні способу округлювання і способу зрізування чисел.

Лабораторна робота 6